Математическое моделирование процесса развития лесонасаждений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Математическое моделирование процесса развития лесонасаждений

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Дмитриева Ольга Николаевна

Москва - 2007

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время задачи экологии имеют актуальное значение. Одной из наиболее остро стоящих экологических проблем является проблема сохранения восстанавливаемых природных ресурсов. К таким ресурсам относится лес. Выработка оптимальных решений по поддержанию лесных массивов в требуемом состоянии возможна лишь при использовании математических моделей. Математические модели динамики развития лесных ресурсов описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Однако ощутимой является нехватка моделей управления процессом развития лесонасаждений с целью его сохранения на заданном уровне. Поэтому разработка таких моделей является актуальным аспектом.

При построении математических моделей развития лесонасаждений возникает задача учёта случайных влияний на параметры модели, связанных с воздействием множества непрогнозируемых природных факторов, их моделирования и численного решения стохастических дифференциальных уравнений при достаточно высоких требованиях по точности. В диссертационной работе обосновываются математические модели как детерминированные, так и стохастические, описывающие процесс развития лесонасаждений; для проведения численных экспериментов разработаны алгоритмы численной реализации рассматриваемых моделей, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Borland Delphi 6. Отмеченные особенности обуславливают как актуальность, так и новизну исследования.

Цель работы:

1. Разработка многомерной детерминированной модели, описывающей динамику развития лесонасаждений, построение стохастической модели: дискретной и непрерывной.

2. Обработка статистических данных и разработка метода, на основании которого можно получить значения параметров для моделей, характеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей.

3. Разработка численной схемы решения задачи оптимального управления лесными ресурсами и численных методов решения стохастического дифференциального уравнения с возмущёнными параметрами, описывающего процесс развития лесонасаждений.

4. Исследование зависимости решения задачи оптимального управления от параметров детерминированной модели.

5. Проведение анализа влияния возмущённых параметров системы на её поведение.

Научная новизна. В диссертационной работе в отличие от известных работ рассматривается общая -мерная управляемая модель процесса развития лесонасаждений, для которой, исходя из принципа максимума Понтрягина, выписаны необходимые условия оптимальности. Для моделирования решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего процесс развития лесонасаждений, впервые применён метод унифицированного разложения в ряд Тейлора-Ито, предложенный Кузнецовым Д.Ф. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов С.Петербург: Наука, 1999, 459с., получены критические значения параметров, влияющих на устойчивость положения равновесия системы для Тверской и Архангельской областей.

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить исследования как неуправляемых детерминированных и стохастических моделей с возмущёнными параметрами, так и управляемых моделей, описывающих процесс развития лесонасаждений. Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с процессом развития и использования лесных массивов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на международных конференциях “Современные методы теории функций и смежные проблемы”, “Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования” (г. Воронеж, 2005 г.), на научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2004-2006 гг.) и ВЦ РАН (2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в восьми печатных работах (2004-2006 гг.), в том числе одна из списка изданий, рекомендованных ВАК, перечень которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Научному руководителю принадлежат постановки задач. Автору принадлежат построение вычислительных алгоритмов для решения поставленных задач, комплекс программ и анализ полученных результатов.

2. Обзор содержания работы

Во введении дан обзор основных моделей, описывающих процесс развития лесонасаждений, указаны их достоинства и недостатки. Приводится список рассматриваемых в работе моделей. Перечисляются основные цели исследования.

В первой главе приводятся некоторые сведения из теории устойчивости динамических систем. Даётся постановка -мерной модели и её обоснование, описание и анализ непрерывной и дискретной неуправляемых моделей, описывающих динамику развития лесонасаждений. Для дискретной модели описывается физический смысл её коэффициентов и предлагается методика для их вычисления.

Рассматривается непрерывная модель развития лесного массива, которая описывается системой дифференциальных уравнений. Деревья, принадлежащие разным возрастным группам, отличаются высотой, диаметром ствола, развитостью корневой системы, потребностью в свете и доступностью к нему. В связи с этим целесообразным является выделение возрастных групп деревьев.

Модель динамики развития лесного массива построена исходя из предположений:

· Лесной массив развивается на замкнутой однородной территории, имеющей одинаковые климатические и географические условия.

· Деревья, принадлежащие к разным возрастным группам, равномерно распределены по занимаемой территории.

· Рассматривается однородный, либо смешанный лес без явного преобладания какого-либо вида, что обеспечивает отсутствие внутривидовой конкуренции.

· Количество деревьев в каждой возрастной группе зависит только от времени (точеная модель, не учитывает пространственное распространение деревьев по занимаемой территории).

· Появление молодых деревьев обусловлено количеством деревьев старшего возраста, способных плодоносить.

· По мере взросления деревья из одной возрастной группы переходят в более старшую возрастную группу.

· Смертность деревьев младшего возраста зависит не только от своего текущего состояния, но и от количества деревьев более старшего возраста.

Обозначим за - количество деревьев в -м возрастном классе в момент времени , где , n - количество классов разбиения,

(1)



где - количество деревьев в -й возрастной группе в момент времени , , n - количество классов разбиения; - функция, характеризующая скорость появления молодых деревьев (деревьев первой возрастной группы); параметр отражает способность деревьев плодоносить, где постоянные , показывают степень влияния деревьев -й группы на появление молодых деревьев; - функция, характеризующая интенсивность гибели деревьев -го возрастного класса; параметр отражает влияние деревьев на гибель деревьев младших классов, где , - постоянные коэффициенты, которые показывают вклад деревьев -го возрастного класса на смертность деревьев -го класса; - интенсивность перехода деревьев -й группы в -ю, .

Рассмотрим ситуацию, когда . Будем исходить из предположений, что деревья старшего возраста затрудняют развитие только подроста (деревьев 1-го возрастного класса), т.е. встречается только в первом уравнении. Обозначив за , , , получим трёхвозрастную модель, описываемую следующей системой дифференциальных уравнений:

(2)

где - коэффициент рождения молодых деревьев; - функция гибели подроста, то есть интенсивность его гибели под воздействием старшей возрастной группы и в результате естественной гибели подроста; - коэффициенты гибели деревьев второй и третьей возрастных групп.

Для построенной системы проводится анализ в предположении, что функция гибели подроста является функцией четвёртой степени , где коэффициент характеризует смертность молодых деревьев в отсутствии деревьев старшего возраста, а коэффициент - степень влияния деревьев верхнего яруса на смертность молодняка.

Система, описываемая рассматриваемой нелинейной динамической системой, будет иметь только одну точку равновесия:

(3)

Из этого следует, что динамическая система, описывающая процесс развития лесонасаждений, будет существовать только при выполнении условий:

В главе представлены характерные режимы нелинейной динамической системы, определён тип точек равновесия, проведён анализ допустимых значений параметров, в частности найдено двумерное допустимое множество изменения параметров и .

На основании статистических данных, предоставленных федеральным агентством лесного хозяйства “Рослесиенфорг”, найдены значения параметров для трёхмерной модели, описывающей процесс развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей, для которых построены фазовые портреты.

Вторая глава посвящена построению и исследованию стохастической модели. На основании непрерывной модели (2), предполагая, что случайную составляющую имеют два коэффициента: коэффициент рождения и коэффициент смертности деревьев второй возрастной группы , - строится стохастическая модель, описывающая процесс развития лесонасаждений. В данной главе решается задача создания численной схемы для построения решения системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающих процесс развития лесонасаждений.

Детерминированная непрерывная модель (2), описывающая процесс развития лесонасаждений, позволяет заранее рассчитывать изменение состояния изучаемой системы на интересующем временном отрезке, путём решения задачи Коши. Во-первых, коэффициенты этой системы вычисляются путём обработки статистических данных и за их значение выбираются средние величины. Во-вторых, коэффициенты системы зависят от множества непрогнозируемых факторов. Всё вышесказанное даёт основание сделать предположение о том, что коэффициенты системы (2) можно рассматривать как случайные процессы, математические ожидания которых известны.

Предположим, что случайную составляющую в модели (2) имеют два коэффициента: коэффициент рождения и коэффициент гибели деревьев среднего возраста :

,

,

где - математические ожидания коэффициентов и , полагаем их постоянными; - случайные белошумные процессы; - постоянные, характеризующие степень влияния случайного возмущения на значение коэффициентов и .

В этом случае математическая модель примет следующий вид:

(4)

,(5)

где - заданные случайные величины, закон распределения которых известен.

В общем виде систему (4)-(5) можно записать

,(6)

,(7)

где ; ; - двумерный векторный винеровской случайный процесс с независимыми компонентами.

Вектор состояния системы уже не является детерминированным, он представляет собой векторный случайный процесс , .

Стохастическая модель состояния (6)-(7) представляет собой задачу Коши для стохастических дифференциальных уравнений.

В работе для численного моделирования решения построенного стохастического дифференциального уравнения применён метод, предложенный Д.Ф.Кузнецовым, который основан на разложении решения стохастического дифференциального уравнения в ряд Тейлора-Ито.

Построено унифицированное разложение Тейлора-Ито до малых порядка . Для построения численной схемы выбрана равномерная дискретная сетка , которая построена для отрезка , такая что , . На этой сетке получены следующие выражения для реализации численного метода:

(8)

(9)

(10)

где

- система независимых гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, которая генерируется на шаге интегрирования с номером и является независимой с аналогичными системами случайных величин, которые генерируются на всех предшествующих шагах интегрирования по отношению к шагу интегрирования с номером .

Смоделируем решение системы (6)-(7) с помощью соотношений (8)-(10) на временном интервале 20 лет с шагом . Решим задачу при следующих исходных данных: . В результате численного моделирования процесса , при значениях получены значения максимальных отклонений траекторий системы с возмущёнными параметрами от траекторий детерминированной системы. Эти значения приведены в табл. 1, графическая иллюстрация результатов представлена на рис.1-3.

Табл. 1. Максимальное отклонение траекторий системы с возмущёнными параметрами от траекторий детерминированной системы в зависимости от величины параметров s1 и s2.

Значение s1	Значение s2	Отклонение X, %	Отклонение Y, %	Отклонение Z, %
0	0	0	0	0
0,001	0,001	0,48	0,40	0,06
0,002	0,002	0,84	0,48	0,10
0,003	0,003	1,38	1,46	0,40
0,004	0,004	2,07	0,78	0,08
0,005	0,005	2,16	2,40	0,49
0,006	0,006	2,38	2,89	0,83

Рис. 1. Зависимость максимального отклонения X от величины параметра s1=s2

Рис. 2. Зависимость максимального отклонения Y от величины параметра s1=s2

Рис.3. Зависимость максимального отклонения Z от величины параметра s1=s2

Наблюдается прямая зависимость максимального отклонения фазовых траекторий системы с возмущенными коэффициентами от фазовых траекторий детерминированной системы от величины параметров .

Если принять отклонение траекторий возмущённой системы от траекторий детерминированной системы на 2% допустимым, то можно считать, что возмущения коэффициентов с параметрами не являются существенными и для описания системы можно использовать детерминированную модель. При для описания процесса развития лесонасаждений необходимо использовать стохастическую модель.

Смоделируем решение системы (6)-(7) при на временном интервале 20 лет с шагом при параметрах, характеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей. На рис.4-6. изображены фазовые траектории системы на фазовых плоскостях и при для Архангельской области, а на рис.7-9. - фазовые траектории для Тверской области при . Делаем вывод, что для Архангельской области при величине параметра положение равновесия остаётся устойчивым. Тогда как для Тверской области критическое значение параметра , что на порядок меньше критического значения этого же параметра для Архангельской области, то есть положение равновесия лесонасаждений Архангельской области является более устойчивым к возмущениям коэффициента рождения динамической системы.

Архангельская область

Рис. 4. Фазовый портрет системы при =0



Рис. 5. Фазовый портрет системы при =0,000002

Рис. 6. Фазовый портрет системы при =0,000004

Тверская область

Рис. 7. Фазовый портрет системы при =0

Рис. 8. Фазовый портрет системы при =0,0000002

В третьей главе на основании общей непрерывной модели (1) строится управляемая модель. В качестве управления выступает скорость вырубки леса в единицу времени, а целью управления является максимизация прибыли лесозаготовительного предприятия, при условии сохранении лесного массива на заданном уровне.

Рис. 9. Фазовый портрет системы при =0,0000005

Управляемая модель строится исходя из следующих предположений:

· Управлением в модели является скорость вырубки леса.

· Вырубается лес, являющийся деловой древесиной, т.е. молодые деревья остаются нетронутыми.

· Вырубка ведётся выборочная (предполагается отсутствие сплошных рубок) для того, чтобы не нарушить предположение управляемой модели о равномерности распределения деревьев разных возрастов по занимаемой территории.

Рассматривается динамика развития лесонасаждений на заданном временном интервале . При этих условиях управляемая модель динамики развития лесонасаждений описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(11)

с краевыми условиями

,,(12)

где функции управления - характеризуют скорость вырубки деревьев -го класса в единицу времени и удовлетворяет ограничениям

(13)

где - заданное максимальное значение вырубки деревьев -го класса, зависящее от используемых технологий; - номер возрастного класса, начиная с которого вырубленный лес является деловой древесиной и вырубается человеком.

Целью управления является максимизация функционала , который выражает прибыль лесозаготовительного предприятия, полученную от продаж вырубленного леса за данный интервал времени и отражает стоимость леса в конечный момент времени:

,(14)

где - невозрастающая функция стоимости продаваемого леса; - функция стоимости технологии добычи леса; - стоимость деревьев -го возраста, оставшегося на конечный момент времени . Невозрастающий характер функций стоимости леса вызван особенностью рынка деревообрабатывающей промышленности и является следствием экономических законов функционирования производства.

Переформулируем поставленную задачу. Выполнение краевых условий обеспечим введением дополнительного критерия

,(15)

Объединив оба критерия качества в один, переформулируем поставленную задачу. Задача оптимального управления состоит в минимизации функционала

(16)

при ограничениях (11)-(13). Поставленная задача решается в предположении постоянных цен на лес и постоянной стоимости технологий .

Строится функция Понтрягина и функция переключения для задачи (11)-(13), (16), а)

.

Используя принцип максимума Понтрягина, формулируется теорема о необходимых условиях оптимальности в задаче (11)-(13), (16), а).

Теорема 1. Пусть , - локально-оптимальный процесс задачи (11)-(13), (16), а), тогда оптимальное управление определяется условием

, ,

где сопряжённые функции являются решением системы дифференциальных уравнений

с граничными условиями

Для ситуации, когда , построена аналогичная управляемая модель и для неё выписаны необходимые условия оптимальности для двух видов ограничений на управление а) и б).

На рис.10-16 показана зависимость решения задачи оптимального управления от параметра ( - функция гибели молодых деревьев), порождающего нелинейность в модели динамики лесонасаждений. При увеличении параметра от до значение функции гибели увеличивается на в начальный момент времени и на в течении времени наблюдения, что приводит к уменьшению количества молодых деревьев, деревьев среднего и старшего возрастов. Следствием является сокращение сроков вырубки в каждой возрастной группе и уменьшение значения функционала на .

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Построим множество Парето для данной задачи. Если штрафной коэффициент равен нулю, тогда . Множество Парето построено для краевого ограничения . обозначает значение функционала (14), взятого с противоположным знаком, а величина штрафа обозначает значение функционала (15), который для выбранного набора параметров является активным. Видно, что два критерия качества соперничают: улучшение одного приводит к ухудшению другого.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16



Рис. 17 Множество Парето

Таблица 2

M	Jmin	Штраф
200	-15661,7	0,249492
250	-15661,67	0,260525
300	-15661,59	0,223836
350	-15661,48	0,15916
400	-15661,54	0,217476
500	-15661,42	0,147735
700	-15661,62	0,331153
800	-15661,78	0,477192
900	-15661,39	0,155262
1000	-15661,43	0,19461

Из практических соображений целесообразно получить решение поставленной задачи оптимального управления в условиях постоянного управления и сравнить полученные результаты. Задача решалась при ограничении на управление ; построенное оптимальное управление в классе постоянных функций принимает значение . Сравнение решений задачи поиска оптимального управления в классе кусочно-непрерыных функций и в классе постоянных функций приводится на рис. 18-22. При этом значение функционала при оптимальном управлении равно 15701,588, а при постоянном управлении - 15138,800, что даёт выигрыш оптимальному решению 3,58 %.



Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21



Рис. 22

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

· Разработана общая модель, описывающая неуправляемый и управляемый процессы развития лесного массива. В управляемой модели управление осуществляется по критерию максимизации прибыли от продаж вырубленного леса, а также учитывает состояние лесного массива в конечный момент времени. Для поставленной задачи оптимального управления выписаны необходимые условия.

· На основании предоставленной информации произведена обработка статистических данных и получены значения параметров для модели, описывающей процесс развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей.

· Для стохастической модели построен алгоритм до малых порядка для моделирования решения системы стохастических дифференциальных уравнений с возмущёнными параметрами, описывающих процесс развития лесонасаждений, обоснована сходимость применённого метода к решению. Исследовано влияние возмущённых параметров динамической системы на её поведение. Найдено критическое значение для параметров , при которых для описания системы допустимо использовать детерминированную модель.

· Разработана численная схема для построения решения задачи оптимального управления, на основании которой выявлено влияние параметров модели (параметры функции гибели молодых деревьев и стоимости продаваемого леса) на решение задачи оптимального управления. Проведено сравнение решений задачи поиска оптимального управления в классе кусочно-непрерывных функций и в классе постоянных функций.

Таким образом, поставленные цели работы решены.

детерминированный стохастический лесонасаждение управление

Основные положения диссертации опубликованы в работах

1. Андреева Е.А., Гольянова (Дмитриева) О.Н. Двойственный метод в задачах оптимального управления / Тверь, 2004. 46с.

2. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Задача об оптимальном использовании и восстановлении лесонасаждений // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 77.

3. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Оптимальное управление в модели использования лесонасаждений // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. научн. тр. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 172-178.

4. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Стохастическая модель, описывающая процесс развития лесонасаждений // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы конференции. - Воронеж: Воронежская гос. академия, 2005. С. 70.

5. Гольянова О.Н. Управляемая модель развития лесонасаждений Тверской и Архангельской областей // Вестник ОГУ, 2006, №4. С. 138-142.

6. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Оптимальное использование лесных ресурсов // Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Вып.8. Архангельск: Поморский государственный университет, 2006. С. 28-38.

7. Гольянова (Дмитриева) О.Н. Моделирование решения стохастического дифференциального уравнения, описывающего динамику развития лесного массива // Естественные и технические науки. 2006. №1(21). С. 224-230.

8. Дмитриева О.Н. Стохастическая модель динамики развития лесонасаждений // Сборник научных трудов "Многоуровневая система подготовки специалистов на основе информационных и коммуникационных технологий образования" Тверь: ТвГУ, 2006. С. 41 - 49.

Размещено на Allbest.ru

...