Разработка программного обеспечения для многовариантного прогнозирования экономического события в условиях неопределенности на основе 2-звенной кусочно-линейной экономико-математической модели в четырехмерном векторном пространстве

А.Г. Алиев,

канд. экон. наук,

доцент кафедры экономики и менеджмента

в отраслях топливно-энергетического комплекса

Азербайджанской государственной нефтяной академии (г. Баку)

The newest achievements in Mathematics and modern calculating technology are widely used in economic researches. In the paper the software for computer modeling of the economic event forecasting in the terms of uncertainty on the basis of two-unit piecewise linear economic-mathematical models in four-dimensional space has been described by the author. He has also developed the algorithm of actions on this program.

Keywords: piecewise linear economic mathematical models, uncertainty factor, multi-version forecast, finite-dimensional vector space, unaccounted factors, algorithm of computer modeling.

Прогнозирование - это способ научного предвидения, в котором используется как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения о будущем с целью его определения. Основная функция прогноза - обоснование возможного состояния объекта в будущем или определение альтернативных путей.

В основе экономического прогнозирования лежит предположение о том, что будущее состояние экономики в значительной мере предопределяется её прошлым и настоящим состояниями. Будущее несёт в себе и элементы неопределённости. Это объясняется следующими моментами: наличие не одного, а множества вариантов возможного развития, неполнота степени познания экономических законов, дефицит и недостаточная надёжность информации. Кроме того, действие экономических законов в будущем зависит не только от прошлого и настоящего состояний экономики, но и от управленческих решений, которые ещё только должны быть приняты и реализованы.

Под методами прогнозирования следует понимать совокупность приёмов и способов мышления, позволяющих на основе ретроспективных данных внешних и внутренних связей объекта прогнозирования, а также их измерений в рамках рассматриваемого явления или процесса вывести суждения определённого и достоверного относительно будущего состояния и развития объекта [1 - 9].

Экономико-математические модели в прогнозировании широко используются при составлении социально-экономических прогнозов на макроэкономическом уровне. К таким моделям относятся: однофакторные и многофакторные модели экономического роста, модели распределения общественного продукта (ВВП, ВНП, НД), структурные модели, межотраслевые модели, модели воспроизводства основных фондов, модели движения инвестиционных потоков и др.

В работах [10 - 14] предложена теория построения n-звенных кусочно-линейных экономико-математических моделей в условиях неопределённости в m-мерном векторном пространстве, дан математический метод определения многовариантного прогнозирования экономического события в условиях неопределённости. К фундаментальным результатам этой теории относятся следующее: математический экономический прогнозирование неопределенность

- предложен постулат «пространственно-временная определённость экономического процесса в условиях неопределённости в конечномерном векторном пространстве»;

- показана зависимость любого n-го кусочно-линейного векторного уравнения от 1-й кусочно-линейной функции и всех пространственного вида функций влияния неучтённых параметров , воздействующих на всём предыдущем интервале экономического события следующего вида:

;

- предложен метод построения прогнозирующей вектор-функции экономического процесса с учётом влияния прогнозирующей функции неучтённых параметров в конечномерном векторном пространстве вида:

.

Причём, воздействуя функциями влияния неучтённых параметров вида с конца последнего векторного уравнения кусочно-линейной прямой будут исходить прогнозирующие вектор-функции , которые представляют собой образующие гиперконической поверхности конечномерного векторного пространства, а точки её направляющей будут формировать линию прогнозирования экономического процесса в конечномерном векторном пространстве.

Далее в работах [15, 16] разработано специальное программное обеспечение для компьютерного моделирования численного построения и определения прогнозных величин экономического события с помощью кусочно-линейных экономико-математических моделей с учётом влияния неучтённых факторов на плоскости.

Данная программа успешно апробирована на многочисленных примерах. Здесь было получено полное соответствие графическим представлениям ранее разработанных плоскостных кусочно-линейных экономико-математических моделей с учётом влияния неучтённых факторов (выпуклостью кверху и книзу), а также (в вопросе установления области изменения прогнозируемой функции выпуклостью кверху и книзу), что свидетельствует о её надёжности. Данная программа апробирована и для кусочно-линейных моделей синусоидального типа [10]. Однако возникающие трудности вычислительного характера требуют создания специального программного обеспечения для компьютерного программирования и создания алгоритма действий для экономических процессов в условиях неопределённости в конечномерном векторном пространстве. В этой связи в работах [17, 18] разработано программное обеспечение для компьютерного моделирования 2-звенной кусочно-линейной экономико-математической модели с учётом влияния факторов неопределённости в 3-мерном и в m-мерном векторных пространствах. Здесь закладываются теоретические основы программирования подобных задач в конечномерном векторном пространстве.

В связи с изложенным в статье, предлагается специальное программное обеспечение для многовариантного прогнозирования экономического события в условиях неопределённости на основе 2-звенной кусочно-линейной экономико-математической модели в четырёхмерном векторном пространстве.

Алгоритм и численная программа для многовариантного прогнозирования экономического события в условиях неопределённости на основе 2-звенной кусочно-линейной модели в 4-мерном векторном пространстве

Для случая 2-звенной кусочно-линейной вектор-функции в условиях неопределённости в 4-мерном пространстве на основе программы Matlab разработаем алгоритм и численную программу для многовариантного прогнозирования экономического события.

Согласно теории [10 - 14], для случая 2-звенной кусочно-линейной вектор-функции в условиях неопределённости в четырёхмерном векторном пространстве имеем следующие уравнения и выражения:

(1)

Зададим аппроксимационные точки , , , , а также значения параметров и . Введем обозначения:

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

;

; ;

.

Пользуясь введёнными обозначениями алгоритм и соответствующая численная программа для системы (1) на языке Matlab будут представлены в виде:

a1=[a11 a12 a13 a14]

a2=[a21 a22 a23 a24]

a3=[a31 a32 a33 a34]

m1k1=(m1)*

m2k2=(m2)*

a4(1)=a4(1)*

for m1=J1:J2:J3

z1k1=a1+m1k1*(a2-a1);

m1k2=m1k1+m2k2*((a3-z1k1)*(a3-z1k1)')/((a3-z1k1)*(a2-a1)');

z1k2=a1+m1k2*(a2-a1);

z2k2=z1k1+(m1k2-m1k1)*((a3-z1k1)*(a2-a1)')/((a3-z1k1)*(a3-z1k1)')*(a3-z1k1);

cosa12=((z1k2-z1k1)*(z2k2-z1k1)')/(sqrt((z1k2-z1k1)*(z1k2-z1k1)')*sqrt((z2k2-z1k1)*(z2k2-z1k1)'));

A=(m1k1-m1k2)*(sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)'))/(z1k2*(z1k1-a1)');

p1=m2k2/(m1k1-m1k2);

p2=(sqrt((z1k2-z1k1)*(z1k2-z1k1)')*sqrt((a3-z1k1)*(a3-z1k1)'))/(z1k2*(z1k2-z1k1)');

p3=(z1k2*(z1k1-a1)')/(sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)'));

La2=p1*p2*p3;

w2=La2*cosa12;

z2=z1k2*(1+A*(1+w2))

z1=a1+m1*(a2-a1)

z1M=sqrt((z1)*(z1)')

m2=(m1-m1k1)*(((a3-z1k1)*(a2-a1)')/((a3-z1k1)*(a3-z1k1)'))

Am1=(m1k1-m1)*(sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)'))/(z1*(z1k1-a1)');

p1m1=m2/(m1k1-m1);

p2m1=(sqrt((z1-z1k1)*(z1-z1k1)')*sqrt((a3-z1k1)*(a3-z1k1)'))/(z1*(z1-z1k1)');

p3m1=(z1*(z1k1-a1)')/(sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)'));

La2m1=p1m1*p2m1*p3m1;

w2m1=La2m1*cosa12;

z2m1=z1*(1+Am1*(1+w2m1))

z2m1M=sqrt((z2m1)*(z2m1)')

a4(2)=z2k2(2)+[(a2(2)-a1(2))/(a2(1)-a1(1))]*(a4(1)-z2k2(1));

a4(3)=z2k2(3)+[(a2(3)-a1(3))/(a2(1)-a1(1))]*(a4(1)-z2k2(1));

a4(4)=z2k2(4)+[(a2(4)-a1(4))/(a2(1)-a1(1))]*(a4(1)-z2k2(1));

q1=[(a2-a1)*(a3-z1k1)']/[(a3-z1k1)*(a3-z1k1)'];

q2=((a3-z1k1)*(a4-z2k2)')/((a4-z2k2)*(a4-z2k2)');

m3=(m1-m1k2)*q1*q2

q3=(sqrt((z2m1-z2k2)*(z2m1-z2k2)')*sqrt((a4-z2k2)*(a4-z2k2)'))/(z1*(z2m1-z2k2)');

q4=[z1*(z1k1-a1)']/[sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)')];

La3m=[m3/(m1k1-m1)]*q3*q4;

cosa23=((z2m1-z2k2)*(a4-z2k2)')/[sqrt((z2m1-z2k2)*(z2m1-z2k2)')*sqrt((a4-z2k2)*(a4-z2k2)')];

Am1p=(m1k1-m1)*(sqrt((a2-a1)*(a2-a1)')*sqrt((z1k1-a1)*(z1k1-a1)'))/(z1*(z1k1-a1)');

w3mp=La3m*cosa23;

z3m1p=z1*[1+Am1p*(1+w2m1+w3mp)]

z3m1pM=sqrt((z3m1p)*(z3m1p)')

B1=(z1M)/(z3m1pM)

B2=(z2m1M/(z3m1pM))

B3=(z1M)/(z2m1M)

B4=(z1(1))/(z3m1p(1))

B5=(z2m1(1))/(z3m1p(1))

B6=(z1(1))/(z2m1(1))

B7=(z1(2))/(z3m1p(2))

B8=(z2m1(2))/(z3m1p(2))

B9=(z1(2))/(z2m1(2))

B10=(z1(3))/(z3m1p(3))

B11=(z2m1(3))/(z3m1p(3))

B12=(z1(3))/(z2m1(3))

B13=(z1(4))/(z3m1p(4))

B14=(z2m1(4))/(z3m1p(4))

B15=(z1(4))/(z2m1(4))

end

Задаваясь статистическими данными векторов , , , и параметрами и , с помощью предложенной выше численной программы можно проводить глубокие исследования по многовариантному прогнозированию экономического события в условии неопределённости на основе 2-звенной кусочно-линейной модели в 4-мерном векторном пространстве.

Пример. В качестве примера рассмотрим случай со следующими заданными статистическими векторами , , , и параметрами и :

a1=[1 1 1 1]

a2=[3 2 4.5 5]

a3=[6 4 7 6]

m1k1=1.5

m2k2=2

a4(1)=10

for m1=1,5:0,5:8

Таблица 1 - Численные значения модулей и соответствующих координат прогнозируемых точек-векторов при различных значениях параметров и в 4-векторном мерном пространстве

Таблица 2 - Численные значения отношений модулей и соответствующих координат прогнозируемых точек-векторов при различных значениях параметров и в 4-векторном мерном пространстве

Рисунок - График численных значений модулей и соответствующих координат прогнозируемых точек-векторов при различных значениях параметров и , вычисленных по разным критериям в 4-мерном пространстве

Данные таблицы 1 и 2 позволяют провести глубокий количественный и качественный анализ по прогнозированию экономического события, то есть численно отработать варианты прогнозных данных экономического состояния на последующем этапе, причём как по суммарным показателям в целом, то есть по модулю векторов , , , так и по отдельным экономическим факторам, то есть по координатам , , векторов.

Сверх этого имеется также возможность сопоставить прогнозные значения экономического события по 3-м критериям: 1) по результатам вычислений по линейному критерию; 2) по результатам вычислений согласно продолжению точек 2-й кусочно-линейной вектор-функции; 3) по результатам вычислений вектор-функции с учётом влияния факторов неопределённости. Схема такого сопоставления прогнозируемых данных графически представлена на рисунке, а в численном виде в таблицах 1 и 2. Здесь для любого значения произвольного параметра , изменяющегося в интервале , имеем соответствующие численные значения , , , .

Для наглядности в качестве примера возьмём значение параметра .

Примем во внимание обозначения соответствующих отношений координат векторов для (i-1,2,3,4) в виде:

, ,

, , (2)

Согласно формулам 2 и таблицам 1 и 2, численно установим соотношения координат векторов и , то есть и от соответствующих координат прогнозирующей функции с учётом влияния факторов неопределённости в виде:

(3)

(4)

(5)

, , (6)

Численное значение (3) показывает, что значения координат прогнозных величин, просчитанные по линейному критерию, в 2,8781 раз выше соответствующих прогнозных координат, просчитанных согласно вектор-функции с учётом влияния факторов неопределённости.

Численное значение (4) показывает, что значения координат прогнозных величин, просчитанные с помощью 2-й кусочно-линейной вектор-функции, составляют 0,9618 часть от значений соответствующих прогнозных координат, просчитанных согласно вектор-функции с учётом влияния факторов неопределённости.

Численное значение (5) показывает, что значения координат прогнозных величин, просчитанные по линейному критерию, в 2,9925 раз выше соответствующих прогнозных координат, просчитанных с помощью 2-й кусочно-линейной вектор-функции.

Численные значения (6) указывают на процентное соотношение суммарных показателей вектор-функций, то есть по модулю векторов , , , просчитанных по разным критериям.

С помощью численных данных таблицы 1 несложно установить зависимость координат прогнозирующей вектор-функции в зависимости от параметра , то есть , и .

Литература

1. Багриновский, К. А. Экономико-математические методы и модели / К. А. Багриновский, В. М. Матюшок. - М. : РУДН, 1999.

2. Терехов, Л. Л. Экономико-математические методы / Л. Л. Терехов. - М. : Статистика, 1972.

3. Макаров, В. Л. Математические модели экономического взаимодействия / В. Л. Макаров, А. М. Рубинов, М. И. Левин. - М. : Наука, 1993.

4. Албегов, М. М. Краткосрочное прогнозирование в условиях неполной информации / М. М. Албегов // Региональное развитие и экономическое сотрудничество. 1997. № 1.

5. Богданова, Т. К. Метод учёта влияния разнородных факторов в экономических измерениях / Т. К. Богданова, А. И. Гольденберг, К. С. Кузнецова, А. С. Эпштейн // Экономика и мат. методы. 1997. № 1. Т. 33.

6. Канторович, А. В. Приближенные методы высшего анализа / А. В. Канторович, В. И. Крылов. - М. : Физ.-мат. лит., 1962.

7. Халмош, П. Р. Конечномерное векторное пространство / П. Р. Халмош. - М. : Физматгиз, 1963.

8. Бугров, Я. С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. - М. : Наука, 1980.

9. Беллман, Р. Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Р. Беллман, Л. Заде. - М. : Мир, 1976.

10. Алиев, А. Г. Экономико-математические методы и модели в условиях неопределённости в конечномерном векторном пространстве / А. Г. Алиев. - Баку : Национальная академия наук Азербайджана; Информационные технологии, 2009.

11. Алиев, А. Г. Об одном критерии определённости экономического процесса в конечномерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Вестник Хабаровской государственной академии экономики и права. 2008. № 3 (36). С. 26 - 31.

12. Алиев, А. Г. Кусочно-линейные экономико-математические модели с учётом неопределённости в конечномерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Вестник Хабаровской государственной академии экономики и права. 2008. № 5 (38). С. 34 - 41.

13. Алиев, А. Г. Об одном принципе прогнозирования и управления экономических процессов с учётом фактора неопределённости в конечномерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Вестник Хабаровской государственной академии экономики и права. 2008. № 6 (39). С. 31 - 39.

14. Алиев, А. Г. Двухзвенная кусочно-линейная экономико-математическая модель и методика прогнозирования экономического процесса в условиях неопределённости в трёхмерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Проблемы экономики. 2009. № 2. С. 111 - 124.

15. Алиев, А. Г. Разработка программного обеспечения для компьютерного модулирования прогноза экономического события с помощью кусочно-линейных экономико-математических моделей с учётом влияния неучтённых факторов на плоскости / А. Г. Алиев // Вестник УМО. 2009. № 4. С. 139 - 144. (Экономика, статистика и информатика).

16. Алиев, А. Г. Разработка программного обеспечения для численного построения кусочно-линейных экономико-математических моделей с учётом влияния неучтённых факторов на плоскости / А. Г. Алиев // Вопросы экономических наук. 2009. № 5. С. 106 - 112.

17. Алиев, А. Г. Разработка программного обеспечения для компьютерного модулирования 2-звенной кусочно-линейной экономико-математической модели с учётом влияния факторов неопределённости в m-мерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Естественные и технические науки. 2010. № 2. С. 510 - 521.

18. Алиев, А. Г. Разработка программного обеспечения для компьютерного модулирования 2-звенной кусочной-линейной экономико-математической модели с учётом влияния факторов неопределённости в трёхмерном векторном пространстве / А. Г. Алиев // Экономические науки. 2010. № 3. С. 249 - 256.

Размещено на Allbest.ru