Размещено на http://www.allbest.ru/

Кусочно-линейные экономико-математические модели с учётом фактора неопределённости в конечномерном векторном пространстве

Азад Алиев,

канд. экон. наук,

доцент кафедры экономики и менеджмента

в отраслях топливно-энергетического комплекса

Азербайджанской государственной нефтяной академии (г. Баку)

The article offers the principle of space-time determination of economic process; the notion of piecewise likeness of the process; the method of building of n-component piecewise linear economic-mathematical model with account of the factor of influence of unaccounted parameters in the finishing linear space.

Представление экономических процессов в конечномерном векторном пространстве в виде математических моделей связано со сложностью полного учёта таких важных вопросов, как пространственная неоднородность происходящих экономических процессов, неполная макро- и социально-экономическая информация, а также изменяемость во времени многофакторных экономических показателей, их продолжительность и скорость изменения.

В связи с этим всевозможные экономические процессы, происходящие в конечномерном векторном пространстве, должны быть чётко определены в пространственно-временном аспекте. Благодаря лишь сформулированному принципу пространственно-временной определённости экономического процесса, возможно системным образом выявить динамику и структуру происходящего процесса. Сверх этого, налагая ряд дополнительных условий на происходящий экономический процесс, возможно классифицировать эти процессы в конечномерном векторном пространстве, а также предложить научно обоснованную методику прогнозирования и управления экономического процесса в конечномерном векторном пространстве [4,5,6].

В связи с вышеизложенным, ниже сформулирован принцип «пространственно-временной определённости экономического процесса в конечномерном векторном пространстве.

Принцип пространственно-временной определённости экономического процесса в конечномерном евклидовом пространстве

Будем считать, что при исследовании экономических задач в пространственно-временной системе, то есть в конечномерном векторном пространстве, происходящий тот или иной экономический процесс обладает пространственной неоднородностью, а также недостаточной макро- и социально-экономической информацией, включающей в себя пространственного вида серию неучтённых факторов.

Это будет означать, что в различных статистических точках конечномерного векторного пространства природа вектор-функции экономического процесса будут различны. С другой стороны, этот процесс во времени будет нестационарным. Это будет означать изменяемость во времени многофакторных экономических показателей и скорости их изменения.

Однако в точке и малом объёме вокруг точки конечномерного векторного пространства экономический процесс принимается однородным. Это предположение позволяет в малом объёме конечномерного векторного пространства представить экономический процесс в векторной форме в виде кусочно-линейной функции. При переходе от точек одной пространственной векторной кусочно-линейной прямой к другой пространственной векторной кусочно-линейной прямой происходящие процессы по своей однородности будут различными. Такое различие будет являться следствием влияния вышеизложенных неучтённых внешних факторов, именуемых нами «функциями влияния неучтённых параметров». Такую основу назовём «принципом пространственно-временной определённости экономического процесса».

Таким образом, будем считать, что в конечномерном векторном пространстве любой рассматриваемый экономический процесс будет однородным, если в выбранном малом объёме пространства за малый промежуток времени таблица статистических данных или экспериментальная зависимость вектор-функции от пространственных координат и времени получены при одинаковых внешних условиях в виде:

экономический векторный пространство модель

Это обстоятельство позволяет установить соответствие как между кусочно-однородными малыми объёмами и соседних статистических точек, так и между изменениями экономического процесса, происходящими во всём конечномерном векторном пространстве.

В математическом плане это означает, что в случае однородного процесса кусочно-линейная вектор-функция в точке и в её малой окрестности есть аналитическая функция.

Производные же по координатам, а также скорость изменения вектор-функции в малом интервале времени будут постоянными. На основе этого принципа ниже предложен общий метод построения кусочно-линейных экономико-математических моделей в условиях неопределённости в конечномерном векторном пространстве.

Общий метод построения кусочно-линейных динамических моделей с учётом фактора неопределённости

Пусть дана статистическая таблица, описывающая некоторый экономический процесс в виде множества точек (векторов) конечномерного векторного пространства Rm.

Причём числа an1, an2, an3,…… ani являются координатами точки (вектора) , или по-другому - компонентами вектора . С помощью векторов всё множество статистических точек (векторов) в пространстве Rm представим в векторной форме в виде n-кусочно-линейных уравнений вида:

, . (1)

Здесь и - произвольные положительные числа, отнесённые к n-кусочно-линейной прямой.

Векторные уравнения кусочно-линейных прямых (1) с учётом связи параметров запишем в зависимости только от одного параметра (или ) в виде:

,

или

, . (2)

Теперь, используя принцип определённости экономического процесса в конечномерном евклидовом пространстве, дадим общую методику построения в векторной форме n-й кусочно-линейной вектор-функции в зависимости от 1-го кусочно-линейного векторного уравнения и косинусов углов, образуемых между смежными кусочно-линейными векторами. Построение начнём со 2-го кусочно-линейного векторного уравнения [3].

Для этого поступим следующим образом. Согласно формулам (1) и (2), запишем векторное уравнение для 1-й кусочно-линейной прямой в виде:

, , (3)

здесь и - произвольные числа, соответствующие точкам 1-й прямой.

Уравнения 1-й и 2-й прямой необязательно пересекутся в точке , то есть точка пересечения этих прямых может и не совпасть с точкой , поэтому точку пересечения 1-й и 2-й кусочно-линейных прямых обозначим через (рисунок 1).

Теперь с помощью точки пересечения и произвольно заданной векторной прямой запишем векторное уравнение для 2-й прямой в виде:

. (4)

Здесь есть произвольный параметр, соответствующий точкам 2-й прямой.

. (5)

(5) есть условие контакта между двумя прямыми.

Рисунок 1

Векторное уравнение 2-й кусочно-линейной прямой (4) с учётом контактного условия (5) примет вид:

. (6)

Здесь есть значение вектора (точки) 1-й кусочно-линейной прямой в -й контактной точке и равный следующему:

. (7)

Подставляя (7) в (6), выразим векторное уравнение 2-й кусочно-линейной функции в зависимости от векторов и контактного значения параметра в виде:

(8)

В полученной формуле (8) 2-й и 3-й члены представлены в виде символической операции деления векторов.

В силу того, что в аксиоматике конечномерного векторного пространства символическая операция деления векторов не определена, в [1] предложены две теоремы, суть которых в следующем. В конечномерном евклидовом пространстве скалярное произведение любого вектора на сопряженный ему модифицированный вектор равно единице.

Применяя эти теоремы к дробям представим их в виде:

; (9)

Подставляя (9) в (8) запишем уравнение 2-й кусочно-линейной прямой в виде [3]:

. (10)

Здесь

,

. (11)

Таким образом, формулой (10) математически устанавливается связь произвольных точек 2-го векторного уравнения кусочно-линейной прямой, с одной стороны, в зависимости от векторного уравнения 1-й кусочно-линейной прямой ; с другой стороны, от пространственного параметра и пространственной функции влияния . В формуле (10) в произвольном виде участвуют параметры , . Это неудобство можно исключить следующим образом. Используем условие равенства нулю скалярного произведения двух ортогональных векторов.

Для этого в произвольной точке В 2-й кусочно-линейной прямой восстановим к ней перпендикуляр и продолжим её до пересечения с 1-й кусочно-линейной прямой. Тем самым образуем вектор , который будет перпендикулярен вектору , то есть (рисунок 2). В этом случае условие ортогональности запишем в виде равенства нулю их скалярного произведения [1]:

. (12)

Рисунок 2

Вычислим векторы и , получим:

.

Подставляя их в скалярное произведение (12), получим:

. (13)

Из (13) видно, что одно из значений будет будет .

В случае же значение параметра будет равен:

 при . (14)

Для произвольного же значения из (13) установим условие связи между параметрами и в виде:

, при . (15)

Таким образом, формулой (15) установили математическую связь между произвольным параметром , соответствующим точкам 2-й кусочно-линейной прямой, с произвольным параметром , соответствующим точкам 1-й кусочно-линейной прямой в векторной форме [3].

Теперь с помощью точки пересечения и произвольно заданной точки (вектора ) на 3-й кусочно-линейной векторной прямой, запишем векторное уравнение для 3-й кусочно-линейной прямой в виде (рисунок 3):

. (16)

Здесь есть произвольный параметр, соответствующий точкам 3-й прямой.

Рисунок 3

Проведя аналогичные выкладки, установим зависимость всех точек 3-й кусочно-линейной прямой с учётом фактора разности скорости экономического процесса между 2-й и 3-й кусочно-линейными прямыми. Эти исследования даны в статье [2]:

. (17)

Здесь

(18)

Таким образом, формула (17) устанавливает связь произвольных точек 3-го векторного уравнения кусочно-линейной прямой, с одной стороны, в зависимости от векторного уравнения 1-й кусочно-линейной прямой;

с другой стороны, от пространственных параметров и ,

а также от пространственной функции влияния неучтённых параметров [2]. Связь произвольного параметра с параметром будет иметь вид:

, для . (19)

Проводя аналогичные выкладки проведём по построению векторного уравнения для 4-й кусочно-линейной прямой и установим зависимость всех точек 4-й кусочно-линейной прямой с учётом фактора разности скорости экономического процесса между 3-й и 4-й кусочно-линейными прямыми в виде:

. (20)

Здесь

. (21)

, для . (22)

Такой результат получен в работе [2]. После всего этого рекуррентным способом несложно получить в конечномерном евклидовом пространстве зависимость любого n-го кусочно-линейного векторного уравнения от 1-й кусочно-линейной функции и всех пространственного вида функций влияния неучтённых параметров , воздействующих на всём предыдущем интервале экономического события, в виде:

, (23)

где

. (24)

, для (25)

(26)

(27)

, . (28)

Таким образом, формулами (23) - (28) установлена математическая связь произвольных точек n-кусочно-линейных прямых в зависимости от векторного уравнения 1-й кусочно-линейной прямой и пространственных функций влияния неучтённых факторов, встретившихся на всём предыдущем интервале времени.

Литература

1. Алиев А. Г. О построении сопряженного вектора в евклидовом пространстве для экономико-математического моделирования // Известия Национальной академии наук Азербайджана. 2007. № 2. С. 242 - 246. (Сер. гуманитарных и общественных наук (Экономика)).

3. Алиев А. Г. О разработке четырёхзвенной кусочно-линейной экономико-математической модели с учётом фактора неопределённости в конечномерном векторном пространстве // Известия Национальной академии наук Азербайджана. 2007. № 3. (Сер. гуманитарных и общественных наук (Экономика)).

4. Алиев А. Г. Построение двухзвенной кусочно-линейной экономико-математической модели с учётом фактора неопределённости в конечномерном векторном пространстве // Экономика и жизнь. 2007. № 9. С. 42 - 48.

5. Алиев А. Г. Экономико-математические методы и модели с учётом неполной информации : монография. - Баку, 2002.

6. Конюховский П. Математические исследования операций в экономике. - СПб. : Питер, 2000.

7. Халмош П. Р. Конечномерное векторное пространство. - М., Физматгиз, 1963.

Размещено на Allbest.ru