Анализ состояния и управления динамикой экономических систем, представимых балансовыми моделями

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Анализ состояния и управления динамикой экономических систем, представимых балансовыми моделями

Настоящая работа посвящена вопросам численного анализа динамической балансовой модели Леонтьева, разработке экономико-математических методов анализа и управления статической устойчивостью и динамическими свойствами экономических систем.

Характер и динамика экономического развития любой системы (страны, региона и т.д.) традиционно являются предметом пристального внимания и всестороннего исследования. Придерживаясь этого главного положения, в работе ставятся и некоторые задачи анализа состояния и управления экономической динамикой экономических систем, представляемых балансовыми моделями.

Общеизвестно, что экономико-математическое моделирование и численный анализ моделей имеют возрастающее значение для практики составления прогнозов экономического развития и увеличивают возможность теоретического анализа. Рост масштабов хозяйственной деятельности и усложнение взаимосвязей между предприятиями, отраслями, регионами, а также значительный временной разрыв между началом подготовки производства и моментом реализации продукции и многие другие факторы значительно усложнили структуру экономических задач и повысили их размерность [1].

Сила и суть межотраслевого анализа В. Леонтьева, по мнению академика РАН А. Гранберга [1], состоит «...в соединении теории функционирования экономических систем, метода математического моделирования, приемов систематизации и обработки экономической информации».

Метод межотраслевого анализа В.В. Леонтьева открыл широкую дорогу для количественных исследований структурных и динамических закономерностей и капиталистической, и социалистической, и смешанной экономики. Благодаря этому прояснились многие проблемы экономической теории: природа и измерение «повторного счета» стоимости в кругообороте общественного производства, взаимосвязи между материальными и стоимостными пропорциями, различия между концепциями ценообразования и т.д. [1].

Детально составленный динамический межотраслевой баланс (МОБ) может служить математико-статистической базой для анализа как колебательной, так и апериодической устойчивости экономических систем. Для этого могут широко использоваться матричные методы, основанные на оценке собственных значений матриц коэффициентов динамических МОБ, записанных в виде систем разностных или дифференциальных уравнений первая из них имеет вид:

--X(t--)---AХ&(t--)---B(--X(t--+1)---X(t--))=Y(t--)--(1)--где:--X(t--)--и--Х^&(t--+--1)-- -уровни выпуска различных отраслей в периоды времени t и t+1;

Y(t ) - количество различных товаров и услуг;

А - матрица коэффициентов прямых затрат;

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

A ={a_i,j--};i,--j--=1,n;--

В - матрица капитальных коэффициентов;

B ={b_i,j--}, b_i,j - определяемый технологией запас благ (промышленных зданий и сооружений, машин, механизмов, запасов и материалов, производимых отраслью i для использования в отрасли j для производства единицы ее продукции), другими словами, общий элемент b_ij квадратной матрицы В представляет собой запас продукции отрасли i, требуемый для производства единицы выпуска отрасли j. Предельный переход в системе (1) порождает систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

--(--I-----A)X(t--)---BХ&(t--)=Y(t--),--(2)--

здесь BХ^?(t) - скорость накопления и свертывания всех видов «капитала» в их взаимосвязи с изменениями скоростей выпуска Х^? всех отраслей.

Анализ колебательной устойчивости и темпов экономического роста (или спада) производится по собственным значениям матрицы замкнутой динамической модели МОБ, записанной в нормальной форме Коши. Для замыкания модели (2) необходимо вектор потребления Y(t) выразить через другие переменные. Для этого надо ввести единицу измерения количества потребного в той или иной отрасли труда и заработной платы за вложенный труд. Положим ^a_n?1,i - количество труда, требуемое отрасли с номером i для выпуска единицы продукции за время t. Тогда для выпуска в тот же период времени вектора X(t) требуется затратить

n

е a_n?1,i x_i (t) единиц труда. Пусть единица труда потребляет за период времени t продукцию i-й отрасли в количестве q_i единиц.

i=1

n

Тогда y_i (t)=--q_i--е--a_n+1,--j--x--_j--(t).-- j=1

Или в матричном виде Y(t)=QX(t), (3)

где Q - матрица размерностью nґn, имеющая i-ю строку q_ia_n+1--=q_i--е--a_n+1,--j--.--j=1

Подставив (3) в (2) получим систему

Х&(t)=GX(t),--(4)--где--G--=--B^-1(I-----A-Q).--

Таким образом, введением матрицы (I ---A-Q)модель (2) замыкается по потреблению, но здесь необходимо учитывать, что рост труда в конкретной экономической системе не может превосходить рост народонаселения.

Обращаясь к истории развития вопроса в математике и теории управления, отметим, что для упрощения исследований статистической устойчивости на основе оценок собственных значений матриц на ранних этапах были разработаны простые, требующие небольших объемов вычислительных затрат, достаточные критерии. Они базируются на информации о расположении собственных чисел матрицы D системы (3) либо матрицы А замкнутой по потреблению динамической модели МОБ, записанной в нормальной форме Коши с постоянной матрицей: dt. (5)

dx=Размещено на http://www.allbest.ru/

1

--Ax,t--О[_,T]

Первая работа по определению места расположения собственных чисел квадратной матрицы была выполнена С.А. Гершгориным. Оценки Гершгорина определяются следующей теоремой [2]: все собственные значения матрицы А порядка n находятся в области Q, являющейся объединением кругов aРазмещено на http://www.allbest.ru/

1

_ii -l_i--ЈРазмещено на http://www.allbest.ru/

1

--R_i--,--i--=1,Размещено на http://www.allbest.ru/

1

n , (6)

где R_i =е--a_ij--.--

j=1--j№i

Таким образом, для каждого собственного значения li найдется круг с центром aii и радиусом Ri, содержащий собственное значение. Следовательно, все собственные значения находятся в объединении таких кругов. Достаточным условием статической устойчивости системы является расположение всей области Q в левой полуплоскости комплексного переменного l, что будет иметь место, если a_ii <--_,--a_ii--<--R_i--,--i--=1,n .

Теорема Гершгорина дала возможность ряду авторов продолжить исследования, которые завершились появлением фундаментальной обобщающей монографии Дж. Уилкинсона [2]. Однако необходимо отметить, что в любом случае локализация собственных значений матрицы G системы (4) зависит от знака и преобладания ее диагональных элементов над остальными.

Задача разработки экономико-математических методов выбора оптимальных значений элементов вектора конечного потребления, отраслевых запасов или других параметров экономических систем с целью обеспечения удовлетворительного демпфирования низкочастотного самораскачивания (деловых циклов) и повышения темпов расширения экономической системы является сложной научно-технической задачей. При этом возникает задача целенаправленного изменения расположения в комплексной плоскости значительного числа корней за счет координации элементов вектора конечного спроса. Причем, анализировать эту задачу приходиться в условиях высокой размерности и связанности модели, а также значительного числа режимов и условий функционирования системы. Перечисленные обстоятельства обуславливают потребность в качественно новом методическом подходе к решению поставленной задачи.

Ввиду большого объема перерабатываемой информации необходимо, чтобы процесс получения оптимальных параметров экономической системы был полностью автоматизирован, что налагает соответствующие требования на комплекс программ, необходимых для решения задачи:

­ минимизацию специально разработанной функции качества, которая должна быть достаточно гладкой и ориентироваться на совокупность корней, определяющих качество переходного процесса, что обеспечит формализованный численный поиск оптимальных компонент вектора конечного спроса;

­ поиск единого вектора варьируемых параметров для выбранной совокупности режимов работы экономической системы, т.е. при учете временной зависимости элементов матрицы системы;

­ учет ограничений на варьируемые параметры, налагаемые из инженерноэкономических соображений;

­ надежность работы алгоритмов минимизации функции качества [5];

­ исключение из рассмотрения слабоуправляемых и неуправляемых характеристических корней, вследствие чего происходит обоснованное агрегирование динамической модели МОБ при численном поиске вектора спроса.

Реализуемая в процедурах численной оптимизации динамическая модель МОБ отражает экономическую динамику, то есть показывает, как связано между собой производство в течение ряда лет. Для дальнейшего важно ввести понятие степени колебательной устойчивости и степени экономического роста [3]: под степенью колебательной устойчивости будем понимать вещественную часть самого правого в комплексной плоскости комплексного корня характеристического уравнения, взятого с обратным знаком; а под степенью экономического роста - значение самого правого действительного корня. Важно для облегчения анализа трансформации отдельных составляющих движения сложной экономической системы в алгоритме поиска и его программной реализации предусмотреть промежуточную печать всех собственных значений, соответствующих меняющимся в ходе поиска значениям варьируемых параметров.

Структура работы алгоритма программного комплекса, удовлетворяющего предъявленным требованиям, представлена на рис. 1.

Элементы матриц динамической модели МОБ и начальные значения элементов вектора конечного спроса вводятся в блок 1. Там же создается нормальная форма Коши, матрица коэффициентов которой является результатом проделанной предварительной работы и хранится в блоке 1. Ее собственные числа однозначно характеризуют динамические свойства системы.

Рис. 1. Алгоритм численного поиска элементов вектора спроса

1 - блок задания коэффициентов матриц А и В и приведения уравнений к форме Коши;

2 - блок вычисления собственных значений матрицы;

3 - блок формирования функции качества F;

4 - блок минимизации функции F и коррекции элементов вектора спроса.

На первом шаге оптимизации задаются начальные значения элементов вектора Y(t), которые в общем случае выбираются произвольно из области допустимых значений. В процессе работы в блок 1 передаются текущие значения варьируемых параметров, которые являются результатом очередного этапа оптимизации. Их участие в построении формы Коши корректирует матрицу замкнутой системы и инициирует следующий шаг поиска.

Скорректированная матрица передается в блок 2, где вычисляются ее собственные значения. На их основе в блоке 3 определяется численное значение показателя качества переходных процессов в экономической системе. При поиске оптимального вектора Y(t) можно минимизировать различные функции качества, осуществляя управление одним (например, самым правым) корнем или обеспечивая согласованное смещение в комплексной плоскости целой группы корней характеристического уравнения.

В блоке 4 реализованы несколько алгоритмов численного поиска, которые определяют стратегию изменения варьируемых параметров в направлении минимизации функции качества. По результатам работы блока 4 вновь корректируется матрица состояния системы в блоке 1. По окончании процесса минимизации для найденных значений элементов вектора конечного спроса рассчитываются собственные числа, по которым делается суждение о собственных динамических свойствах системы и темпах экономического развития.

Важнейшим фактором, определяющим эффективность процедуры численного поиска, является выбор критерия качества, формируемого в блоке 3 схемы алгоритма, приведенной на рис. 1. При его синтезе необходимо удовлетворить следующим основным требованиям. Во-первых, он должен учитывать расположение в комплексной плоскости группы доминирующих корней, определяющих динамические свойства системы, Предоставлять возможность задания желаемой степени экономического роста и степени колебательной устойчивости и быть пригодным для реализации в процедурах выбора компонент вектора Y(t). Во-вторых, он должен обладать необходимыми математическими свойствами, позволяющими использовать его в традиционных алгоритмах численного поиска. Например, должен быть достаточно гладким, т.е. иметь непрерывные производные по варьируемым параметрам. Этим требованиям вполне удовлетворяет функция следующего вида [3]:

F=--е(l_{_--}-a_i--)ⁿ+еwⁿ_i , (7)

ai Јl_wi--№0

где: a_i - вещественные части корней;

l₀ - заданная величина показателя качества, степень экономического роста; v - параметр (v = 2,3,4,...);

w_i - мнимые части корней, обуславливающие колебательные процессы в экономических системах.

Следует особо подчеркнуть, что функция качества (7) может быть включена в алгоритм численного списка только в том случае, когда матрица системы (4) G имеет в результате оптимизации действительные собственные числа.

Задание параметра l₀ выделяет группу доминирующих корней, вещественные части которых a_i меньше l₀. Цель оптимизации заключается в смещении этих корней в комплексной плоскости в направлении уменьшения разности между l₀ и a_i, а также в минимизации, а в лучшем случае обнулении, частот системных колебаний w_i. Таким образом, параметр l₀ характеризует желаемые динамические свойства системы. Если при этом максимально высокая степень экономического роста, достижимая за счет выбора элементов вектора Y(t), оказывается меньше требуемого ее значения, то в результате оптимизации не удается для всех корней выполнить условия a_i--і--l_{_} и F = 0 при w_i. Однако корни, для которых первое из указанных условий остается невыполненным, в ходе численного поиска смещаются в сторону l₀ в соответствии с системными возможностями конечного спроса по управлению ими.

Если в процессе численного поиска получить вещественный спектр собственных значений не удается, то для минимизации можно предложить следующий функционал [3]:

--F=--е(l_{_--}-l_i--)ⁿ+--е(a_{_--}-a_i--)^n--,--(8)--

wliiЈ=l__awiiЈ№a__

где: l_i - вещественные корни характеристического уравнения;

a₀ - заданный показатель демпфирования колебательных составляющих; a_i - вещественные части комплексных корней, взятые с обратным знаком.

Тогда вещественные корни характеристического уравнения обеспечат динамику экономического роста, а колебательные составляющие движения будут иметь декремент затухания в соответствии с системными возможностями по управлению ими. Поясним формирование F на примере рис. 2.

Функция F зависит как от корней (1-4), лежащих левее прямой ?₀, так и от комплексно-сопряженных пар (5-7), расположенных правее прямой ?₀. Вклад каждого корня в функцию F тем больше, чем дальше от соответствующей прямой он расположен. Важно, что значение минимизируемой функции F определяется всей группой доминирующих корней, причем их количестве в ходе процесса поиска может меняться. С этой точки зрения корни 0 и 8 не участвуют в суммах (2) до тех пор, пока при варьировании коэффициентов y_i они не пересекут соответствующие прямые l₀ или a₀ [4].

Рис. 2. Схема расположения корней и формирования функции качества

Подводя итоги предложенных решений некоторых задач анализа состояния и управления динамикой экономических систем, представимых балансовыми моделями, можно сделать вывод, что наиболее эффективным инструментом для численного исследования вопросов устойчивости макросистем с получением количественных результатов является динамический межотраслевой баланс В.В. Леонтьева (МОБ), а расчет собственных значений имеет значительные преимущества при решении практических задач анализа устойчивости, а также оптимизации собственных динамических свойств экономических систем.

Литература

межотраслевой баланс экономический

1. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ. Автор предисл. и науч. ред. Гранберг. М. ОАО Издательство «Экономика», 1997.

2. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М. Наука, 1970.

3. Бутова О.О. Численные методы анализа и оптимизация динамических свойств макроэкономических систем. Монография. Ставрополь: ООО Мир данных, 2011.

4. Чумак А.Г., Чернышов А.В., Бутова О.О. Оценка эффективности фрагмантарно-пиктографического метода представления информации. «Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки» Краснодар: ООО «Издательский Дом-Юг, № 6/2, 2015. С. 247-253.

5. Чернышов А.В., Применение экспертных систем для анализа и оценки информационной безопасности. «Гуманитарные, социально-экономические и общественные науки». Краснодар: ООО «Издательский Дом-Юг, № 6/2, 2015. С. 243-246.

References

1. Leont'ev V.V. Interindustry economy / ed.by Granberg; tr. from English / M.:

"Economy" Publishing House, 1997.

2. Wilkinson J. Algebraic eigenvalue problem. M.: Science, 1970.

3. Butova O.O. Numerical methods for the analysis and optimization of dynamic properties of macroeconomic systems : monograph. Stavropol: “World of data” Ltd., 2011.

4. Chumak A.G., Chernyshov A.V., Butova O.O. Evaluation of the effectiveness of fragmentary-pictographic method of representation of information // Humanities, Social-economic and Social Sciences. Krasnodar: “South” Publishing House, № 6/2. 2015. P. 247-253.

5. Chernyshov A.V. The use of expert systems for analysis and evaluation of information security // Humanities, Social-economic and Social Sciences. Krasnodar: “South” Publishing House. № 6/2. 2015. P. 243-246.

Размещено на Allbest.ru