Экспериментальные данные, полученные при научных исследованиях в различных отраслях деятельности, подвергаются статистическому анализу, состоящему из комплекса математических исследований. В результате получают регрессионно-корреляционные модели для оценки результирующего фактора от одного или нескольких признаков. Исследования естественных природных систем соответствует условиям проведения пассивного эксперимента. Регрессионные зависимости применяют для оценки физико-механических свойств торфяных залежей для проектирования насыпей промышленных дорог на слабом основании [9, 10]. Обычно статистические модели получают на основе метода классического линейного регрессионного анализа.

Целью данной статьи является обоснование применения метода главных компонент при статистическом анализе материалов пассивного эксперимента на основе анализа регрессионных зависимостей.

Прогнозирование свойств по этим регрессионным моделям может в ряде случаев осуществляться со значительными погрешностями. Подобное явление возникает из-за смещения в оценках коэффициентов регрессии в следствии мультиколлинеарности, т.е. сильной коррелированности исходных параметров [1]. Кроме того, классический регрессионный анализ основан на предположении нормальности распределений исходных параметров, что не всегда удается соблюсти. Замена исходных взаимосвязанных переменных на некоторую совокупность некоррелированных параметров (компонент) при сохранении без искажения всей информации о свойствах изучаемого торфяного основания может быть осуществлена методом главных компонент. Метод главных компонент для статистического анализа применяют при исследованиях в различных сферах деятельности: социально-экономические исследования [3], управление предприятием на основе анализе его производственно-хозяйственной деятельности [12], при инженерногеологических изысканиях для оценки прочностных и деформационных свойств слабых грунтов [2, 4, 7, 9], инженерной геологии [6], технологических процессов производства [8] и др. У регрессионной модели, построенной по главным компонентам, будут отсутствовать отмеченные выше недостатки.

Теоретические основы метода главных компонент, а также алгоритмы их вычисления приведены в специальной литературе по математической статистике [1, 3, 11 и др.].

Рассмотрим варианты построения многофакторных зависимостей обоими способами.

Для торфяных систем Ивкина Т.Н., Королев А.С. [3] оценивали влияние на предельное сопротивление сдвигу по крыльчатке ?^е пятимерного вектора строки Х = [H, R, W₀, pH, D].

Прочность торфа ^tе определялась крыльчаткой СК-8 с пятикратной повторностью на глубине Н. По образцам торфа, отобранным с этой же глубины, определялись по стандартным методикам с двукратной повторностью физико-химические показатели (R - степень разложения, %; W0 - абсолютная влажность, %; pH - кислотность; D - содержание фракций <250mk). Всего наблюдений - 152.

По результатам классического линейного многофакторного анализа в соответствии с критерием достоверности коэффициентов множественной линейной регрессии только R и W0 оказывают достоверное влияние на ^?е. Влияние остальных параметров не достоверно. Обработка данных методом главных компонент показала, что генеральной компоненты нет. Все компоненты носят общий групповой характер. Максимальную нагрузку на 1 и 5 компоненты дают показатели R и W0, на вторую и четвертую - pH, D, на третью - глубина Н. Достоверное влияние на прочность в соответствии с критериями достоверности оказывают первая, вторая, четвертая и пятая компоненты. Устойчивое влияние на показатель прочности оказывает только абсолютная влажность W0, через все компоненты, уменьшая ^?е. Остальные показатели оказывают двойственное влияние на ^?е, через одни компоненты увеличивая его, а через другие уменьшают.

Таким образом, все показатели вектор строки влияют на результирующий параметр ^tе.

Оценка деформационных свойств торфяных залежей по результатам натурных обследований насыпей дорог на болотах осуществлялась через обобщенный модуль деформации Е^*= Е_об / (1 - m²) (Е_об - модуль общей деформации; m - коэффициент поперечного расширения) [5]. Для многомерного анализа Е^* (кПа) неосушенных залежей [7, 9] использовалась вектор-строка параметров Х = [P, H, a/H, W0, R]. При обследовании определялись параметры: P - удельная нагрузка от тела насыпи (кПа); Н - глубина болота (м); 2а - расчетная ширина равномерно распределенной нагрузки (м); Wo - естественное влагосодержание (г/г); R - степень разложения (%). Количество поперечников дорог неосушенных торфяных залежей - 137.

Результаты статистических расчетов классического многомерного регрессионного анализа для всех факторов приведены в таблице 1.

Проверка на значимость коэффициентов регрессии при параметрах Р, W0, R дает положительный результат., что подтверждает результаты, полученные по парным зависимостям. В многомерном регрессионном уравнении недостоверным оказалось влияние на Е* параметров Н и а/Н, характеризующих геометрию насыпи и залежи. Попеременное исключение из анализа Н или а/Н и построение регрессионных уравнений вида Е*= f (P, H, W_o, R) и Е*=f (P, а/H, W_o, R) для неосушенной залежи привело к зависимостям со значимыми коэффициентами регрессии вида

Е*= 46,69 + 1,149 Р + 4,82 Н - 3,97 W_o + 0,953 R ± t 27,4; R_мн=0,829;

Е*= 54,63 + 1,342 Р - 3,534 а/Н - 3,97 W_o + 1,06 R ± t 27,6; R_мн=0,826;

Е*= 39,23 + 1,259 Р - 3,08 W_o + 1,236 R ± t 27,59; R_мн=0,825,

где t - нормирующий множитель.

Таблица 1. Результаты анализа множественных уравнений регрессии обобщенного модуля общей деформации Е*

Примечание. Стандартное значение критерия Стьюдента равно 1,96.

В качестве начального материала для вычисления главных компонент используют корреляционную матрицу исходных параметров, над которой выполняют методами линейной алгебры ортогональные преобразования. В начале из нее выделяют главные компоненты, которые являются характеристическими (собственными) векторами этой матрицы. Каждому характеристическому вектору соответствует собственное число, наибольшее из которых является дисперсией первой главной компоненты. Первые три компоненты объясняют 89,6 процентов общей дисперсии параметров выборки. При этом первая главная компонента связана практически со всеми параметрами выборок и может быть признана генеральной, а остальные относятся к общим групповым. Вторую компоненту образовывают параметры геометрии - Н, а/ H, а третью компоненту у всех выборок - внешняя нагрузка P.

Дисперсии главных компонент соответствующие их собственным числам в порядке убывания, а также матрица коэффициентов корреляции параметров с ними приведены в таблице 2.

Для образования главных компонент используются параметры, которые вносят в компоненты достоверный вклад.

Таблица 2. Матрица коэффициентов корреляции с главными компонентами

При диагонализации матрицы коэффициентов корреляции между параметрами получают матрицу, составленную из коэффициентов корреляции между нормализованными параметрами и главными компонентами, которые называются весами параметров в компонентах.

Для использования главных компонент в регрессионном анализе перейдём от нормализованных параметров к центрированным параметрам, матрица весов (нагрузка) которых в главных компонентах приведена в таблице 3. Величина главной компоненты K r (r = 1…n) представляет собой сумму произведений центрированных значений параметров основания и весов (нагрузок) этих параметров Аir (см. табл.3) на вычисляемую компоненту и равна

n

K r = е Air (Хi - Х0i), r=1

где Хi, Х⁰i - соответственно, исходный параметр и его среднеарифметическое значение (например - Р).

Таблица 3. Матрица весов параметров в главных компонентах

Регрессионное уравнение по главным компонентам обобщенного модуля общей деформации Е^{* (}кПа) со значимыми коэффициентами регрессии при компонентах для вектор строки Х = [P, H, a/H, W₀, R] имеет вид [9]

Е^{* -} 131 = 0,154 K_I + 0,126 K_{I I} + 0,265 K_{I I I -} 0,058 K_V + t 27,5.

Анализируя влияние параметров через главные компоненты на деформационную характеристику Е* можно отметить следующее. Все параметры достоверно влияют на Е*. Внешняя нагрузка и глубина болота через все значимые компоненты увеличивают Е*, что совпадает с выводами по анализу парных зависимостей. Остальные показатели оказывают двойственное влияние, через одни компоненты, уменьшая их, а через другие увеличивая.

Рассмотрим учет влияния эффекта взаимодействия показателей для неосушенной залежи у выше приведенной выборки. Методами многомерного статистического анализа проведем оценку влияния на Е^* вектор-строки следующих физико-механических характеристик и параметров торфяного основания и насыпи с учетом эффекта их взаимодействия:

X = [P, H, W₀, R, P (a/H), PW₀, PR].

Значение парных коэффициентов корреляции модуля Е^* с каждым из аргументов колебались по абсолютной величине от r = 0,745 для Р до r = - 0,362 для W₀, что превышает по абсолютной величине порог достоверного минимального коэффициента корреляции (r = 0,168) для объема выборки N = 137 при 5% уровне значимости.

Построение модели в виде линейного уравнения множественной регрессии методами обычного множественного анализа показало следующее (см. табл.1). С 5% уровнем значимости по t-критерию Стьюдента только коэффициент регрессии при Р оказался значимым, при достоверном значении множественного коэффициента корреляции. Это, по-видимому, возникло из-за смещения в оценке коэффициентов регрессии вследствие сильной коррелированности входных переменных (так, например, между W0 и R коэффициент корреляции - rW0 R = - 0,615). В подобных случаях учет коллинеарности возможен в регрессионном анализе на главных компонентах [8], в результате которого получены следующие данные.

В результате компонентного анализа на ПЭВМ получена матрица коэффициентов корреляции показателей с главными компонентами и дисперсии, приходящиеся на каждую из них (таблица 4).

Таблица 4. Коэффициенты корреляции показателей неосушенной торфяной залежи с главными компонентами (в тысячных долях)

Анализ таблицы 4 показывает, что первые четыре компоненты выделяют 96,6% от общей дисперсии признаков.

Первая компонента является генеральной, но преобладающее влияние на нее оказывает удельная нагрузка и её взаимодействие со степенью разложения, остальные компоненты - общие групповые. Вторую компоненту образуют физико-механические характеристики залежи (W0,R) и их взаимодействие с нагрузкой Р, третью - геометрия болота (Н) и взаимодействие ее с нагрузкой (P (a / H)), четвертая - физико-механические характеристики залежи (W0,R).

На основе статистических критериев установлено, что только первые четыре главных компоненты оказывают достоверное влияние на Е*, а остальные не подлежат учёту.

Уравнение регрессии по главным компонентам для Е* (кПа) имеет вид (RMH = 0,833; sR =0,027):

Е* - 134 = (21,2 К_I - 4,34 К_II +4,97 К_III - 8,19 К_IV) 10 - ² + t 27,4,

где КI, КII, КIII, КIV - главные компоненты, которые при значимых коэффициентах корреляции показателей с компонентами определяются по уравнениям:

К_I = 2,011 (P - 64,1) + 18,9 (H - 3,0) - 6,8 (W_{0 -} 7,4) + 3,2 (R - 30) +

+ 0,28 (P (a / H) - 200) + 0,147 (P W_{0 -} 469) + 0,047 (P R - 1980);

К_{I I} = 0,730 (P - 64,1) + 28,6 (W₀ - 7,4) - 4,84 (R - 30) +

+ 0.231 (P W_{0 -} 469) - 0,015 (P R - 1980);

К_{I I I} = 53,0 (H - 3,0) - 0,477 (P (a / H) - 200); К_{I V} = 26,6 (W_{0 -} 7,4) + 6,25 (R - 30).

Таким образом, применение регрессионного анализа на главных компонентах показало достоверное влияние всех рассматриваемых показателей на изменение модуля деформации Е*. В этом случае также оказалось возможным статистически обосновано учесть влияние линейных взаимодействий параметров. Через главные компоненты можно установить постоянство влияния показателей на изменение Е*. Так естественная влажность через все значимые компоненты уменьшает значение Е*, а глубина болота Н - увеличивает. Остальные показатели оказывают двойственное влияние, через одни компоненты уменьшая, а через другие увеличивая Е*. В работе [2] осуществлялось построение статистических моделей для механических характеристик мерзлого торфа. Учитывая взаимокоррелированность ряда параметров, рассматривалось влияние на величину эквивалентного сцепления С_Э вектор-строки Х = [|И|, ln (t), W0, g_с, a]: И - значение отрицательной температуры (^оС); t - время действия нагрузки (сек); W0 - влагосодержание (г/г); g_с, - удельный вес сухого вещества торфа (кН/м³); a - угол между направлением действия нагрузки направлением слоистости торфа (градус);). На основе классического регрессионного анализа получены зависимости С_Э=f (И, ln (t), Wo, g_с, a). Незначимым оказался коэффициент регрессии при Wo.

Применение регрессионного анализа на главных компонентах показало достоверное влияние всех рассматриваемых показателей на изменение величины эквивалентного сцепления С_Э, при значимости всех пяти главных компонент. Генеральными являются первая, четвертая и пятая главные компоненты. Первая и четвертая компонента характеризуют преобладающее влияние времени действия и свойств торфа (t, g_с), пятая - условия испытаний (И, a), вторая - температурный режим и свойства торфа (И, g_с), третья - физическое состояние системы (Wo, g_с).

Анализируя влияние параметров на величину С_Э через главные компоненты, можно заметить, что только воздействие температуры является постоянным, т.е. понижение температуры всегда увеличивает прочность мерзлого торфа, а остальные показатели оказывают двойственное влияние.

Одним из достоинств регрессионного анализа на главных компонентах является возможность “безболезненного” выброса незначимых членов уравнения модели, так как это в итоге не отражается на изменении других коэффициентов регрессии.

Для построения обычных линейных регрессионных моделей могут быть применены средства анализа данных Microsoft Excel, а моделей основанных на методе главных компонент - программный комплекс "STATISTIKA".

Анализ проведенных расчетов показывает, что при пассивном эксперименте регрессионные модели, полученные методом главных компонент, учитывают влияние большинства факторов и может быть выявлен главный параметр.

регрессионный анализ статистический пассивный

В результате может быть предложена следующая последовательность выявления статистической зависимости:

– методом главных компонент по исходным данным определяют главный параметр;

– находят регрессионную зависимость от этого параметра;

– составляют остаточную выборку исходных данных (без учета влияния главного фактора); - вновь применяют метод главных компонент с новой вектор-строкой.

Применение регрессионного анализа на главных компонентах позволяет выбрать основной показатель при постоянстве его воздействия на параметр функции, а также с большей достоверностью получать регрессионные модели по его оценке в природных условиях

Список литературы

1. Андрукович П.Ф. Применение метода главных компонент в практике исследований. М.: 1973.123с.

2. Галкин Н.Н. Комплексная оценка прочностных и деформационных свойств мерзлого торфа с учетом его физического состояния: автореф. дис. … канд. техн. наук. Калинин, 1987.21с.

3. Дубров А.М. Обработка статистических данных методом главных компонент. М.: Статистика, 1978.136с.

4. Ивкина Т.Н., Королев А.С. Оценка прочности торфяных грунтов методом главных компонент // В кн.: Вопросы промышленного транспорта. Калинин: 1974. С.76-86.

5. Королев А.С., Федоров Б.А. Оценка деформационных свойств торфяных залежей по результатам натурных обследований насыпи на болотах. // В кн.: Технология, комплексная механизация и автоматизация торфяного производства. Калинин: КГУ. 1981. С.69-74.

6. 6. Крамбейн, У., Грейбилл, Ф. Статистические модели в геологии. Перевод с англ. М.: Мир. 1969.397 с.

7. Миронов В.А., Федоров Б.А. Оценка модуля общей деформации торфяных залежей на основе метода главных компонент // Торфяная отрасль России на рубеже XXI века: проблемы и перспективы: Материалы международной научно-практической конференции. ТГТУ. Тверь: 1999. Часть 1. С.144-147.

8. Петерсен И. Применение метода главных компонент для описания технологических процессов с коррелированными входными параметрами. // Известия АН СССР, т. XIV. Серия физмат. и техн. Наук. № 4.1965.

9. Федоров Б.А. Вероятностная оценка закономерностей уплотнения торфа для проектирования дорог на торфяных месторождениях: автореф. дис. … канд. техн. наук. Калинин, 1986.18 с.

10. Федоров, Б.А. Расчет объема земляных работ при безвыторфовочном проектировании насыпей дорог на болотах [Текст] / Б.А. Федоров // Вестник Тверского Государственного Технического Университета. Вып.2 (28). Тверь: ТвГТУ, 2015. С.22-25.

11. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: Иностранная литература. 1969.395с.

12. Харисова А.Ф., Бакуменко Л.П. Применение метода главных компонент для анализа производственных показателей на предприятиях // Экономка и менеджмент инновационных технологий. 2017. №2 (65). С.58-64.

Размещено на Allbest.ru