Расчёт проходимости лёгкого вездехода в лесистой местности

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Кафедра математики и математических методов в экономике

Хабаровской государственной академии экономики и права

Математические методы в экономике

Расчёт проходимости лёгкого вездехода в лесистой местности

Е.А. Мясников, к.ф.-м.н., доцент

Аннотация

Для легкого колесного вездехода автор предложил простой способ рассчитать вероятность перемещения по лесу навесом с учетом параметров внедорожника. Решена задача выбора допустимой ширины для требуемой пропускной способности. Определены пределы применимости этого метода.

Ключевые слова: вездеход, вероятность, закон Пуассона, прохождение способности, ширина трека.

For a light wheeled all-terrain vehicle the author has offered a simple way to calculate the probability of moving under a forest canopy by taking into account the parameters of an all-terrain vehicle. The inverse task of selecting a permissible width for a required passing ability in a sufficiently general case has been settled. Limits of applicability of this method have been specified.

Keywords: all-terrain vehicle, probability, Poisson law, passing ability, track width.

Лёгкие колёсные вездеходы, применяемые в лесном хозяйстве, должны отвечать двум противоречивым требованиям [3]:

а) высокой проходимости без нарушения естественного состояния окружающей обстановки - почвы, травяного покрова и лесного полога;

б) достаточной грузоподъёмности и устойчивости для перевозки дикоросов, инструментов и т.п. по пересечённой местности.

Противоречие устраняют подбором оптимальных характеристик - длины вездехода, ширины колеи и мощности двигателя. В условиях Дальнего Востока при малых расстояниях между деревьями вероятность продвижения вездехода на необходимое расстояние («проходимость») в основном зависит от ширины колеи [3].

Основная задача в этом случае - по ширине колеи найти проходимость. Обратная задача - по требуемой проходимости подобрать допустимую ширину колеи. Некоторое решение вопроса дано в [1-3]. В статье предложен более простой и точный вариант, основанный на тех же принципах:

а) вездеход представлен плоской фигурой - треугольником либо прямоугольником;

б) центры деревьев распределены независимо по закону Пуассона;

в) перемещением считаем сдвиг середины основания фигуры вперёд или с поворотом вправо (влево);

г) вероятность перемещения определяется как вероятность отсутствия центров деревьев на площади, необходимой для манёвра.

Напомним, что трёхколёсный вездеход по форме ближе к треугольному и, по мнению специалистов, более подходит к условиям Дальнего Востока. Преимущество четырёхколёсного вездехода в основном - в высокой устойчивости.

Пусть - длина вездехода, - ширина колеи (с учётом толщины колес), - необходимый сдвиг, - средняя толщина деревьев, - поворот переднего колеса.

И для треугольного, и для прямоугольного вездехода для передвижения вперёд на расстояние l необходима площадь [1]

,

однако формулы для вычисления площадей при повороте в [1; 3] слишком громоздки и не позволяют сделать какие-либо общие выводы.

Покажем, что, независимо от формы вездехода, площадь, необходимая для поворота вправо, складывается из двух площадей:

а) площади, необходимой для проезда прямо;

б) площади, необходимой для поворота относительно середины основания на легко определяемый угол, зависящий от поворота колеса.

Рассмотрим движение треугольного вездехода. Пусть треугольник АВС (рисунок 1) - первоначальное положение вездехода, A`B`C` - положение после сдвига на расстояние l при повороте переднего колеса на угол .

Для простоты пренебрегаем толщиной деревьев: при её учёте, как показано в [1], необходима дополнительная площадь , примыкающая к AA` и к BB`.

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 1 - Поворот треугольного вездехода

Колесо при повороте перпендикулярно лучу OC, точка O - центр поворота. Угол поворота , и колесо не образовало с вертикалью угол больший, чем боковая сторона AC. Это возможно при малом повороте или при большой ширине вездехода. Для указанного перемещения необходимо отсутствие центров деревьев в четырёхугольниках AA`C`C и BCC`B`, где стороны AA`, BB` и CC`- дуги окружностей с центром в точке O.

Общую площадь фигур AA`C`C и BCC`B` найдём так:

.

Но и ,

поскольку при повороте площади фигур не меняются. Значит,

.

Поскольку , получаем, что

.

Эта разность совпадает с величиной

,

где - отклонение вездехода от первоначального пути (на рисунке ). Поэтому

,

или с учётом толщины деревьев .

Итак, при условии для сдвига с поворотом вправо нужна та же площадь, что и для проезда вперёд, и потому вероятности обоих манёвров одинаковы.

Если же ширина колеи невелика, или если велик угол поворота колеса, а именно, если , длина вездехода и угол поворота важны, что и показано далее.

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 2 - Резкий поворот узкого треугольного вездехода

На рисунке 2 для поворота необходимо отсутствие центров деревьев в фигурах AA`M и BCC`B, где , причём AA`, CC` и BB` - дуги окружностей с центром в точке О. Углы и , при этом, как известно, .

Найдём необходимую площадь

:

,

где весьма малая погрешность , что завышает требуемую площадь и тем самым увеличивает надёжность расчётов.

Но и ,

поэтому

.

В скобке все 3 площади - площади секторов с центром в точке O, и их комбинация равна величине

,

или, после упрощений,

.

Кроме того,

(учли, что ), а также

Воспользуемся тем, что

,

причём при , тогда

Подставим:

, откуда

.

Но , и тогда

Если же учесть толщину деревьев, то

,

где . Погрешность нейтрализована переходом к величине .

Площадь, необходимая для поворота треугольного вездехода, найдена.

Теперь рассмотрим поворот прямоугольного вездехода.

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 3 - Поворот прямоугольного вездехода

пропускной способность колесный вездеход лес

На рисунке 3 , , где . Обозначим, как выше, - новые положения точек (на рисунке для простоты не отмечены). Для поворота необходима свободная площадь , величину которой можно найти так:

Заметив, что

и ,

получим

.

Поскольку

,

остаётся комбинация площадей секторов

Учитывая, что и , находим

,

Или

.

С учётом толщины деревьев

Итак, при сдвиге с поворотом переднего колеса на угол требуется отсутствие центров деревьев на площади , где а) ;

б) для прямоугольного вездехода при ;

в) для треугольного вездехода при и ;

г) для треугольного вездехода при .

Результат имеет простой геометрический смысл: небольшое перемещение с поворотом можно представить как последовательность весьма малых шагов, каждый из которых - либо поворот вездехода относительно середины основания без сдвига, либо проезд прямо без поворота. Сумма 1-х шагов требует площади , сумма 2-х - площади . Если же вездеход достаточно широк, поворотом можно пренебречь.

Простота полученных формул позволяет решить вопрос о собственно вероятности перемещения вездехода.

Если - плотность расположения деревьев на участке, вероятность проезда вперёд составляет , а вероятность поворота со сдвигом равна

В [2] выведено и решено относительно проходимости P уравнение

Решение позволяет по вероятностям сдвигов найти вероятность перемещения вездехода на произвольное расстояние.

В таблице 1 дано решение для треугольного вездехода длиной 3 м при пренебрежимо малой толщине деревьев. Считаем, что сдвиг м. Плотность, , указана в столбце слева, ширина колеи, м, - в строке сверху.

В таблице 2 приведено аналогичное решение для прямоугольного вездехода. Видно, что прямоугольный вездеход более чувствителен к увеличению ширины собственной колеи, особенно при малых расстояниях между деревьями.

Таблица 1

Проходимость треугольного вездехода

	1	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0
0,05	1,000	1,000	1,000	1,000	0,999	0,999
0,1	0,999	0,999	0,998	0,996	0,995	0,994
0,15	0,998	0,995	0,992	0,989	0,985	0,980
0,2	0,994	0,989	0,983	0,974	0,965	0,954
0,25	0,989	0,980	0,967	0,952	0,933	0,912
0,3	0,982	0,966	0,944	0,918	0,887	0,851

Таблица 2

Проходимость прямоугольного вездехода

	1	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0
0,05	1,000	1,000	0,999	0,999	0,998	0,997
0,1	0,998	0,997	0,994	0,990	0,985	0,978
0,15	0,995	0,989	0,981	0,970	0,953	0,930
0,2	0,988	0,976	0,957	0,930	0,892	0,837
0,25	0,978	0,954	0,919	0,866	0,791	0,682
0,3	0,963	0,923	0,861	0,770	0,637	0,440

Если , зависимость проходимости от этих величин принимает вид , откуда, с одной стороны,

,

а с другой -

Если учесть, что при малом сдвиге l перекрываются площади, необходимые для разных манёвров (хотя вероятности манёвров возрастают), уравнение можно записать в виде

,

где для достаточно широкого вездехода (для узкого вездехода только при малых углах поворота). Из такого уравнения P может быть найдено лишь приближённо для конкретного значения .

Тем не менее, зависимость

позволяет из равенства найти допустимую ширину колеи

и тем самым решить обратную задачу - определение допустимой ширины по требуемой проходимости.

Плотность и длина сдвига оказываются равноправны, а прирост толщины деревьев совпадает с необходимым уменьшением ширины.

В таблице 3 даны результаты расчёта ширины вездехода при по предложенной вероятности P для и м. Плотность, , указана в столбце слева, желаемая вероятность - в строке сверху.

Таблица 3

Ширина вездехода при известных плотности и проходимости

	0,995	0,99	0,95	0,9	0,8	0,7
0,05	3,65	4,65	8,16	10,37	13,12	15,01
0,1	1,83	2,33	4,08	5,19	6,56	7,50
0,15	1,22	1,55	2,72	3,46	4,37	5,00
0,2	0,91	1,16	2,04	2,59	3,28	3,75
0,3	0,61	0,78	1,36	1,73	2,19	2,50

Для сравнения в таблицах 4 и 5 даны аналогичные результаты для треугольного вездехода при степенях и .

Внимание следует обратить на правые части таблиц, поскольку для узких вездеходов проблема перекрытия площадей неактуальна.

Таблица 4

Ширина вездехода при известных плотности и проходимости и

	0,995	0,99	0,95	0,9	0,8	0,7
0,05	2,46	3,25	6,16	8,05	10,44	12,10
0,1	1,23	1,63	3,08	4,02	5,22	6,05
0,15	0,82	1,08	2,05	2,68	3,48	4,03
0,2	0,61	0,81	1,54	2,01	2,61	3,03
0,3	0,41	0,54	1,03	1,34	1,74	2,02

Таблица 5

Ширина вездехода при известных плотности и проходимости и

	0,995	0,99	0,95	0,9	0,8	0,7
0,05	1,37	1,91	4,04	5,50	7,39	8,74
0,1	0,68	0,95	2,02	2,75	3,70	4,37
0,15	0,46	0,64	1,35	1,83	2,46	2,91
0,2	0,34	0,48	1,01	1,37	1,85	2,18
0,3	0,23	0,32	0,67	0,92	1,23	1,46

При плотностях, близких к реальным (5 - 7 деревьев на 10 м²), ширина до 2,5 м даже при осторожном подходе гарантирует достаточную проходимость.

По сравнению с результатами [2, 3] допустимая ширина вездехода при одинаковой проходимости увеличивается примерно на 10-15%. Проходимость при сохранении ширины также возрастает.

Литература

1. Иванов, Н.А. Оценка проходимости трёхколесного вездехода по лесистой местности / Н.А. Иванов, Е.А. Мясников // Лесной журнал. 2005. №5. С. 45-53. (Известия вузов).

2. Иванов, Н.А. Оценка вероятности преодоления вездеходом лесистой местности / Н.А. Иванов, Е.А. Мясников // Лесной журнал. 2006. №3. С. 36-41. (Известия вузов).

3. Иванов, Н.А. Основы теории лёгких колёсных вездеходов / Н.А. Иванов, А.В. Лейбович. - Владивосток: Дальнаука, 2010. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru

...