Идентификация математических моделей работы двигательных установок по результатам испытаний

Реализация работы состоит в выполнении НИОКР, связанных с проектированием и отработкой ТРДУ и отдельных его элементов в отраслевых предприятиях. Кроме того, материалы, связанные с расчетом ТРДУ, предложены для включения в курсы лекций по дисциплинам «Математическое моделирование», и «Специальные двигатели» (направление 160100 «Авиа- и ракетостроение»), читаемых на машиностроительном факультете Ижевского государственного технического университета.

Во Введении обоснуется актуальность задачи, связанной с созданием и совершенствованием математических моделей функционирования твердотопливных ракетных двигателей, в том числе, и ТРДУ (рис. 1), формулируются цели и задачи исследования. В связи со сложностью ТРДУ как технического объекта в настоящее время не удается обеспечить применение наиболее точных математических моделей, основанных на пространственном представлении процессов с учетом фундаментальных законов механики и теплофизики. Компромиссным решением для практики является построение относительно простых математических моделей, основанных на системах алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, построенных с использованием методов идентификации с учетом экспериментальных результатов. В вопросах, связанных с созданием ТРДУ и математических моделей их функционирования, следует отметить вклад многих отечественных предприятий. В частности, это ФГУП «Московский институт теплотехники», ГРЦ «КБ им. В.П. Макеева» (г. Миасс), НПО «Искра» (г. Пермь), НПО «Алтай» (г. Бийск), НПО «Союз» (г. Люберцы), НПОА (г. Екатеринбург), НИИАП (г. Москва) и др. Отмечается существенный вклад в создание математических моделей функционирования управляемых двигателей таких ученых (и их научных школ) как Лагутин Б.Н., Шишков А.А., Ерохин Б.Т., Липанов А.М., Федосов Е.А., Лавров Л.Н., Соколовский М.И, Петренко В.И., Феофилактов В.И., Бобылев В.М., Присняков В.Ф. и др.

В первой главе диссертации («Методы идентификации математических моделей по экспериментальным результатам») рассматривается объект исследования - твердотопливная регулируемая двигательная установка (ТРДУ), конструктивная схема которой представлена на рис. 1. В состав ТРДУ входит воспламенительное устройство 1, содержащее трубчатую шашку воспламенительного состава, горение которой обеспечивает поступление во внутренний объем двигателя 2 горячих продуктов сгорания. Продукты сгорания шашки воспламенительного состава прогревают корпус 3 и топливный заряд 4. Топливо после зажигания горит со скоростью, определяемой давлением продуктов сгорания в объеме двигателя и скоростью изменения давления. Продукты сгорания твердого топлива из камеры поступают в газоход 5 и в предсопловой объем двигателя 6, а после разрушения сопловой заглушки 7 - в управляющие сопловые блоки 8. Расход продуктов сгорания через сопловые блоки ТРДУ, начиная с некоторого заданного момента времени, регулируется устройством 9. Продукты сгорания, поступающие в объем камеры 2, далее распределяются в сопловые блоки 8. После разрушения сопловых заглушек изменение площади минимального сечения в сопловых блоках осуществляется постоянно, вплоть до окончания работы ТРДУ в соответствии с заданным законом регулирования давления в камере ТРДУ .

Рисунок 1 - Конструктивно-компоновочная схема ТРДУ

1 - воспламенительное устройство; 2- свободный объем камеры двигателя; 3 - корпус камеры; 4 - топливный заряд; 5 - газовод; 6 - регулятор расхода продуктов сгорания; 7 - сопловая заглушка; 8 - сопловой блок; 9 - рулевой привод

Для решаемой задачи сформулированы допущения и записаны математические модели работы ТРДУ, включающие в свой состав уравнения термогазодинамических процессов в расчетных областях ТРДУ, модели изменения поверхности горения топливного заряда. Модель включает в свой состав системы линейных и нелинейных алгебраических уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Уравнения, входящие в математическую модель, решаются совместно при заданных начальных и граничных условиях.

Отмечается, что математическая модель газодинамических процессов в регуляторе расхода газа, содержит комплекс - эффективную площадь сопловых блоков, определяемую экспериментально как функцию угла поворота вала регулятора расхода газа. Применение процедур линейного интерполирования зависимости не позволяет установить значения производных и . Тем не менее, требования по повышению точности решения задач о внутрикамерных процессах в ТРДУ, делает необходимым определение значений отмеченных производных. Записанное выше в отношении табличных значений остается справедливым и при работе с другими табличными зависимостями, устанавливаемыми экспериментально или теоретически. В частности, это определение зависимости поверхности горения твердого топлива как функции сгоревшего свода - , определение производных и др. В ряде случаев закон изменения скорости горения твердого топлива как функция уровня рабочего давления в камере сгорания ТРДУ представляется также таблицей.

При построении математической модели работы узлов регулирования ТРДУ используются компоненты пропорционального и интегрального регулирования. В модель регулирования включаются уравнения, связывающие площадь минимального сечения сопловых блоков с углом поворота вала регулятора расхода рулевой машины, уравнения для величины сигнала, вырабатываемого системой управления рулевой машиной и др. Входящие в уравнения регулирования эмпирические коэффициенты имеют табличный вид. Отмечается, что значения эмпирических коэффициентов, входящих в модели регулирования, следует устанавливать идентификацией с применением результатов экспериментальных исследований. Для выполнения идентификации целесообразно использовать методы математического программирования.

Для регулируемых двигателей высокие требования предъявляются к моделям нестационарной скорости горения твердого топлива при переменном давлении в камере сгорания ТРДУ. Модели нестационарной скорости горения могут быть построены с использованием передаточных функций, либо с использованием уравнения теплопроводности в твердом материале. Методы математического программирования могут быть применены и в этих задачах. С использованием косвенных экспериментальных результатов могут быть найдены неизвестные коэффициенты и зависимости, входящие в модели нестационарной скорости горения.

На работу ТРДУ оказывают влияние многочисленные возмущающие факторы. Отмечается, что оценку влияния возмущающих факторов можно выполнить с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики.

Созданная методика расчета процессов в ТРДУ предполагает решение задач на ПЭВМ. В первой главе приводится описание разработанных программных средств по расчету процессов в ТРДУ. Пакет программ WINDOWS - ориентированный и имеет развитый интерфейс. Алгоритмы расчета основаны на применении математических моделей трех типов:

- в виде дифференциальных уравнений, базирующихся на законах сохранения массы, энергии и количества движения;

- построенных в аналитическом или табличном виде на основании экспериментальных исследований;

- построенных с использованием аппарата передаточных функций, конкретная форма которых устанавливается с использованием теоретических или (и) экспериментальных исследований.

Во второй главе («Модели процессов, восстановленные по результатам экспериментов, представленных таблицами») рассматриваются пути решения задач аппроксимации данных, представленных таблицами. Проведенный анализ показал, что моделирование процессов функционирования ТРДУ требует применения ряда зависимостей, получаемых в результате трудоемкого расчета или экспериментально и представленных таблицами. Из-за ограниченности вычислительных ресурсов бортового оборудования летательных аппаратов до настоящего времени в расчетах при работе с функциями, представленными таблично, применяются простые алгоритмы линейного интерполирования. Недостатком методов линейного интерполирования является невозможность применения их для расчета производных от табличной функции. Из всех известных методов интерполирования функций, заданных таблично, выделяются интерполирование полиномами Лагранжа и ортогональными функциями, интерполирование методом неопределенных коэффициентов и интерполирование сплайн-функциями.

Проведенные расчеты показали, что наиболее удобными в использовании, в том числе и в программных средствах бортовых ЭВМ, являются методы, основанные на применении кубических сплайнов. Задача построения кубических сплайнов формулируется следующим образом:

- пусть имеется некоторая функция , значения которой известны для дискретных значений . Построить систему кубических функций , в которой коэффициенты определяются из условий, что в узловых точках (точках сопряжения) функция не терпит разрыва. Кроме того, непрерывными в точках сопряжения остаются первая и вторая производные функции .

Если принять, что значения вторых производных на левой и правой границах таблиц равны нулю, то сформулированная задача может быть записана в виде следующей системы линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов :

,

,

,

,

,

.

Система () уравнений для () неизвестных значений (уравнения (2.5)) коэффициентов имеет единственное решение, которое может быть найдено стандартными вычислительными процедурами.

На рис. 2 представлена зависимость ( - безразмерная величина расходного комплекса, - безразмерное значение угла поворота вала регулятора расхода газа), восстановленная с использованием линейного интерполирования (кривая 1), полиномов Лагранжа (кривая 2) и кубических сплайнов (кривая 3). Для построения функции использовалось 11 табличных значений, установленных по результатам экспериментов.

Выполненные расчеты (в том числе, и представленные на рис. 2) показывают, что применение кубических сплайнов обеспечивает высокие по точности значения интерполируемой функции и ее первой и второй производных. В то же время вычислительная трудоемкость (количество арифметических операций и трудоемкость программной реализации) интерполирования кубическими сплайнами ниже, чем при использовании полиномов Лагранжа. В бортовой ЭВМ летательного аппарата нет необходимости воспроизводить весь алгоритм расчета кубическими сплайнами. Коэффициенты , используемые в расчетах, могут быть вычислены предварительно, а их значения - введены в программную часть бортовой ЭВМ.

Применение полиномов Лагранжа при большом числе табличных значений (более одиннадцати) показало, что погрешность при восстановлении функций и ее производных становится недопустимо высокой.

Рисунок 4 - Изменение p(t) при различных значениях коэффициента (0.30, 0.11, 0.08)

Это требование позволяет записать целевую функцию в решаемой задаче в виде или . Решение задачи обеспечивается при минимальном значении целевой функции . Поисковыми параметрами в задаче являются значения коэффициентов . Границы изменения коэффициентов - вещественные числа, и для произвольного из шести коэффициентов могут быть записаны ограничения - .

Рассматриваемая задача об установлении закона нестационарной скорости горения сводится к задаче безусловной оптимизации преобразованием переменной к новой переменной , удовлетворяющей условию . Связь переменных и может быть установлена, например, в виде .

В работе рассмотрена и другая модель, позволяющая вычислить нестационарную скорость горения твердого топлива. Эта модель основана на решении уравнения теплопроводности, записанного в подвижной системе координат (начало системы координат совпадает с поверхностью горящего топлива):

;

В уравнении обозначено - - время и пространственная координата, направленная по нормали к поверхности топлива, - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности топлива, - температура топлива в его прогретом слое и скорость горения.

Уравнение (4) решается при начальных - и граничных - , условиях. Скорость горения твердого топлива устанавливается, если известен закон для температуры на поверхности горения твердого топлива - .

Задачу о нахождении зависимости сформулируем следующим образом:

- пусть зависимость температуры на поверхности топлива от давления p продуктов сгорания может быть представлена в виде . Здесь - заданные значения давления, а величина давления p удовлетворяет условию . Установить значения температур , входящих в зависимость для температуры , если известна эмпирическая зависимость для скорости горения топлива , соответствующая давлению в камере сгорания двигателя, которое изменяется по заданному закону p(t).

Решение задачи как задачи оптимизации может быть выполнено следующим образом:

- поисковыми параметрами задачи оптимизации будем считать значения температур , удовлетворяющие условиям ;

- в качестве целевой будем рассматривать функцию .

В целевой функции величина нестационарной скорости горения твердого топлива u(t) устанавливается решением уравнения (4) с записанными выше начальными и граничными условиями. В граничных условиях величина теплового потока является функцией переменного давления - ; .

В работе приводится пример решения тестовой задачи, в которой в качестве эмпирической зависимости использовалась зависимость нестационарной скорости, соответствующая медленно изменяющемуся давлению в камере сгорания и следующая из теории Зельдовича-Новожилова - . В последней формуле - коэффициенты, устанавливаемые из экспериментов, соответствующих стационарно горящему топливу, - коэффициент температуропроводности топлива. Решение тестовой задачи выполнялось методом Ньютона. Оптимальное решение получено за 8 итераций, при этом произошло уменьшение целевой функции от первоначального значения с до с.

В четвертой главе диссертации («Модели стохастического анализа процессов регулирования параметров ТРДУ») рассматриваются вопросы, связанные с анализом влияния стохастических факторов на качество внутрикамерных процессов в объеме камеры сгорания ТРДУ. Необходимость анализа влияния стохастических факторов на функционирование ТРДУ обусловлено недетерминированным характером протекания отдельных процессов в камере сгорания. Так, скорость горения твердого топлива, изменение поверхности горения твердого топлива - результаты стохастического процесса горения. Унос теплозащитных материалов и, как следствие, изменение геометрических размеров газовых магистралей, деталей соплового блока - стохастический процесс. Подобных примеров можно было бы привести много.

В работе анализ влияния стохастических факторов на отклонения внутрибаллистических параметров выполняется на этапе до включения системы регулирования и на этапе после ее включения. Для анализа развития отклонений внутрибаллистических параметров на этапе до включения системы регулирования применяется метод статистических испытаний. В соответствии с этим методом для всех рассчитываемых внутрибаллистических параметров накапливается статистика. Статистика формируется проведением серии расчетов, и для каждого из выполняемых расчетов при задании исходных данных учитывается их случайный характер. Конкретные значения исходных данных, имеющих случайный характер, вычисляются с использованием алгоритмов генерирования случайных чисел. При очередном цикле вычисляются более 200 случайных чисел, которые используются при подготовке очередных исходных данных. Такой вариант реализации метода статистических испытаний в максимальной степени моделирует натурное (физическое) моделирование, в котором число экспериментов ограничено и может не превосходить нескольких десятков. Для получения приемлемых для практики результатов достаточно выполнить 50..100 статистических испытаний на ПЭВМ.

Анализ выполненных расчетов показывает, что отклонения давления (и, как следствие, дисперсии) являются функцией времени, и это объясняется тем, что на разных этапах работы ТРДУ влияние на разбросы оказывают различные факторы (горение только воспламенительного состава, совместное горение воспламенительного состава и топлива, горение только твердого топлива). Следует отметить, что в отличие от результатов, характерных для нерегулируемых РДТТ, в ТРДУ увеличение значений отклонений и дисперсий происходит в нарастающем во времени режиме и после завершения работы системы воспламенения. Этот результат закономерен и является следствием закона горения твердого топлива, применяемого в регулируемых двигателях (высокие значения показателя степени в законе горения, - ). После включения системы регулирования отклонения и дисперсии будут значительно снижены, однако следует учитывать, что накапливающиеся разбросы параметров ТРДУ могут оказать влияние на стартовые условия включения регулируемого двигателя.

Наиболее простым способом оценить влияние стохастических факторов на качество работы ТРДУ в период регулирования параметров является представление рабочего давления в камере сгорания как стохастической функции . Здесь - математическое ожидание значения давления, которое устанавливается решением детерминированной системы уравнений внутренней баллистики, - случайная функция. Учитывая дискретный характер работы рулевой машины ТРДУ, можем рассматривать величину как случайную величину , математическое ожидание которой , а среднеквадратическое отклонение этой случайной величины удовлетворяет нормальному закону распределения. Значение в расчетах выбиралось таким образом, чтобы выполнялось условие .

На рис. 5, 6 приводятся результаты расчетов внутрибаллистических процессов в ТРДУ для случаев, когда давление в камере сгорания устанавливается с поправкой . На рис. 5 величина , а на рис. 6 . На рисунках кривая 1 соответствует «невозмущенному» закону р(t) (величина максимального программного значения давления - МПа), кривая 2 - соответствует изменению давления в камере при наличии возмущений при том же давлении , кривая 3 построена для варианта с возмущениями давления, но при МПа. Анализ показывает, что влияние случайных отклонений давления при выбранных законах регулирования ТРДУ не оказывает существенного влияния на зависимость р(t). Тем не менее, влияние возмущений на разных временных интервалах работы ТРДУ имеет отличия. Наиболее существенно влияние возмущений на первых программных участках работы ТРДУ (время работы ТРДУ от 5 до 8 секунд). В дальнейшем влияние возмущений ослабляется. Возмущения на участках нарастания или падения давления (переходных участках программного давления) практически не сказываются на характере зависимости p(t). Увеличение уровня программного давления до 9 МПа (кривые 3) приводит к повышению роли возмущений в работе ТРДУ. Характер зависимостей p(t), представленных на рис. 5 и 6 качественно совпадает.