Математическое моделирование и анализ процессов управления производственными системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование и анализ процессов управления производственными системами

А.Н. Дилигенская Самарский государственный технический университет

Аннотация

Решается модельная задача анализа качества управляемых производственных систем, находящихся в среде производственно-экономических взаимоотношений с другими системами и с внешней окружающей средой.

Ключевые слова: производственно-экономические системы, макроэкономическая математическая модель, пропорциональное регулирование, параметрический анализ, оценки качества процессов управления.

качество управляемый равновесный экономический

Динамика производственных и производственно-экономических систем является объективной тенденцией развития и выражается в росте объемов производства, а также потребления материальных и финансовых ресурсов. Вместе с тем фактическое поведение протекающих производственных процессов зачастую существенно отличается от желаемого, запланированного, что обуславливает актуальность проблемы управления производственными системами. Цикличность и волнообразность производственных и экономических процессов, порождаемые неравновесным изменением макроэкономических показателей, выражаются в колебаниях разнообразной природы, различающихся по длительности, характеру проявления и вызывающим их причинам. Наиболее адекватно изучение поведения производственно-экономических систем, позволяющее выявить нежелательные режимы функционирования и выработать оптимальную стратегию управления, производится с использованием моделей макроэкономической динамики с позиции теории нелинейных систем.

В статье поведение производственно-экономических систем изучается на основе модификации нелинейной обобщенной макроэкономической модели Солоу [1]. В этом случае модель динамики системы создается на основе описания соотношения производства и потребления продукции, баланса материальных и финансовых потоков, и в дискретной форме имеет вид разностного уравнения относительно некоторого обобщенного ресурса :

.(1)

Здесь - функция последования, характеризующая закон изменения состояний системы; и - параметры, характеризующие эффективность технологии; - коэффициент расходования ресурса; - внешние инвестиции; n - дискретное время.

Таким образом, уравнение (1) описывает динамику обобщенной системы при взаимодействии внешнего воздействия и внутренних механизмов самоорганизации, и его правая часть состоит из комбинации трех слагаемых, первое из которых определяет саморазвитие системы, второе соответствует процессу саморегулирования, обеспечивающему устойчивость функционирования системы, и третье - механизму целенаправления.

Параметры и связаны прямой зависимостью с выходной величиной системы , параметр - обратной. С учетом противоречивого влияния параметров модели на выходную величину процессы функционирования системы могут иметь качественно различные варианты развития в зависимости от сочетания параметров модели.

Будем рассматривать устойчивую систему, характеризующуюся параметрами , расположенными внутри области существования устойчивых равновесных состояний.

Постановка и решение прикладных задач управления производственными процессами требуют достижения заданных значений состояния системы, для чего в модель должно быть введено управляющее воздействие , корректирующее поведение системы с помощью сигнала ошибки текущего положения системы относительно заданного . В этом случае модель системы с учетом управления примет следующий вид:

,(2)

или, после преобразований,

.(3)

Структурную схему, соответствующую модели системы (3), можно представить в следующей форме (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема дискретной модели динамики обобщенной производственной системы при учете управляющего воздействия: - оператор временного сдвига

При отсутствии управления поведение системы характеризуется уравнением (1) и временная траектория (рис. 2) с течением времени выходит не на заданное значение , а на некоторое установившееся значение , определяемое из решения стационарной задачи при . В общем случае (при ) в системе присутствует неустранимая статическая ошибка .

На рис. 2 приведен переходный процесс в системе для конкретных значений параметров модели (3) и начального условия x(1). Из рисунка видно, что для принятых значений переходная функция соответствует апериодическому процессу с выходом на установившееся значение, равное .

Сформулируем задачу достижения требуемого производственно-экономического потенциала системы при нахождении ограничений на динамическое отклонение производственных траекторий :

Рис. 2. Неуправляемый переходный процесс:

Рис. 3. Устойчивые апериодические временные траектории системы:

,(4)

где - время протекания базового периода управления до вхождения траектории в зону допустимых значений .

Поставим задачу достижения заданного значения и проанализируем процессы регулирования для различных коэффициентов усиления регулятора k. Анализ показывает, что при учете в системе контура обратной связи, задающего с помощью коэффициента k интенсивность подачи управляющего воздействия, происходит качественное изменение временных траекторий системы. Вначале при возрастании коэффициента k на некотором интервале значений переходные процессы составляют множество устойчивых апериодических траекторий и происходит уменьшение статической ошибки за счет приближения установившегося значения координаты x к заданному значению, при этом происходит уменьшение времени переходного процесса.

На рис. 3 приведены переходные процессы при k=0.2 и k=1. Видно уменьшение статических ошибок до 15% и 2% соответственно. Время переходного периода уменьшается до 35% и 8% соответственно.

При дальнейшем увеличении коэффициента временные траектории обобщенного показателя приобретают колебательные свойства, асимптотически стремясь к состоянию устойчивого равновесия, при этом время переходного процесса начинает увеличиваться. Границей раздела двух качественно различных классов устойчивых фазовых портретов является гиперповерхность [2]

,(5)

где - величина обобщенного показателя в равновесном состоянии.

а б

Рис.4. Колебательные временные траектории системы

На рис. 4 приведены переходные процессы для следующих значений коэффициента регулирования: k=1.4; 1.7; k=1.8. Этим значениям соответствуют сходящиеся колебательные процессы. Видно, что при увеличении k на интервале колебательных свойств объекта уменьшается статическая ошибка регулирования, но при этом возрастают динамические ошибки и перерегулирование колебательных процессов и увеличивается продолжительность времени регулирования. При таких значениях k начинает проявляться высокая чувствительность процессов управления к изменению коэффициента регулирования.

При дальнейшем увеличении коэффициента k происходит резкое затягивание процесса регулирования (рис.5) и постепенный переход в режим автоколебаний (рис. 6). При k=1.95 сходимость процесса регулирования отсутствует, в системе протекают автоколебательные процессы с большой амплитудой колебаний.

Рис. 5. Переход к автоколебаниям k=1.9

Рис. 6. Автоколебательный процесс k=1.95

При дальнейшем увеличении k происходит потеря устойчивости, и в системе возникают ограниченные непериодические процессы со стохастической динамикой, означающие нарушение целостности и взаимосвязей в системе (рис. 7). Поведение системы становится непрогнозируемым.

Рис. 7. Стохастический процесс

Область существования устойчивых равновесных процессов может быть определена на основании неравенства [2]

,(6)

и выход за левую или правую границы данной области означает потерю целостности в системе и переход к неустойчивым неравновесным состояниям.

Таким образом, задача пропорционального регулирования нелинейными производственно-экономическими системами имеет многообразие существенно различных вариантов поведения системы, многофакторно зависящих как от внутренних макроэкономических и производственных показателей, так и от внешних воздействий. Функциональный анализ качества динамических траекторий позволяет выявить общесистемные закономерности и особенности протекания переходных процессов, построить область существования устойчивых равновесных фазовых траекторий, предсказать переход от равновесных к неравновесным режимам функционирования системы.

Библиографический список

Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 667 с.

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. - 496 с.

Размещено на Allbest.ru