Математическое моделирование электромагнитных полей и внутренних источников теплоты в многослойных радиопрозрачных укрытиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическое моделирование электромагнитных полей и внутренних источников теплоты в многослойных радиопрозрачных укрытиях

Б.В. Аверин Аверин Борис Викторович - кандидат технических наук, доцент

е-mail: totig@yandex.ru

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Разработана математическая модель, позволяющая находить распределение электрических полей в п-слойном плоском РПУ для ТЕ- и ТМ-поляризаций. По найденным значениям составляющих Е определены внутренние источники теплоты в каждом слое РПУ.

Ключевые слова: аналитические решения, радиопрозрачные укрытия, многослойные конструкции, электромагнитное поле, внутренние источники теплоты.

Радиопрозрачные укрытия (РПУ) предназначены для защиты радиолокационных станций (РЛС) на основе фазированных антенных решеток (ФАР) от влияния внешних факторов. Создаваемые в России и за рубежом РЛС на основе ФАР [1 - 4] представляют собой крупногабаритные радиоэлектронные системы, состоящие из сотен тысяч элементов. Особенностью станций данного типа является высокий уровень мощности электромагнитного излучения со средней плотностью потока от 20 кВт/м² и выше, высокая скорость перемещения антенного луча согласно заданной на ЭВМ программе, и обзор широкого сектора пространства при большой ширине полосы частот излучения сигналов.

Рассмотрим многослойную плоскую среду, состоящую из п параллельных слоев толщиной . Пусть материал каждого слоя характеризуется комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями и на границу среды падает под произвольным углом плоская электромагнитная волна.

Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость ХОУ совпадала с границей раздела сред, а плоскость ХОZ - с плоскостью падения волны (рис. 1).

Многослойную среду приведем к однослойной, представляя ее электрофизические характеристики через асимметричную единичную функцию

, (1)

, (2)

где - асимметричная единичная функция.

Р и с. 1. Расчетная схема n-слойного РПУ

Уравнение Гельмгольца для неоднородной среды с разрывными физическими свойствами имеет вид [5]

, (3)

где - комплексная амплитуда электрического поля; - комплексная амплитуда магнитного поля; - коэффициент распространения волны; - волновое число в свободном пространстве; с - скорость света; .

Решение уравнения (3) находим методом разделения переменных в виде

. (4)

Подставив (4) в (3), получим два дифференциальных уравнения

; (5)

. (6)

Общее решение уравнения (6) имеет вид

, (7)

где а - некоторая постоянная.

Вдали от многослойной стенки, где среда является однородной, падающую плоскую волну записать в виде

, (8)

где С - постоянная интегрирования.

Отраженная волна будет

(9)

Таким образом, зависимость электромагнитного поля от координаты х вне стенки будет характеризоваться функцией .

Сравнивая выражения (8), (9) с (7), получаем В₁=0.

Так как а является константой, то можно положить .

Подставляя (7) в (4) и относя постоянную А₁ к функции , которая пока еще неизвестна, получаем

. (10)

Волновое дифференциальное уравнение (5) запишем в виде

, (11)

где .

Коэффициент распространения волны с учетом (1) и (2) представим как

. (12)

Подставляя (12) в (11), получаем дифференциальное уравнение с коэффициентами типа ступенчатых функций

. (13)

В настоящей работе разработан метод получения замкнутого аналитического решения уравнения (13), сущность которого заключается в следующем. Вместо z введем новую независимую переменную , вычисляемую по формуле

.

Тогда дифференциальное (13) в новой переменной запишется в виде

, (14)

где - асимметричная импульсная функция.

Граничные условия в новой переменной на «входе» и «выходе» электромагнитной волны (14) (рис. 1) имеют следующий вид:

(15)

радиопрозрачный укрытие математический

где ; ; ; - для TМ-волны (параллельно поляризованная волна); ; ; ; - для TЕ-волны (перпендикулярная поляризация).

Дифференциальное уравнение (14) является линейным неоднородным уравнением с особенностью в правой части импульсного типа. Его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных [6], находим в виде

(17)

где

;

А₁ - комплексная амплитуда поля в падающей волне; А_n+1 - соответственно в прошедшей волне через многослойную систему (рис.1).

Неизвестные производные в точках находятся по рекуррентной формуле

(к = 1, 2,…,n-1). (18)

C учетом (18) составляющая электрического поля для ТЕ волны имеет вид

(19)

В выражении (19) магнитная проницаемость слоев принята равной единице (для диэлектриков, применяемых в РПУ).

Определим теперь электрическую компоненту электромагнитного поля для ТМ-поляризации. Запишем комплексную амплитуду магнитной составляющей поля в виде (10)

(20)

Тангенциальную составляющую для параллельной поляризации найдем из соотношения Максвелла, записанного в новой переменной

(21)

Нормальная составляющая электрического поля , определяемая из соотношения

,

приводится к виду

. (21)

Результирующую электрического поля для ТМ-поляризации найдем как сумму векторов, не зависящих от х:

. (22)

Закон распределения мощности объемных источников теплоты по толщине многослойного укрытия найдем по аналогии с однородным РПУ [1]:

где ;

- относительная диэлектрическая проницаемость i-того слоя укрытия; - тангенс диэлектрических потерь в i-том слое РПУ; - плотность падающего электрического излучения ; - длина падающей на РПУ электромагнитной волны.

Среднюю (интегральную) мощность внутреннего источника теплоты в к-том слое (к = 1, 2,…,n) укрытия вычислим как

, (23)

где .

Среднюю мощность внутреннего источника теплоты по всей толщине n-слойного укрытия найдем из выражения

, (24)

где .

Распределение тепловых потерь по толщине укрытия найдем по формуле

. (25)

Средний коэффициент тепловых потерь к-том слое имеет вид

. (26)

Средний (интегральный) коэффициент тепловых потерь по всей толщине n-слойного укрытия определим из выражения

. (37)

В качестве примера найдем распределение интегральных тепловых потерь в трехслойном и пятислойном РПУ по формуле (27) в зависимости от угла падения луча на границу сред и длины TE- и ТМ-поляризованной волны (рис. 2).

Несущие слои (обшивки) у трехслойного и пятислойного укрытия выполнены из стеклотекстолита марки СК-9 ХК, который имеет следующие диэлектрические и геометрические характеристики: ; ; толщина обшивок - . Заполнитель - пенопласт ППИ-2 толщиной с параметрами: , . В пятислойном РПУ, в отличие от трехслойного, учтены клеевые прослойки, выполненные из клея марки ВК-46 А толщиной с параметрами: , .

Как видно из графиков, интегральные тепловые потери в пятислойном укрытии превышают потери в трехслойном, причем, у TЕ-волны потери для обоих укрытий больше, чем у ТМ-волны. С увеличением угла падения волны тепловые потери возрастают.

Р и с. 2. Распределение интегральных тепловых потерь в трехслойном и пятислойном РПУ .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аверин Б.В. Математическое моделирование температурных полей и термических напряжений в многослойных радиопрозрачных укрытиях мощных передающих антенн: Автореф. дис. … канд. техн. наук. - М.: МИТХТ, 1999. - 22 с.

2. Волков А.Г. Радиопрозрачные укрытия для мощных передающих фазированных антенных решеток: Автореф. дис. … канд. техн. наук. - М.: НИИРФ, 1984. - 18 с.

3. Гулабянц Л.А. Теплофизические основы проектирования ограждающих конструкций радиотехнических комплексов с высоким уровнем излучаемой мощности: Автореф. дис. … канд. техн. наук. - М.: НИИСФ, 1987. - 42 с.

4. Справочник по радиолокации: Пер. с англ. Т.2 / Под общей ред. К.Н. Трофимова, М. Сколника. В 4-х т. - Нью-Йорк, 1970.

5. Радиолокационные антенные устройства / Под ред. П.И. Дудника. - М.: Сов. радио, 1974. - 408 с.

6. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Изд-во АН СССР, 1957.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1977. - 831 с.

Размещено на Allbest.ru