Метод выбора показателей оптимальности системы управления.docx

Самарский государственный технический университет

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

E-mail: vigen.sarkisov@mail.ru

Рассматривается вопрос выбора показателей, адекватно характеризующих результат работы системы управления с точки зрения потребителя. Выбранные показатели ранжируются по степени соответствия предпочтениям потребителя. Исследуется стабильность предпочтений.

Ключевые слова: оптимизация, целевая функция, показатель, критерий, предпочтение, оценка, потребитель.

Введение. В данной работе рассматриваются системы управления, качество результата работы которых апостериори оценивается потребителем, причем предпочтения потребителя не формализованы.

Как правило, при построении системы управления показатели качества работы системы выбраны заранее, и регулятор строится из соображений оптимизации целевой функции, построенной на основе выбранных показателей. Часто имеют место ситуации, когда количество возможных показателей достаточно велико и потребитель не может определить, какие из показателей реально описывают его предпочтения.

Общепринятые показатели качества работы системы удобны с точки зрения математического описания и анализа, но зачастую непонятны конечному потребителю, отражают его предпочтения лишь косвенно, не отражают их вообще или даже противоречат им [1]. В настоящей работе решается задача выбора и ранжирования показателей по степени их соответствия неформализованным предпочтениям потребителя.

Существенной проблемой является взаимозависимость показателей. Показатели, призванные разносторонне описывать качество результата работы системы, зачастую связаны корреляционной зависимостью с очень высоким коэффициентом корреляции (более 0,9). Результаты оптимизации системы по таким показателям практически идентичны. Следовательно, учет нескольких взаимозависимых показателей при оптимизации приводит лишь к усложнению самой процедуры оптимизации, не влияя на результат. В данной работе решается задача выявления взаимозависимых показателей.

Целью работы является формирование обоснованного подхода к выбору совокупности показателей, характеризующих некоторый класс систем с точки зрения полезности потребителю.

Формирование матрицы предпочтений потребителя. Пусть A - множество возможных результатов работы системы, представленных в некотором стандартизированном, понятном потребителю виде; A_i - i-тый эталонный результат работы системы, .

Для каждой пары результатов A_i и A_j из множества A потребитель определяет бинарное отношение (предпочтения или неразличимости) одного из трех видов:

1) - результат A_i более предпочтителен для потребителя, чем A_j;

2) - результат A_i менее предпочтителен для потребителя, чем A_j;

3) - результат A_i не более и не менее предпочтителен, чем A_j.

На основе выбора потребителя формируется матрица отношений предпочтения, например вида

. (1)

Анализ матрицы (1) должен в дальнейшем позволить проранжировать все результаты A_i по степени полезности потребителю.

Общий подход к оценке показателей. Показателем P_k качества результата A_i будем называть функционал P_k, ставящий в соответствие результату действительное число , где .

Далее будем полагать, что все показатели построены таким образом, что большему значению показателя P_k(A_i) соответствует более высокое качество результата A_i (если большему значению соответствует худший результат, то достаточно умножить значение показателя на -1).

Для оценки каждого показателя оптимальности системы по степени его соответствия предпочтениям потребителя рассмотрим две величины, характеризующие свойства показателя:

1) R_k - средний уровень соответствия показателя P_k предпочтениям потребителя;

2) S_k - стабильность уровня соответствия показателя P_k предпочтениям потребителя.

Данные величины будут далее рассчитаны на основе матриц предпочтений, сформированных по аналогии с (1) для каждого из показателей.

Формирование матриц и цепочек предпочтений по рассматриваемым показателям. Так как показатель ставит в соответствие каждому результату действительное число, то формирование отношений предпочтения по каждому показателю производится однозначно:

- по показателю P_k результат A_i более предпочтителен, чем A_j;

- по показателю P_k результат A_i не более и не менее предпочтителен, чем A_j;

- по показателю P_k результат A_i менее предпочтителен, чем A_j.

Отсортировав результаты A_i в порядке убывания значения P_k(A_i), получим цепочку отношений предпочтения вида

, (2)

где i₁, i₂,…, i_N - номера результатов A_i, отсортированные по убыванию P_k(A_i).

Из полученных отношений по аналогии с (1) для каждого показателя P_k формируется матрица предпочтений вида

. (3)

Анализ соответствия показателя предпочтениям потребителя. На основе сравнительного анализа матриц предпочтений (1) и (3), а также цепочки предпочтений (2) можно установить степень соответствия каждого показателя P_k предпочтениям потребителя. В настоящей статье для этого предлагается три различных подхода:

1) сравнение матриц предпочтения,

2) формирование цепочки предпочтений потребителя и усредненное сравнение с цепочкой предпочтений по показателю;

3) сравнение цепочки предпочтений потребителя с цепочкой предпочтений по показателю с точки зрения выбора экстремальных результатов.

Непосредственное сравнение матриц предпочтений. При непосредственном сравнении матриц предпочтений соответствие показателя P_k предпочтениям потребителя характеризуется сходством матриц (1) и (3). Будем считать, что одинаковые отношения предпочтения (потребителя и по показателю P_k) в матрицах (1) и (3) положительно сказываются на сходстве, отношения неразличимости на сходство не влияют, а противоположные отношения предпочтения в (1) и (3) уменьшают сходство:

(4)

потребитель управление предпочтение

При использовании данного подхода . Чем больше значение R_k, тем лучше показатель P_k отражает предпочтения потребителя:

. (5)

Показатели с отрицательными R_k в среднем противоречат предпочтениям потребителя.

Формирование цепочки предпочтений потребителя и усредненное сравнение с цепочкой предпочтений по показателю. Формирование цепочки предпочтений потребителя по аналогии с (2) и ее сопоставление с (2) даст более точную оценку показателя с точки зрения соответствия предпочтениям потребителя, чем сравнение матриц. Формирование цепочки предпочтений потребителя на основе матрицы (1) связано со следующими двумя проблемами, обусловленными нечеткостью формулировок и интуитивным характером предпочтений:

1) нарушение условия транзитивности (условие транзитивности: если , то ). Данная проблема проявляется в формировании в матрице (1) закольцованных цепочек вида . В такой цепочке элемент A₁, с одной стороны, является более предпочтительным, а с другой - менее предпочтительным, чем все остальные элементы. Эти же рассуждения справедливы и для любого другого элемента закольцованной цепочки;

2) нелогичные решения, когда потребитель предпочитает худший результат лучшему (по некоторым базовым критериям). Если первая проблема однозначно является следствием ошибки потребителя, то вторая, кроме того, может быть вызвана несовершенством принятых базовых критериев.

Если набор базовых критериев может быть сведен к некоторому единому обобщенному критерию, то появление первой проблемы неизбежно приводит к появлению второй. Например, потребитель сформировал закольцованную цепочку предпочтений . Из этой цепочки можно сделать выводы, что и (так как ). С точки зрения базового критерия правильным может быть лишь одно из отношений: или .

Обратное не верно, то есть из нелогичности решений потребителя по отношению к базовым критериям не всегда следует нарушение условия транзитивности. Например, потребитель сформировал цепочку предпочтений , а с точки зрения базовых критериев верны предпочтения . Нарушения условия транзитивности нет ни в той, ни в другой цепочке, но при этом с точки зрения базовых критериев решения потребителя нелогичны.

При разрешении первой проблемы (восстановлении транзитивности) вторая может разрешиться автоматически в том случае, если базовые критерии хорошо отражают предпочтения потребителя.

Для разрешения обеих проблем необходимо вмешательство потребителя. На первом этапе целесообразно указать ему на закольцованные цепочки, начиная с самых коротких (содержащих минимальное число элементов), предлагая изменить свой выбор в целях восстановления транзитивности. При этом потребитель может поменять отношение предпочтения на противоположное или ввести вместо него отношение неразличимости. После восстановления транзитивности результаты A_i уже могут быть однозначно проранжированы.

На втором этапе потребителю предлагается пересмотреть нелогичные (по базовым критериям) выборы. Сохранение первоначального выбора говорит о несоответствии базовых критериев предпочтениям потребителя.

Пусть после разрешения проблем потребителем на основании предпочтений потребителя была сформирована цепочка предпочтений

. (6)

С точки зрения потребителя . Для оценки сходства цепочек (6) и (2) рассмотрим отношение между этими же двумя результатами в цепочке (2). Сходство цепочек предпочтений будет описываться формулой

. (7)

Как и при использовании предыдущего подхода, и большему значению R_k соответствует более точное описание предпочтений потребителя.

Сравнение цепочки предпочтений потребителя с цепочкой предпочтений по показателю с точки зрения выбора экстремальных результатов. Формула (7) дает усредненное представление о степени соответствия показателя предпочтениям потребителя. С практической точки зрения часто наибольший интерес представляет выбор лучших результатов.

Оценим соответствие показателя предпочтениям потребителя с помощью r_k - количества совпадающих элементов в начале цепочек (2) и (6). Найдем r_k из условия

. (8)

При вычислении по (8) получим . Нормировав r_k, получим :

. (9)

Если интерес представляет выбор наихудших результатов (например, для оценки рисков), то вместо (8) условие для нахождения r_k примет вид

. (10)

Данный подход наиболее эффективен для большого числа показателей.

Выявление дублирующих показателей. По аналогии с (4), (7) и (8) можно исследовать показатель P_k не только на соответствие предпочтениями потребителя, но и на взаимозависимость с другим показателем (например, P_m). При этом вместо матрицы отношений предпочтения (1) и цепочки (6) будут рассматриваться матрица вида (3) и цепочка предпочтений вида (2), построенные для показателя P_m.

Для оптимизации системы из группы существенно взаимозависимых показателей достаточно оставить лишь один.

Анализ стабильности предпочтений потребителя. При выборе тех или иных показателей существенную роль играет стабильность предпочтений потребителя. Так как эти предпочтения изначально не формализованы, в различных наборах результатов наиболее значимыми могут становиться различные показатели. Для выявления наиболее значимых для потребителя показателей предлагается рассмотреть несколько наборов результатов и сопоставить цепочки предпочтения показателей [2].

Определим на множестве А подмножества A^l, ():

. (11)

Пусть подмножество A^l содержит n_l результатов A_i^l (). В общем случае один и тот же результат A_i из множества А может принадлежать нескольким подмножествам.

Обозначим через R_k^l значение R_k, рассчитанное по формулам (4), (7), (8) или (10) на подмножестве A^l. Сопоставляя значения R_k^l при различных l, можно выявить изменения в предпочтениях потребителя и выбрать показатели, наиболее стабильно отражающие эти предпочтения.

В качестве меры стабильности S_k предпочтений по отношению к показателю P_k может быть выбрана оценка дисперсии R_k^l (взятая с противоположным знаком):

, (12)

где - выборочное среднее R_k^l.

Чем больше значение S_k, тем меньше отношение потребителя к показателю P_k зависит от выбора подмножества A^l.

В зависимости от поставленных задач управления в качестве меры стабильности предпочтения S_k можно выбрать и другие величины. Например, наименьшее (наихудшее) значение R_k^l:

. (13)

Таким образом, в разработанном методе ранжирования каждый из показателей характеризуется двумя величинами:

1) R_k^* - мерой соответствия показателя P_k предпочтениям потребителя;

2) S_k - мерой стабильности предпочтений потребителя относительно показателя P_k.

Если R_k^*>R_m^* и S_k>S_m, то очевидно, что показатель P_k отражает предпочтения потребителя лучше, чем P_m. Если же R_k^*>R_m^*, а S_k<S_m, то для однозначного ранжирования необходимо использование дополнительных условий.

Выводы. Разработанный метод выбора показателей оптимальности системы управления позволяет:

1) производить выбор показателей оптимальности системы управления на основе анализа неформализованных предпочтений потребителя;

2) группировать и отсеивать дублирующиеся показатели;

3) анализировать и структурировать предпочтения потребителя;

4) классифицировать потребителей по их предпочтениям, формируя соответствующие наборы показателей.

Полученный в результате применения метода упорядоченный и минимизированный набор показателей может быть использован при многокритериальной оптимизации системы управления.

Библиографический список

1. Саркисов В.Г., Саркисов Г.А. Модели оценки риска инвестиционных портфелей // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий: Мат-лы V Всероссийской научно-практической конференции, Соч. гос. ун-т. - Сочи, 2009, с. 46-48.

2. Саркисов В.Г., Саркисов Г.А. Метод оценки и выбора алгоритма принятия инвестиционных решений на основе его параметрической оптимизации // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. - №2 (24). - 2009. - С. 39-46.

3. Железко Б., Синявская О. Скоринг ценных бумаг как способ оптимизации инвестиционных решений // Финансовый директор. - 2005. - №5-6. - С. 65-69; с. 67-71.

4. Орлов А.И. Статистический контроль по двум альтернативным признакам и метод проверки их независимости по совокупности малых выборок // Заводская лаборатория. - 2000. - Т. 66. - №.1. - С. 58-62.

Размещено на Allbest.ru