О некоторых математических моделях механической системы "трубопровод – датчик давления"

Рассматриваются плоские модели механической системы «трубопровод - датчик давления» для трубопровода конечной длины (см. рис.1,а), бесконечно длинного трубопровода (см. рис.1,б) с датчиком, закрепленным на боковой стенке, и бесконечно длинного трубопровода с датчиком, расположенным на стенке полости трубопровода (см. рис.1,в).

Рис. 1 Схема механической системы: 1 - двигатель, 2 - трубопровод, 3 - датчик, 4 - рабочая среда, 5 - пластина (упругий элемент датчика).

Рассмотрим задачу о динамике упругого элемента датчика давления рабочей среды, расположенного на боковой стенке трубопровода конечной длины (рис.1,а).

В линейной постановке уравнения и граничные условия имеют следующий вид:

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

(7)

Здесь (1) - уравнение Лапласа, описывающее движение рабочей среды (жидкости) в трубопроводе; (2)-(5) - условия непротекания среды через соответствующие границы; условие (6) задает закон изменения давления на входе в трубопровод; (7) - уравнение динамики пластины; - потенциал скорости среды; - прогиб упругого элемента; - закон распределения давления среды в сечении (на выходе из двигателя); - распределенная внешняя нагрузка, действующая на упругий элемент; - продольный и поперечный размеры трубопровода; - координаты концов упругого элемента; - давление рабочей среды в трубопроводе в состоянии покоя; - плотность среды; - погонная масса; - изгибная жесткость; - сжимающее (растягивающее) усилие; - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования; - коэффициент жесткости основания; точка и штрих, также как и индексы и снизу, обозначают частную производную по и соответственно.

Если продольный размер трубопровода значительно превосходит его поперечный размер , то можно считать (рис.1,б). Для модели, изображенной на рис. 1,б, линеаризованные уравнения и граничные условия имеют следующий вид:

, ; (8)

, ; (9)

, ; (10)

, ; (11)

, ; (12)

; (13)

; (14)

(15)

Здесь - закон изменения давления на входе в трубопровод; - распределенная внешняя нагрузка.

В линейной постановке, соответствующей малым прогибам упругого элемента и малым возмущениям потенциала скорости рабочей среды, математическая модель, геометрическая схема которой изображена на рис.1,в, определяется следующими уравнениями и граничными условиями:

, ; (16)

, ; (17)

, ; (18)

, ; (19)

, ; (20)

, ; (21)

, ; (22)

, ; (23)

Постановка задач (1) - (7), (8) - (15), (16) - (24) соответствует линейной теории аэрогидроупругости, когда динамика жидкости (газа), а также динамика чувствительного элемента датчика описываются линейными уравнениями.

Линейные математические модели системы «трубопровод - датчик давления» рассматривались в [1 - 5]. В данной статье авторами предлагаются нелинейные модели, которые определяются приведенными выше уравнениями (1) - (6), (8) - (14), (16) - (23), при этом в уравнениях (7), (15), (24), описывающих динамику пластины, дифференциальный оператор заменяется следующим:

.

Полагая прогибы малыми, заменим на . В результате получим

(25)

2. Сведение задачи к исследованию уравнения для функции деформации упругого элемента

В случае трубопровода конечной длины (рис.1,а) решение аэрогидродинамической задачи осуществлялось на основе метода Фурье, при этом потенциал скорости рабочей среды был представлен в виде ряда.

В результате получено уравнение, связывающее закон изменения давления рабочей среды на входе в трубопровод и функцию прогиба упругого элемента датчика, расположенного в сечении :

(26)

Это уравнение выражает связь между прогибом упругого элемента датчика и законом изменения давления на входе в трубопровод.

В случае бесконечно длинного трубопровода (рис.1,б, рис.1,в) на основе методов теории функций комплексного переменного (с помощью интеграла Кристофеля-Шварца, формул Шварца и Сохоцкого) получено уравнение, связывающее закон изменения давления на входе в трубопровод и деформацию упругого элемента датчика.

Для модели, изображенной на рис.1,б, имеем

, (27)

а для модели, изображенной на рис.1,в -

, , (28)

где - функция, обратная к функции

, .

Концы интервала определяются из условий:

, .

Параметры , , выражаются через параметры , , .

3. Решение уравнения для деформации

Согласно методу Галеркина, решение уравнений (26), (27), (28) ищется в виде

,

где - полная на система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям, соответствующим условиям закрепления пластины.

Например, в случае жесткого защемления концов пластины решение уравнений (26), (27), (28) будем искать в виде

, где

при этом находятся из уравнения

().

Функции ортогональны на , т.е. при . Можно показать, что

.

Для шарнирного закрепления концов пластины при можно положить

, где .

Из условия ортогональности невязки уравнений (26), (27), (28) к системе базисных функций получим систему из обыкновенных дифференциальных уравнений для ().

Например, для модели, изображенной на рис.1,в, получим систему из обыкновенных дифференциальных уравнений для (шарнирное закрепление концов пластины, ):

где ,

,

, , ,

4. Численное моделирование

Для всех рассмотренных моделей задача Коши для систем из обыкновенных дифференциальных уравнений решается с помощью системы Mathematica 7.0. Проведено численное моделирование на ЭВМ динамики упругого элемента датчика в зависимости от закона изменения давления в двигателе. Исследовалась деформация элемента как функция времени (в фиксированных точках элемента) и как функция координаты (в фиксированные моменты времени) для различных параметров механической системы.

Пример. Рассмотрим модель, изображенную на рис.1,а (жесткое закрепление концов упругого элемента, нелинейная модель). Рабочая среда - вода (), пластина изготовлена из алюминия (, ).

Для значений параметров , , , , , , , , , , , , , , , ,

получено решение для функции

в точке (рис.2):

Рис. 2

Прогибы упругого элемента в фиксированные моменты времени для нелинейной модели представлены на рис.3.

Рис. 3

На рис.2, 3 представлены графики, полученные при численном моделировании на ЭВМ в случае нелинейной модели для трубопровода конечной длины с упругим элементом на боковой стенке (рис.1,а). Линейная модель рассматривалась в [1, 5]. Графики для линейной и нелинейной моделей для одних и тех же значений параметров механической системы существенно различаются (в частности, в нелинейной модели происходит увеличение деформации). Можно сделать вывод, что учет нелинейных членов в уравнении, описывающем динамику пластины, имеет важное значение при исследовании динамики чувствительного элемента.

Заключение