Синтез алгоритмов оптимального управления процессом индукционного нагрева массивного тела

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Синтез алгоритмов оптимального управления процессом индукционного нагрева массивного тела

М.Х. Лапицкая

E-mail: lapitskaya@bk.ru

Аннотация

тепло управление алгоритм алюминиевый

Мария Хамильевна Лапицкая - аспирант.

В данной работе решается задача поиска оптимального алгоритма управления внутренними источниками тепла в системе с обратной связью для стабилизации температурного поля внутри алюминиевой пластины. Рассмотрен метод последовательных приближений для определения коэффициентов данного алгоритма.

Ключевые слова: объект с распределенными параметрами, критерий оптимальности, метод последовательных приближений, температурное поле, удельная мощность внутренних источников тепла.

Задача синтеза замкнутой системы оптимального управления с обратными связями для процессов индукционного нагрева является одним из перспективных направлений, поскольку подобные системы могут обеспечить автоматическую обработку оптимальной программы управления с допустимой погрешностью в реальных условиях ограниченной неопределенности характеристик объекта с распределенными параметрами и воздействия различных возмущений.

В данной работе решается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) для управления процессом индукционного нагрева алюминиевой пластины, рассматриваемой как объект управления с распределенными параметрами (ОРП). Рассматривается случай полного измерения функции состояния, представляющей собой распределение температурного поля по пространственной координате и во времени В работе формулируется задача поиска оптимального алгоритма управления внутренними источниками тепла определяемого как функция величины , для стабилизации температурного поля относительного невозмущенного состояния.

1. Постановка задачи АКОР

Рассмотрим задачу АКОР при управлении распределением температурного поля по толщине неограниченной пластины. Для объекта управления, описываемого в отклонениях от невозмущенного состояния уравнением теплопроводности Фурье следующего вида:

(1)

с граничными и начальными условиями:

(2)

требуется найти алгоритм управления с обратной связью , обеспечивающий минимум следующего критерия оптимальности:

(3)

Где

(4)

Здесь - управляющее воздействие, в роли которого выступает удельная мощность внутреннего тепловыделения, - коэффициент теплопроводности, - удельная теплоемкость, - плотность, - коэффициент температуропроводности, - коэффициент конвективной теплоотдачи, - половина толщины пластины, - переменная интегрирования по пространственной координате, и - заранее фиксируемые весовые функции.

Критерий оптимальности (3) представляет собой взвешенную сумму интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля на всем протяжении процесса управления к невозмущенному состоянию и энергетических затрат, оцениваемых величиной интеграла от квадрата управляющего воздействия по области его определения.

Решение задачи АКОР. Оптимальный алгоритм управления, минимизирующий критерий полученный методом динамического программирования, согласно [1] будет иметь вид:

(5)

где

- корни трансцендентного уравнения вида:

, (6)

, (7)

представляют собой моды температурного поля, определяемые по формуле:

. (8)

Числа

являются корнями системы квадратных уравнений

(9)

где

(10)

а для постоянного весового множителя определяются по формуле [1]:

(11)

Система уравнений (9) при заданных значениях , , решается методом последовательных приближений по схеме, предложенной в [1].

Сначала находятся первые приближения для коэффициентов при по формуле:

(12)

Затем по величинам находятся первые приближения для коэффициентов при , как корни квадратных уравнений:

(13)

то есть определяются по формуле:

(14)

Следующие приближения

для коэффициентов находятся по согласно выражению

(15)

Затем находятся из квадратных уравнений вида (13) заменой на :

(16)

Далее вычисления продолжаются по схеме (15) - (16) до тех пор, пока не совпадут M-ое и M+1-ое приближения и с точностью 5%.

Температурные моды, определяемые выражением (8), являются решением системы дифференциальных уравнений [1]:

(17)

Где

(18)

Подстановка в (5) позволяет найти оптимальный алгоритм управления в системе с обратной связью как явную функцию и .

Температурное поле в оптимальном процессе при управлении (5) находится по формуле [1]

(19)

Результаты вычислений. На рис. 1-5 приведены некоторые результаты вычислений для равномерного начального распределения температурного поля рассматриваемого как возмущающее воздействие, в процессе нагрева алюминиевой пластины толщиной при следующих теплофизических параметрах процесса:

критерии Био и .

В процессе вычисления методом перебора было установлено, что устойчивость процедуры последовательного приближения для коэффициентов при данных параметрах обеспечивается, если вместо -того приближения

,,

вычисляемого по формуле (15) , принять величину

(20)

с числовым множителем .

На рис. 1 представлены результаты процедуры последовательного приближения при вычислении коэффициентов без замены -того приближения на величину .

На рис. 2 представлены результаты процедуры последовательного приближения с заменой -того приближения на величину На рис. 3 представлены температурные моды, на рис. 4-5 - внутреннее распределенное управляющее воздействие в относительных единицах и температурное поле для оптимального процесса управления в различные моменты времени соответственно.

Рис. 1 Итерационный процесс вычисления коэффициентов без замены -того приближения на величину : а б в г д е

Рис. 2 Итерационный процесс вычисления коэффициентов с заменой -го приближения на величину : а б в г д е

Рис. 3 Температурные моды: 1 , 2 , 3

Рис. 4 Распределенное управляющее воздействие в различные моменты времени:1 2 3

Рис. 5 Температурное поле в различные моменты времени:1 2 3

Заключение

В результате работы получен оптимальный по критерию (3). алгоритм управления процессом нагрева алюминиевой пластины. Для расчета коэффициентов данного алгоритма в системе с обратной связью была использована методика, расчетные результаты по которой показали достаточно быструю сходимость итерационного процесса при вычислении коэффициентов. Полученные алгоритмы оптимального управления обеспечивают асимптотическую сходимость температурного поля к установившемуся состоянию, соответствующему нулевым значениям.

Библиографический список

1. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высш. шк., 2008.

Размещено на Allbest.ru