Разработка экономико-математическая модель транспортной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Образовательное Учреждение Высшего Образования

«ЮЖНО - УРАЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ»

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Теория транспортных процессов»

НА ТЕМУ: «Анализ муниципального унитарного предприятия «Карабашское коммунальное предприятие»

Выполнил

Савич Дмитрий Викторович

Челябинск, 2018 г



ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



ВВЕДЕНИЕ

В современных условиях глобализации экономики развитой транспорт является важнейшим фактором экономического роста и благосостояния любого государства, обеспечивающий: - единство экономического пространства; - повышение конкурентоспособности отечественных товаров; - рационализацию размещения производственных сил; - равномерное социально-экономическое развитие регионов страны; - развитие международного сотрудничества. С целью повышения эффективности транспортного комплекса, развития интермодальных перевозок по международным транспортным коридорам требуются новые подходы к построению транспортно-логистической сети государства и геополитическое (геоэкономическое) положение создают предпосылки для развития того либо другого вида перевозок, определяют направления развития транспортной системы конкретного государства. Можно отметить, что транспорт является жизненно важными артериями для любого государства, по которым осуществляется движение сырья, продукции и товаров, благодаря чему функционирует национальная экономика.

Работники транспортной сферы сталкиваются с изменением объемов транспортировки, изменением номенклатуры, ограничений, что требует от них решения оптимизационных задач. Полученные результаты решения оптимизационных задач используются с целью повышения эффективности работы предприятий, оптимизации работы и структуры транспортных средств и персонала транспортных подразделения, повышения производительности труда и использования основных средств, а также поиска и использования внутренних резервов производства. Вышеперечисленные задачи связаны с повышением эффективности функционирования комплексных производственно-транспортных систем. Таким образом, организация перевозок требует решения оптимизационных экономических задач, что и показано в данной курсовой работе. Целью выполнения курсовой работы является разработка математической модели и получение на ее основе оптимальных решений, что позволит обосновать мероприятия по повышению эффективности экономической системы. Объектом исследования является транспортно-производственная система. Предметом исследования является оптимизационная математическая модель.

Практическая значимость работы состоит в закреплении знаний относительно построения оптимизационных моделей и получение навыков использования их на практике.



1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Определить величину транспортной работы, обеспечивающей максимальный доход хозяйственной системы «Транспорт» - «Производство» - «Топливно-энергетический комплекс» при следующих исходных данных:

Таблица 1.1 - Исходные данные

Показатели	Значение показателей
Поставки сектора «Транспорт» в сектор «Производство», руб.
Поставки сектора «Транспорт» в сектор «Топливно-энергетический комплекс», млн. руб.
Собственное потребление сектора «Транспорт», млн. руб.
Поставки сектора «Транспорт» в сектор конечного потребления, млн. руб.
Поставки сектора «Производство» в сектор «Транспорт», млн. руб.
Поставки сектора «Производство» в сектор «Топливно-энергетический комплекс», млн. руб.
Собственное потребление сектора «Производство», млн. руб.
Поставки сектора «Производство» в сектор конечного потребления, млн. руб.
Поставки сектора «Топливно-энергетический комплекс» в сектор «Транспорт», млн. руб.
Поставки сектора «Топливно-энергетический комплекс» в сектор «Производство», млн. руб.
Собственное потребление сектора «Топливно-энергетический комплекс», млн. руб.
Поставки сектора «Топливно-энергетический комплекс» в сектор конечного потребления, млн. руб.
Себестоимость продукции, млн. руб.
Цена единицы продукции, млн. руб.
Спрос на продукцию, млн. руб.
Объём начальных затрат, млн. руб.	1,3
Сигнальная область, %



Таблица 1.2 - Себестоимость единицы транспортной работы по видам поставок

Наименование показателя	Стоимость единицы транспортной работы, руб./ткм
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Транспорт» - «Производство»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Транспорт» - «Топливно-энергетический комплекс»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Транспорт» - «Транспорт»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Транспорт» - «Конечный сектор»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Производство» - «Транспорт»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Производство» - «Топливно-энергетический комплекс»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Производство» - «Производство»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Производство» - «Конечный сектор»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Топливно-энергетический комплекс» - «Транспорт»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Топливно-энергетический комплекс» - «Производство»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Топливно-энергетический комплекс» - «Топливно-энергетический комплекс»
Себестоимость транспортной работы по перевозкам «Топливно-энергетический комплекс» - «Конечный сектор»
Средневзвешенная себестоимость транспортной работы по сектору «Транспорт», с1
Средневзвешенная себестоимость транспортной работы по сектору «Производство», с2
Средневзвешенная себестоимость транспортной работы по сектору «Топливно-энергетический комплекс», с3

Задача управления сводится к отысканию оптимального алгоритма действий, когда из множества всех имеющихся параметров мы меняем в допустимых пределах те, которые могут быть изменены, чтобы достичь наибольшей эффективности производственного процесса, т.е. получить максимальную прибыль и рентабельность.

Решение задачи начинается с разработки математической модели. Учитывая, что разрабатываемая модель должна помочь найти решение, позволяющее обеспечить уровень максимальной прибыли системы при минимальных затратах, т.е. задача экономическая, целесообразно применить так называемую двойственную модель линейного программирования (ЛП), что позволит более точно определить влияние различных факторов на работу системы в целом.

Решению задач линейного программирования уделено большое внимание в литературе как отечественных, так и зарубежных авторов. Решение задачи линейного программирования осуществляется с помощью различных методов, в том числе и симплекс-методом.

Проблема анализа оптимального решения ЛП-задачи с целью принятия адекватного управленческого решения. Хотя и сам по себе оптимальный план чрезвычайно полезен, часто бывает гораздо интереснее знать, как можно изменить те или иные параметры системы (считавшиеся неизменными в ходе решения ЛП-задачи), чтобы улучшить решение, получить еще большую прибыль, уменьшить издержки или усовершенствовать стратегию управления организацией.

Поэтому, составление модели следует начать с кодирования факторов. Обозначим анализируемые сектора через: сектор «Транспорт» - Х1; сектор «Производство» - Х2; «Топливно-энергетический комплекс» - Х3; величину себестоимости каждого вида перевозок соответственно а1, а2, и т.д., средневзвешенную себестоимость транспортной работы по секторам - с1, с2 и т.д Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 2015. - 319 с., ил..



2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Составим таблицу анализа исходных данных.

Таблица 1.3 - Кодирование исходных данных

Вид перевозок	Обозначение	Нормы затрат на единицу транспортной работы по секторам	Объёмы выполняемой транспортной работы, млн. руб.
«Транспорт», Х1	«Производство», Х2	«Топливно-энергетический комплекс», Х3
Внутри секторные поставки	a1n
Внешние (межсекторные) поставки	a2n
Поставки в конечный сектор	a3n
Средневзвешенная себестоимость транспортной работы	сn

При анализе поставленной задачи следует помнить, что основная транспортная работа выполняется секторами «Транспорт», «Производство» и «Топливно-энергетический комплекс», следовательно, в математической модели показатели Х1, Х2 и Х3, будут описывать величину транспортной работы в данных секторах - соответственно «Транспорт», «Производство» и «Топливно-энергетический комплекс». Ограничивающими условиями в данном случае будут выступать и межсекторные перевозки, так как они являются неотъемлемой составляющей технологического процесса. При этом величины транспортных потоков выстраиваются с учётом направления вектора перевозок. На основании проведенного анализа (см. табл.. 1.3), разрабатываем математическую модель вида:



где с1, с2 и с3 - средневзвешенная цена единицы транспортной работы соответственно секторов «Транспорт», «Производство» и «Топливно-энергетический комплекс»;

х1, х2 и х3 - величина транспортной работы в соответствующих секторах.

Математическая модель будет иметь вид:

при условиях

где xj - объём транспортной работы j-го сектора.

Тогда обратная задача, позволяющая оценить значимость каждого ресурса (вида поставок), в соответствие с правилами примет вид:



при условиях ограничения:

где уj - оценка i-го вида ресурса .

Для решения данной задачи на поиск экстремума может быть использован симплексный метод.

В этом разделе проведен анализ сходных данных. На основании проведенного анализа (см. табл.. 1.3), разработана математическая модель.

Методика определения коэффициентов матриц прямых и полных затрат

На основе определенной в предыдущем пункте модели межотраслевых связей рассчитывается матрица коэффициентов прямых затрат аij по формуле:

.

Точность расчетов здесь и дальше - 3 знака после запятой.

Матрица коэффициентов прямых затрат записывается в виде:

.

Для расчета матрицы коэффициентов полных затрат используется матричная формула:

,

где матрица коэффициентов полных затрат;

единичная матрица.

Вводится обозначения:

,

тогда в линейном виде матрица С рассчитывается по зависимости:

Для получения матрицы B теперь необходимо найти обратную матрицу матрицы С

где detC - определитель матрицы С;

Сij - алгебраическое дополнение ij-го элемента матрицы С;

T - транспонированная матрица, то есть матрица, у которой строки исходной матрицы есть столбцы результирующей.

Рассчитываются значения определителя С:

Точность расчета определителя - 8 знаков после запятой.

Рассчитываются значения алгебраических дополнений.

Алгебраическое дополнение ij-то элемента - определитель субматрицы, полученной вычеркиванием і-ой строки ij-го столбца матрицы, умноженный на (-1)i+j. После получения матрицы В проверяется правильность обращения, для чего рассчитывается матрица K = B C.

При умножении матрицы, для получения ij-го элемента необходимо элементы і-го строки матрицы В умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы С. Сумма этого произведения и даст искомый элемент результирующей матрицы. В общем виде эта процедура описывается по нижеприведенной зависимости.

.

Например:

Матрица К записывается в виде:

.

Потом проверяется равенство матриц К и Е. Элементы матриц считаются равными, если различие между ними существует только в третьем знаке после запятой:

Для решения данной задачи на поиск экстремума в курсовой работе используется симплексный метод.

Анализ результатов решения математической модели целесообразно начинать с представления исходных данных и результатов расчёта.

Исходные данные:

при условиях

>>Max .000022X1+ .000056X2+ .000029X3

>>Subject to

>> (1) .000005X1 <=457000

>> (2) .000008X2 <=4187000

>> (3) .000005X3 <= 247000

>> (4) .000004X1 <= 958000

>> (5) .000007X1 <= 965000

>> (6) .000005X2 <= 528000

>> (7) .000007X2 <= 951000

>> (8) .000005X3 <= 1456000

>> (9) .000011X3 <= 1987000

>> (10) .000012X1 <= 12365000

>> (11) .000023X2 <= 9876000

>> (12) .000017X3 <= 4287000.

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Таблица 1.4 - Результаты расчёта объёмов транспортной работы по секторам

Общий отчет решенияСтр. 1
Номер	Перемен.	Значение	Сниж. оценка	Коэффициент ЦФ	Минимум коэф. ЦФ	Максим. коэф. ЦФ
	X1			0,000022		+ Бесконеч
	X2			0,000056		+ Бесконеч
	Х3			0,000029		+ Бесконеч
Максимум ЦФ = 8 3820291

Таблица 1.5 - Результаты расчёта оценочных коэффициентов

Общий отчет решения Стр.: 2
Огран.	Статус	RHS	Теневая цена	Недовып./ Перевып.	МинимумRHS	МаксимумRHS
	Своб.	<+457000				+ Бесконеч
	Своб.	<+41870000				+ Бесконеч
	Фикс.	<+247000	+5,80
	Своб.	<+958000				+ Бесконеч
	Фикс.	<+965000	+3,14
	Своб.	<+528000				+ Бесконеч
	Фикс.	<+951000	+8,00
	Своб.	<+1456000				+ Бесконеч
	Своб.	<+1987000				+ Бесконеч
	Своб.	<+6984000				+ Бесконеч
	Своб.	<+68000000				+ Бесконеч
	Своб.	<+4287000				+ Бесконеч
МаксимумЦФ= 8 382 029

В таблице 1.5 представлены результаты расчёта оценочных коэффициентов уi . Колонка «Теневая цена» характеризует избыточное или дефицитное наличие того или иного ресурса. В случае если данные ресурсы использованы не полностью (избыток), то их значения равны 0. Если ресурс дефицитен, то в данной колонке будет находиться положительное число (коэффициент) которое указывает, насколько возрастёт отдача ресурса и системы в целом, если туда направить дополнительные средства. Колонка № 5 показывает величину оставшихся средств по каждому из избыточных ресурсов. Колонки № 6 и 7 показывают пределы устойчиво эффективной работы системы по каждому виду ресурсов.

Верхняя граница интервала рассчитывается как сумма целевого коэффициента и допустимого увеличения, а нижняя - как разность между целевым коэффициентом и допустимым уменьшением.

На основании результатов расчётов, представленных в таблицах 1.4 и 1.5 можно сделать вывод, что:

- ресурсы, которые в оптимальном плане используются не полностью, не имеют верхней границы интервалов устойчивости;

- теневая цена ресурса показывает, насколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. Для недефицитного ресурса оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий оптимальности. Дефицитность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функции. Увеличение средств на дефицитные ресурсы путем перераспределения средств внутри системы, позволит работать данной системе более эффективно.

Оценку эффективности перераспределения произведем в следующем разделе с использованием выше определённой модели Бужинский В.А. Методы принятия управленческих решений: Программа курса. Проблемно-тематический курс / Автор-составитель В.А. Бужинский. - М.: МИЭП, 2012. - 64 с..

Определение возможного изменения состояния системы при увеличении объёмов поставок следует производить на основе перераспределения ресурсов системы.

На основании анализа можно установить, что наиболее целесообразно увеличить финансирование по секторам внутренних поставок «Транспорт» - «Транспорт», «Производство» - «Транспорт»и «Производство» - «Производство», увеличив финансирование соответственно до903182, 451500и 1348200тыс. руб. (см. колонку № 7 табл. 1.5). Финансы целесообразно перераспределить из сектора «Производство» в сектор конечного потребления, так как в данном секторе имеются наиболее значимые запасы. затрата транспортный поставка прибыль

Тогда математическая модель примет следующий вид:

при ограничениях:

Обратная задача, позволяющая оценить значимость каждого ресурса (вида поставок), в соответствие с правилами примет вид:

при условиях ограничения:

Решение модели будет иметь следующий вид.

Таблица 1.6 - Результаты расчёта объёмов транспортной работы по секторам

Общий отчет решенияСтр. 1
Номер	Перемен.	Значение	Сниж. оценка	Коэффи-циент ЦФ	Минимум коэф. ЦФ	Максим. коэф. ЦФ
	X1			0,000022		+ Бесконеч
	X2	1,926E+11		0,000056		+ Бесконеч
	Х3	1,80636E+11		0,000029		+ Бесконеч
Максимум ЦФ = 17 443054,5

Таблица 1.7 - Результаты расчёта оценочных коэффициентов

Общий отчет решенияСтр. 2
Огран.	Статус	RHS	Теневая цена	Недовып./ Перевып.	МинимумRHS	МаксимумRHS
	Своб.					+ Бесконеч
	Своб.					+ Бесконеч
	Своб.					+ Бесконеч
	Своб.					+ Бесконеч
	Фикс.		3,14
	Фикс.		11,20
	Своб.
	Своб.					+ Бесконеч
	Фикс.		2,64
	Своб.					+ Бесконеч
	Своб.					+ Бесконеч
	Своб.					+ Бесконеч
Максимум ЦФ = 17 443 054,5

Проанализируем полученные результаты, сопоставим их с предыдущим расчетом.

Максимум ЦФ в результате расчета стал 17 443 054,5 руб., что на 9061026 руб. (17 443 054,5 - 8 382 028,57) больше чем при первоначальных условиях. Таким образом, произошло увеличение доходов от транспортной работы более чем в два раза.

Построим график объема транспортной работы:

Рисунок 1.1 - Изменение объёма транспортной работы

Получение доходов от транспортной работы более чем в два раза.

Построим график объема транспортной работы:



Рисунок 1.1 - Изменение объёма транспортной работы

Рисунок 1.2 - Изменение доходов системы

В качестве анализируемой транспортной системы принимается совокупность автотранспортных предприятий с соответствующим уровнем начальных и текущих затрат на их работу.

Определим значения валового выпуска транспортной системы, которое ограничивает область экономической стойкости предприятия слева и дело (верхняя и нижняя граница).

Область экономической стойкости транспортной системы определяется выражением:



D

R - затраты на удержание и функционирование системы.

Исходя из (1.1) между области экономической стойкости определяются равенством (1.2).

D

Прибыли системы определяются с учетом ограниченного спроса на транспортную продукцию.

(1.3)

где Х - валовой выпуск продукции транспортной системы, ткм.

Затраты системы с учетом начальных затрат равняются:

R = З0 + S

С учетом (1.2) - (1.4) нижняя граница области стойкости Хmin определяется по первому условию (1.3) из равенства (1.5):

Ц .

После преобразования можно записать:



Верхняя граница области экономической стойкости определяется по второму условию (1.3) из равенства (1.7):

= З0 + S

После преобразования можно записать:

Определим значение валового выпуска, которое отвечает максимальной стойкости системы и значение показателя стойкости, которое ему отвечает.

Объем валового выпуска, который максимальному уровню стойкости Хopt определяется совпадением объема производства и спроса на продукцию:

Ц =

После преобразования можно записать:

Соответственно оптимальное значение экономического показателя стойкости системы Uopt будет равняться:



Определим значение экономического показателя стойкости, которое определяет сигнальную область и соответствующее значение валового выпуска.

Предельные значения сигнальной области определяются по зависимости (1.12):

Соответствующие сигнальной области значения валового выпуска определятся из равенства (1.13):

D - R =

Подстановка в (3.13) первую часть (1.2) и (1.3) дает выражение (1.14) для нижней границы сигнальной области ХS min:

=

После преобразований (1.14) и (1.15) можно получить выражения (1.16) и (1.17), что определяют предельные значения валового выпуска:



Результаты расчёта представим в табличной форме.

Таблица 1.8 - Исходные данные к расчёту показателей финансовой устойчивости системы

Наименование показателя	Обозначение	Единицы измерения	Значение
Себестоимость продукции	S	руб.
Цена единицы продукции	Ц	руб.
Спрос на продукцию	Дmax	млн. руб.
Объём начальных затрат	Зо	млн. руб.	1,3
Сигнальная область	?	%

Таблица 1.9 - Результаты расчёта финансовой устойчивости системы

Наименование показателя	Обозначение	Единицы измерения	Значение
Объём валового выпуска устойчивости системы	Xopt	ткм	771 429
Оптимальная устойчивость системы	Uopt	руб.	15 428 570
Предельное значение сигнальной области	Us	руб.	11 879 999
Предельные значения валового выпуска	Xs min	т км	659 000
Xs max	ткм	921 333
Предельное значение валового дохода	Д min	руб.	23 064 998
Д max	руб.	32 246 669
Дopt	руб.	27 000 000

В процессе выполнения работы была разработана математическая модель хозяйственной системы «Транспорт» - «Производство» - «Топливно-энергетический комплекс». Произведенный расчет при данных показателях показал, что совокупный объем транспортной работы составил 8 382 0291 руб. В результате расчета были выявлены дефицитные и недефицитные ресурсы.



Рисунок 1.3 - Графическая зависимость устойчивости транспортной системы

Теневая цена ресурса показывает, насколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. Для недефицитного ресурса оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий оптимальности. Дефицитность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функции. Увеличение средств на дефицитные ресурсы путем перераспределения средств внутри системы, позволит работать данной системе более эффективноИсследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2015. - 407 с..

Определение возможного изменения состояния системы при увеличении объёмов поставок следует производить на основе перераспределения ресурсов системы.

Так перераспределением денежных средств между секторами, можно добиться существенного увеличения объема транспортной работы. В данной работе наиболее целесообразно увеличить финансирование по секторам внутренних поставок «Транспорт» - «Транспорт», «Производство» - «Транспорт» и «Производство» - «Производство», увеличив их финансирование. Финансы целесообразно перераспределить из сектора «Производство» в сектор конечного потребления, так как в данном секторе имеются наиболее значимые запасы. В результате перераспределения объем транспортной работы увеличился более чем в два раза, до 17443 054,5 руб.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы разработана экономико-математическая модель транспортной системы. Решение сформированной математической модели (двойственной задачи) для заданных данных и анализ результатов расчетов дали возможность модифицировать план задачи (распределения ресурсов) в соответствии изменяющимся условиям задачи и позволили получить следующие результаты: - определены значения объёмов транспортной работы по секторам (видам поставок) - наиболее целесообразно увеличить финансирование: а) по сектору внутренних поставок «Топливно-энергетический комплекс» - «Топливно-энергетический комплекс»; б) меж секторным поставкам «Транспорт» - «Топливно-энергетический комплекс»; в) меж секторным поставкам «Производство» - «Транспорт». При этом необходимо увеличить финансирование по данным секторам соответственно на 349200, 523000 и 586500 тыс. руб. Финансы целесообразно перераспределить из сектора «Производство» - «Конечное потребление», на общую сумму дополнительного финансирования 1458700 тыс. руб., так как в данном секторе это наиболее значимый запас. - определены значения оценочных коэффициентов (прямой и двойственной задачи); - установлено наличие избыточных и дефицитных ресурсов; - найдены коэффициенты матриц прямых и полных затрат (при решении прямой задачи); Из анализа решения задачи было установлено, что наиболее целесообразно увеличить финансирование: а) по сектору внутренних поставок «Топливно-энергетический комплекс» - «Топливно-энергетический комплекс»; б) меж секторным поставкам «Транспорт» - «Топливно-энергетический комплекс»; в) меж секторным поставкам «Производство» - «Транспорт». При этом необходимо увеличить финансирование по данным секторам соответственно на 349200, 523000 и 586500 тыс. руб. Было показано, что финансирование целесообразно перераспределить из сектора «Производство» - «Конечное потребление», на общую сумму дополнительного финансирования 1458700 тыс. руб., так как в данном секторе это наиболее значимый запас. - определен рациональный план работы транспортной системы для исходных условий решения задачи; - найдены значения изменений валового выпуска и межсекторных потоков при изменении вектора конечного потребления; - оценены изменения объёма транспортной работы и доходов системы по результатам решения задачи для базового варианта (исходные условия) и предложенного варианте перераспределения ресурсов; - выполнен расчет финансовой устойчивости транспортной системы в соответствие с уровнем начальных и текущих затрат - определены границы области экономической стойкости транспортной системы.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 2015. - 319 с., ил.

2. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 244с. - (Серия «Высшее образование»).

3. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2013. - 368 с.: ил.

4. Бужинский В.А. Методы принятия управленческих решений: Программа курса. Проблемно-тематический курс / Автор-составитель В.А. Бужинский. - М.: МИЭП, 2012. - 64 с.

5. Власов М. П., Шимко П.Д., Моделирование экономических процессов. Ростов н/д Феникс 2012г.

6. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е., Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы. - М.: Дело, 2014.

7. Зуб А.Т., Принятие управленческих решений. Теория и практика. Учеб. пособие. - М.: Форум, 2012.

8. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2015. - 407 с.

Размещено на Allbest.ru

...