Построение сложных многосеточных конечных элементов с микронеоднородной структурой
Расчет упругих тел с микронеоднородной структурой по методу конечных элементов. Построение систем уравнений МКЭ высокого порядка. Разработка сложных многосеточных конечных элементов формы прямоугольного параллелепипеда с учетом микронеоднородности.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2018 |
| Размер файла | 69,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Построение сложных многосеточных конечных элементов с микронеоднородной структурой
А.Д. Матвеев Институт вычислительного моделирования СО РАН
Расчет упругих тел с микронеоднородной структурой по методу конечных элементов (МКЭ) с учетом их структуры сводится к построению систем уравнений МКЭ высокого порядка [1]. Двухсеточные конечные элементы (ДвКЭ) учитывают микронеоднородную структуру и порождают дискретные модели малой размерности [2, 3]. Краткая суть процедуры построения ДвКЭ - го порядка формы прямоугольного параллелепипеда, который имеет микронеоднородную структуру, состоит в следующем ( - порядковый номер ДвКЭ ). Полагаем, что между компонентами структуры ДвКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши. Область ДвКЭ представляем базовым разбиением, которое состоит из однородных односеточных КЭ первого порядка формы куба, учитывает микронеоднородную структуру и порождает мелкую сетку . На мелкой сетке определяем крупную сетку размерности , вложенную в мелкую сетку. Полную потенциальную энергию базового разбиения ДвКЭ представим в матричном виде
(1)
где - матрица жесткости, - векторы узловых сил и неизвестных элемента , - транспонирование, - общее число КЭ базового разбиения ДвКЭ .
С помощью полиномов Лагранжа на крупной сетке определяем аппроксимирующие функции для перемещений u, v, w ДвКЭ , которые соответственно обозначим и представим в форме
, (2)
где - базисная функция -го узла крупной сетки ; - значения функций в-ом узле сетки ; .
Обозначим через вектор узловых неизвестных крупной сетки . Используя (2), вектор узловых неизвестных КЭ выражаем через вектор узловых неизвестных крупной сетки , в результате получим равенство
, (3)
где - прямоугольная матрица,
Подставляя (3) в выражение (1), из условия получаем уравнение ,
(4)
где - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ .
Поскольку размеры высокомодульных частиц и волокон очень малы, то для учета микронеоднородной структуры необходимо использовать достаточно мелкие базовые разбиения ДвКЭ. Число в формулах (4) достаточно велико, . Это приводит к резкому увеличению временных затрат на реализацию алгоритма (4), т. е. на построение матрицы жесткости и вектора узловых сил ДвКЭ .
В данной работе разработаны сложные многосеточные конечные элементы (МнКЭ) формы прямоугольного параллелепипеда, в которых учитывается микронеоднородная структура. Процедура построения сложных МнКЭ требует мало временных затрат. Для построения сложного - сеточного КЭ -го порядка () используем некоторую систему МнКЭ -го порядка, крупные сетки которых имеют размерность . Процедура построения - сеточного КЭ сводится к последовательному построению ДвКЭ , трехсеточного КЭ (ТрКЭ) , четырехсеточного КЭ (ЧтКЭ) , …, - сеточного КЭ , которые имеют - ый порядок. При этом область - сеточного КЭ состоит из () - сеточных КЭ , т. е. имеем , где - общее число КЭ , представляющих область КЭ . Область КЭ состоит из () - сеточных КЭ , т. е. имеем , - общее число КЭ , которые представляют область КЭ , и т. д.
Основные положения процедуры построения сложного МнКЭ покажем на примере построения ТрКЭ - го порядка с микронеоднородной структурой формы прямоугольного параллелепипеда. Область ТрКЭ представляем подобластями, на которых строим ДвКЭ - го порядка, , - общее число ДвКЭ . При этом ДвКЭ имеют одинаковые геометрические размеры, мелкие и крупные сетки (одинаковые базовые разбиения). Базовые разбиения ДвКЭ учитывают микроструктуру ТрКЭ . Совокупность крупных сеток ДвКЭ образуют крупную сетку . На сетке определяем более крупную сетку (вложенную в сетку ) размерности . Аппроксимирующие функции перемещений, построенные на сетке , запишем в виде
, (5)
где - базисная функция -го узла крупной сетки ; - значения функций в-ом узле сетки ;.
Полную потенциальную энергию ТрКЭ выражаем через полную потенциальную энергию ДвКЭ в матричной форме
, (6)
где - общее число ДвКЭ , из которых состоит область ТрКЭ .
Обозначим через вектор узловых неизвестных крупной сетки ТрКЭ . Используя (5), вектор узловых неизвестных ДвКЭ выражаем через вектор узловых неизвестных крупной сетки , в результате построим равенство
, (7)
где - прямоугольная матрица,
Подставляя (7) в выражение (6), из условия получаем матричное уравнение ,
(8)
где - матрица жесткости и вектор узловых сил ТрКЭ .
Процедура построения четырехсеточных КЭ с применением трехсеточных КЭ аналогична вышеописанной процедуре. Расчеты показывают, что реализация процедуры построения сложных многосеточных КЭ, требует многократно меньше времени, чем реализация процедуры построения ДвКЭ при прочих равных условиях.
микронеоднородный многосеточный параллелепипед
Список литературы
1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.
2. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. 2000. - 30с.
3. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ № 3, 2004. с. 161-171.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет напряжений в плотине в сечении 0–0. Напряжения в бетонной плотине в плоскости 1–1. Последовательность работы в программе: группы элементов и свойства материалов, построение профиля плотины и блока основания, а также сети конечных элементов.
курсовая работа [917,0 K], добавлен 03.12.2015Основы понятия регрессионного анализа и математического моделирования. Численное решение краевых задач математической физики методом конечных разностей. Решение стандартных и оптимизационных задач, систем линейных уравнений. Метод конечных элементов.
реферат [227,1 K], добавлен 18.04.2015Главные требования к математическим моделям в САП. Применение принципа декомпозиции при математическом моделировании сложного технического объекта. Разработка приближенных моделей объектов на микроуровне. Сущность метода сеток, метода конечных элементов.
презентация [705,6 K], добавлен 09.02.2015Разработка межотраслевого баланса с увеличением конечного продукта на 10 процентов. Использование данных таблиц межотраслевых потоков и конечных продуктов. Максимальное и минимальное значения целевой функции. Особенности симплексного метода решения задач.
контрольная работа [286,5 K], добавлен 19.11.2014Использование проекционно-сеточных методов математического моделирования. Создание компьютерной программы, которая выполняет автоматическое построение триангуляционной сетки на примере прямоугольного параллелепипеда. Особенности трехмерного пространства.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 28.05.2013Сравнение элементов второго уровня для установления приоритета каждого из критериев при строительстве объекта в городе Орле. Сравнение элементов третьего уровня по критериям стоимости, площади, коммуникации. Построение итогового вектора приоритетов.
лабораторная работа [2,7 M], добавлен 11.06.2011Задачи оптимизации сложных систем и подходы к их решению. Программная реализация анализа сравнительной эффективности метода изменяющихся вероятностей и генетического алгоритма с бинарным представлением решений. Метод решения задачи символьной регрессии.
диссертация [7,0 M], добавлен 02.06.2011Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009Анализ сложных систем. Проведение экономического исследования с применением технологии компьютерного моделирования. Построение блок-схем, маршрутов потоков сообщений. Разработка модели работы автобусного маршрута. Многовариантные расчеты модели.
контрольная работа [53,3 K], добавлен 22.10.2012Построение графиков исходного ряда зависимой переменной, оценочного ряда и остатков. Изучение динамики показателей экономического развития РФ за период: январь 1994 - декабрь 1997 годов. Вычисление обратной матрицы со стандартным обозначением элементов.
контрольная работа [99,8 K], добавлен 11.09.2012Теоретические и методологические основы моделирования развития фирм с рентноориентированным управлением. Экономико-математические основы моделирования динамически сложных систем. Функция заимствования: понятие, сущность, свойства, аналитический вид.
дипломная работа [630,4 K], добавлен 04.02.2011Построение асимптотических логарифмических амплитудно- и фазочастотных характеристик. Расчет оптимального плана и экстремального значения функции цели с помощью симплекс-метода. Нахождение экстремума заданной функции с учетом системы ограничений.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 25.05.2015Оценка сложных систем. Определение цели оценивания. Понятие и виды шкал. Обработка характеристик, измеряемых в разных шкалах. Методы качественного и количественного оценивания систем. Шкала уровней качества систем с управлением. Порядковый тип шкал.
реферат [48,4 K], добавлен 23.04.2011Двумерные автономные динамические системы. Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка. Определение автономной системы дифференциальных уравнений и матрицы линеаризации системы. Фазовый портрет системы Лотки–Вольтерра.
лабораторная работа [1,1 M], добавлен 22.12.2012Определение среднего значения показателя надежности сельскохозяйственной техники и ее элементов. Нахождение коэффициента вариации. Построение графиков дифференциальных и интегральных функций закона распределения Вейбулла. Расчет критерия согласия Пирсона.
курсовая работа [843,0 K], добавлен 07.08.2013Построение эконометрической модели спроса в виде уравнений парной и множественной регрессии. Отбор факторов для построения функции потребления. Расчет коэффициентов корреляции и детерминации, проверка правильности выбранных факторов и формы связи.
контрольная работа [523,7 K], добавлен 18.08.2010Действительные и конечно-разрядные числа при работе на вычислительных машинах. Порядок накопления вычислительной погрешности алгоритма для операндов. Определение и исчисление конечных разностей. Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования.
реферат [106,1 K], добавлен 26.07.2009Суть эконометрики как научной дисциплины, ее предмет и метод. Парная и множественная регрессия в экономических исследованиях. Регрессионные модели с переменной структурой. Обобщенный метод наименьших квадратов. Анализ систем экономических уравнений.
реферат [279,2 K], добавлен 11.09.2013Характеристика массивов как совокупности объектов, состоящих из фиксированного упорядоченного числа элементов, имеющих один и тот же тип. Сущность типов индекса. Принципы циклических алгоритмов. Анализ нахождения номеров элементов с заданным свойством.
презентация [49,9 K], добавлен 29.03.2015Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора. Коммерческий расчет экспоненциально скользящей средней цены с использованием интервала сглаживания. Построение графиков фактических, расчетных и прогнозных данных.
контрольная работа [626,5 K], добавлен 28.04.2011
