При построении математических моделей динамических объектов управления по экспериментальным данным возникает задача учета априорной информации о структуре и параметрах объекта управления. При проведении экспериментов фиксируются входные и выходные переменные объекта управления, а априорная информация относится к параметрам объекта, которые связаны с этими переменными только косвенно - обычно через метод наименьших квадратов (МНК). В статье предлагается оригинальная процедура выявления экспериментов наихудшим образом влияющих на точность оценок параметров объекта.

В работе строится математическая модель физической объекта отвода тепла от стержней экспериментальной установки - модели кассеты ядерного реактора [1]. Известно, что превышение некоторого уровня мощности кассеты или теплового потока с поверхности тепловыделяющих элементов (ТВЭЛов) может привести к их разрушению (плавлению оболочек ТВЭЛ, последующему радиоактивному загрязнению контура циркуляции и установки в целом). Тепловой поток, при котором возникает перегрев ТВЭЛов принято называть критическим тепловым потоком (КТП).

Рассматриваемая в данной работе модель строится по экспериментальным данным работы [1]. Результаты этой работы представлены на рисунке 1 в виде зависимостей двух параметров, обозначенных W и Q, от третьего параметра, который в данном случае трактуется как некоторый временной масштаб времени t (или последовательность полученных данных, номер эксперимента и др.). Параметр Q в данном случае соотносится с тепловым потоком - КТП, а параметр W - с характеристикой теплоносителя - так называемым массовой скоростью. Следует отметить, что при экспериментальных исследованиях с физической моделью, регистрировалось большее количество физических параметров (включая, например, давления, балансное паросодержание и др.), влияющих на процесс теплопередачи.

Рис. 1. Исходные данные (Q(t) - тепловой поток, W(t) - массовая скорость).

В данной работе для построения модели использовалась только массовая скорость в качестве входной переменной и тепловой поток в качестве выходной переменной. Модель прогноза теплового потока на такт вперед показала меру определенности 0,91. Использованием априорной информации удалось повысить множественный коэффициент корреляции модели до 0,93, соответственно снизив ошибку прогноза.

Некоторые теоретические аспекты этого алгоритма идентификации применительно к рассматриваемой модели представлены в работах [2,3].

2. Постановка задачи

Рассмотрим алгоритм идентификации динамического стационарного объекта, учитывающего априорную информацию о параметрах объекта. Будем рассматривать динамический стационарный объект вида

,

где Q(t) - скалярный выход объекта (тепловой поток) в момент времени , W(t) - вход объекта (массовая скорость) в момент времени t, hi - постоянные (не зависящие от времени) параметры динамического объекта, a - глубина памяти по выходу, b - глубина памяти по входу.

Дополнительно об объекте (1) известно, что параметры h, принадлежат априорно известной области H, т.е.

.

Будем предполагать, что модель, соответствующая объекту (1), имеет ту же структуру

,

где есть оценки параметров объекта , и параметры модели должны удовлетворять тем же ограничениям (2), что и неизвестные параметры объекта. Для конкретной физической модели параметры структуры (3) были равны , то есть модель для прогноза теплового потока на один такт вперед имела вид

.

Ниже анализируется точность именно этой модели.

По экспериментальным данным, содержащим 565 опыта (замера), методом МНК была построена динамическая модель вида (4) с параметрами, представленными в таблице 1. Коэффициент корреляции между прогнозом теплового потока на один такт вперед и его фактическим значением для модели с параметрами из таблицы 1 равен 0,923, что соответствует среднеквадратической ошибке (СКО) прогноза 213.

Таблица 1 Параметры МНК-модели

Достаточно представительная выборка (563 опыта) и высокий множественный коэффициент корреляции (R=0,928) с высокой степенью вероятности предопределяют, что истинные параметры объекта лежат в области 3 СКО около средних МНК-оценок параметров из таблицы 1.

Целью работы является, среди всех проведенных экспериментов найти те, которые в наибольшей степени отвечают за ошибки оценок и повысить точность модели (и соответственно прогноза), используя условие (2) об априорно известной области существования параметров объекта. В качестве области H будем принимать область около МНК-оценок из таблицы 1. Границу этой области для каждого коэффициента выберем в пределах 3 СКО. Алгоритм идентификации, основанный на использовании этой информации, описан ниже.

3. Алгоритм идентификации

Первоначальные исходные данные, полученные с экспериментальной установки, имеют вид, показанный в таблице 2.

Таблица 2. Блок исходных данных

Из этой таблицы видно, что в соответствии с моделью (4) Q(t) зависит от 6 переменных, находящихся в трех строках выше. Для дальнейшей обработки эти данные в соответствии со структурой динамического объекта (1) должны быть преобразованы в вид, показанный в таблице 3. Принципиальное значение такого преобразования состоит в том, что выход объекта Q(t) в произвольной строке блока данных зависит только от переменных в этой же строке. Таким свойством не обладает блок данных в таблице 2. математический тепло идентификация динамический

Таблица 3. Блок преобразованных исходных данных

Структура блока преобразованных исходных данных позволяет использовать для получения оценок параметров модели (4) произвольный набор строк из таблицы 3. Это свойство будет использовано для перехода в пространство оценок параметров.

Выбирая случайным образом из таблицы 3 некоторый блок в m (m>6) строк, можем вычислить соответствующий ему набор оценок параметров модели (4). Количество таких наборов - число сочетаний из количества экспериментов 560 по m (m>6), то есть астрономическое число, создающее проблемы и для современных вычислительных машин. Важно отметить, что точность оценок параметров модели в каждом блоке зависит от конкретного набора экспериментов, а не от всех экспериментов вместе, как в МНК. Это позволяет оценить вклад каждого отдельного эксперимента в ошибку оценки.

Для перехода в пространство оценок параметров используется следующая процедура. Из общего блока исходных данных (таблица 3) выбирается текущий блок, содержащий m строк. Текущий блок обрабатывается с помощью метода наименьших квадратов, а результаты обработки заносятся в таблицу 4. Кроме оценок параметров, которые помещаются в столбцы 7-10, в столбцы 2-6 таблицы 4 заносятся и номера строк блока исходных данных (таблица 3), которые были использованы для их вычисления. В столбец 11 вносится ошибка оценки параметра k1, которая вычисляется следующим образом

,

где k1(i) - оценка k1 параметра модели (4) с помощью i-го текущего блока; k1mnk- оценка k1 параметра модели (4) из таблицы 1 (средняя по всем данным). Если ошибка (5) превышает заранее заданный предел (как правило, 3 СКО для данного параметра), то в 12 столбце таблицы 4 ставится 1, что свидетельствует о том, что строки из i-го текущего блока участвовали в формировании большой ошибки оценки.

Такая процедура вычислений выполняется для всех 565-m текущих блоков. В результате формируется таблица 4.

Таблица 4. Полный блок промежуточных оценок

Следующая задача будет состоять в том, чтобы разработать алгоритм, позволяющий найти, каким конкретно экспериментам в блоке данных (таблица 3) соответствуют большие ошибки оценок. В частности, для k1 меньше нуля и больше двух. Эта задача не имеет однозначного решения, поскольку в вычислении каждой оценки участвуют данные не одного, а нескольких экспериментов.

Плохим экспериментом будем называть эксперимент, при использовании которого в текущем блоке оценки сильно отличаются от номинальных (из таблицы 1). Проблема состоит в том, что в каждый текущий блок входит много строк исходных данных (экспериментов). А какой конкретно эксперимент приводит к большим ошибкам заранее не известно. Рассмотрим алгоритм, позволяющий решить эту задачу.

Рис. 2. Функция распределения “плохих” строк.

В таблице 4 последний, двенадцатый столбец Ind- индикаторный. В нем стоят только нули или единицы. Если в какой-либо строке в этом столбце стоит 1, то это означает, что оценка параметра k1 (из столбца 7 таблицы 4) отличается от номинального значения k1mnk (из таблицы 1) больше чем на 3 СКО, то есть вычислена с большой ошибкой. При этом под подозрение попадают все входящие в этот блок строки, перечисленные в столбцах 2-6 таблицы 4.

Выберем из таблицы 4 только строки, соответствующие большим ошибкам, и по номерам строк, попавших в столбцы 2-6, построим функцию частостей номеров строк, участвовавших в вычислении плохих ошибок. График этой функции показан на рис. 2.

Как видно из рис. 2, есть несколько областей, в которых резкие отклонения оценок появляются особенно часто. Первая область 32-51, вторая область - 261-268, третья область - 429-438. Именно эксперименты с этими номерами привели к грубым оценкам параметров модели. Исключение из обработки этих строк должно привести к повышению точности модели. Исключение из блока данных “плохих” строк, приводящих к локальному нарушению условия (4), позволяет построить модель, дающую меньшую ошибку прогноза.

Заключение

Рассмотрен алгоритм идентификации динамического объекта, учитывающий априорную информацию о его параметрах.

Алгоритм преобразовывал блок исходных данных в множество блоков меньшей размерности. Для каждого из этих блоков вычислялись оценки параметров объекта и запоминались номера строк, использованных для вычисления этих оценок.

Оператор, реализующий описанный алгоритм, преобразовывал матрицу исходных данных в специальную матрицу, учитывающую частоту попадания оценок в область hi, тем самым отсекая малоинформативные строки.

Множественный коэффициент корреляции для такой модели будет равен R=0,928. СКО прогноза от истинных значений с вырезанными “плохими” строками критического потока составляет 213. МНК оценки по 565 экспериментам дали СКО прогноза 211, то есть точность прогноза увеличилась на всего на 1%.

Литература

1. Безруков Ю.А., Астахов В.И., Брантов В.Г., Абрамов В.И., Тестов И.Н., Логвинов С.А., Рассохин Н.Г. Экспериментальные исследования и статистический анализ данных по кризису теплообмена в пучках стержней для реакторов ВВЭР // Теплоэнергетика. 1976. №2.

2. Чадеев В.М., Илюшин В.Б. Алгоритм идентификации динамических объектов с учетом априорной информации об объекте // Автоматика и телемеханика. 2006. №7.

3. Гусев С.С., Чадеев В.М. Алгоритм идентификации с переходом в пространство параметров // Проблемы управления. 2009. №1.

Размещено на Allbest.ru