Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая основа прикладных математических задач с экономическим содержание

Проблема обучения решению прикладных математических задач в экономике актуальна как для школьного, так и для вузовского образования, ибо на повестку дня ставится качественная подготовка специалистов во всех отраслях. Решение этой проблемы связано с установлением основы решения математических задач с экономическим содержанием. Применяемые в решении математические понятия включаются в математические методы.

Подготовка специалистов в экономике ставит проблему обучения умению применять математические знания в экономических дисциплинах, а затем в практической деятельности. Основной математический учебный материал следует сопровождать решением задач с экономическим содержанием. В этом раскрывается экономический смысл математических понятий, реализуются приложения математики в экономике. Обучение решению математических задач с экономическим содержанием является новизной. Приводится решение такой задачи [2, с. 25-28] элементарными методами и методом дифференциального уравнения; алгебраическим и геометрическим методом [1, с. 21-27], а также симплексным методом [1, с. 36-41; 4].

Решение задач способствует выработке навыков экономического анализа, которые используются на практике. В этом состоит новизна подходов к исследованию проблемы обучения решению прикладных задач.

Исследования показали, что решение задач с экономическим содержанием необходимо начинать с определения «концентрации» и «процентного содержания». Потребности развития математики, проникновение её в различные области науки, в сферы деятельности, а также прогресс вычислительной техники привели к формированию новых учебных математических дисциплин. Предметом изучения математики стали математические модели реальных явлений, процессов, объектов. Необходимый математический аппарат для изучения этих моделей реализуется математическими понятиями. Однако в качестве пропедевтики решения математических задач с экономическим содержанием полезно обучить решению задач на «концентрацию» и «процентное содержание». Особенность таких задач заключается в решении неопределённых систем уравнений, начислении простых, сложных и непрерывных процентов. В таких задачах решаются и неравенства [2, с. 17-28].

В пропедевтическом курсе предполагается обучить решению задач на выявление общей закономерности изменения величины в результате многократно повторяющейся операции. Обобщением решения являются математические модели - геометрические прогрессии. Анализ решения задач позволил сделать заключение: величина начисления от простых к сложным, а затем непрерывным процентам увеличивается. Кроме указанных задач следует обучить решению задач на вычисление среднего ежегодного прироста процентов. Если же какая-нибудь величина в процентах задаётся на интервале, то вычисление её значения осуществляется подбором.

В современной учебной литературе по математическому моделированию в экономике приводятся многочисленные примеры экономического анализа с целью лучшего использования экономических знаний для выбора математического инструментария и построения экономико-математических моделей.

Математическое образование призвано обучать умению строить модели, математические по форме, экономические по содержанию. Такая стратегия образования может быть реализована на практике при рассмотрении реальных экономических объектов в задачах.

Математические знания не только стали средством количественных расчётов, но и позволяют проводить исследования в экономике и приводят к точной формулировке понятий и проблем. Поэтому математические знания надо рассматривать как важную характеристику фундаментальной подготовки специалистов экономики. Экономическая деятельность, в свою очередь, охватывает в определённой мере все отрасли. Вычислять экономические показатели, проводить экономический анализ производства возможно средствами математики. Следовательно, экономическая наука широко использует математические идеи, теории. Математические методы стали составной частью экономической теории. Математика в единстве с экономическим анализом способствует развитию экономической науки, расширяет сферу её практического применения. Значит, целью обучения математике в профессиональных образовательных учреждениях является её применение на практике, в жизни.

Теоретические и эмпирические уровни анализа в экономике можно проводить на вероятностной основе. Это вызвало необходимость включения в школьную программу элементов теории вероятностей и статистики. На теоретическом уровне предполагается, что известны все возможные реализации интересующих экономических показателей - вся генеральная совокупность. Зная или предполагая статистические свойства генеральной совокупности, можно теоретически определить значения параметров вероятностных моделей и рассчитать по ним нужные экономические показатели. На практике неизвестно множество возможных исходов, а наблюдаются только случайно выбранные значения интересующих показателей. Располагая лишь выборочными значениями, можно лишь оценить, а не определить точно параметры моделей. Эти случайные оценки будут меняться от выборки к выборке. Поэтому важно не только знать средние оценки параметров, определённые на основе выборочных данных, но и понимать меру их надёжности и случайного разброса, обусловленного случайностью процесса формирования выборки.

Если, например, имеются сведения о доходах и расходах жителей, составляющих генеральные совокупности, то можно рассчитать различные статистические характеристики: средние доходы и расходы, показатели вариации доходов и расходов. Если же собирать сведения о доходах и расходах части жителей, составляющих выборочную совокупность, то найти истинные статистические характеристики или распределение доходов и расходов невозможно. Можно лишь оценить их величины, а также неточность оценок, обусловленных случайной природой процесса получения выборочных данных.

Таким образом, при рассмотрении экономических процессов, которые могут многократно наблюдаться, оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их природы подчиняются вероятностным закономерностям.

Итак, на повестку дня качественного образования ставится вопрос количественной оценки случайных событий - в этом состоит проблема усвоения основных положений теории вероятностей в контексте решения прикладных математических задач с экономическим содержанием.

Ниже рассматриваются математические понятия, которые являются основой решения прикладных математических задач с экономическим содержанием [3; 5].

I. Задачи, которые решаются на основе линейной алгебры с элементами аналитической геометрии

Построение математических моделей таких задач возможно в матричной форме [2; 5]. С помощью матриц и операций над ними записываются линейные зависимости в экономике. Определитель матрицы системы уравнений применяется для исследования математических моделей с экономическим содержанием. Матричное уравнение позволяет решать экономические задачи. При этом исследование системы линейных уравнений отражает изучение экономических процессов. Линейные уравнения служат математической моделью межотраслевого баланса (модель Леонтьева многоотраслевой экономики).

Математической моделью экономического процесса, приводящего к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы линейного преобразования, является линейная модель обмена или модель международной торговли.

II. Задачи, в которых используются понятия математического анализа: функция и предел

Функции являются моделями экономических понятий и процессов. Понятие функции - одно из основных в математике - выражает зависимость одних переменных величин от других. Слово «величина» в этом определении понимается в самом широком смысле: именованное число, отвлечённое число, несколько чисел и вообще элемент любого множества. Когда величина - действительное число, понятие функция определяется следующим образом. Пусть каждому числу из заданного множества поставлено в соответствие число , обозначаемое . Тогда говорят, что на множестве задана функция , . При этом употребляются следующие термины: - независимая переменная, или аргумент; - зависимая переменная, или функция; - множество значений, которые может принимать - область определения, или область задания функции (областью определения функции может быть множество всех действительных чисел, интервал, отрезок и т.д.). Выражение «поставлено в соответствие» означает, что указан определённый способ, по которому для каждого находится значение . Этот способ обозначен символом . Применяются и другие буквы для обозначения функции.

Во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается, если не оговорено противное, однозначная функция, то есть такое соответствие, при котором каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции . Если одному и тому же значению аргумента соответствует несколько (быть может, даже бесконечное множество) значений , то называется многозначной функцией аргумента .

Функции являются моделями экономических процессов. Наиболее часто используются следующие функции в экономике:

- функция полезности или предпочтений, то есть зависимости полезности (результата) некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия;

- производственная функция - выражает зависимость результата производства от обусловивших его факторов (функция выпуска продукции, функция издержек, функция спроса на товары или услуги, функция потребления или предложения на товары или услуги).

При решении задач экономического анализа могут быть использованы следующие способы задания функций.

Аналитический, при котором функция задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над переменной , чтобы найти переменную .

При аналитическом способе функция может быть задана явно, когда установлено выражение через , то есть формула имеет вид ; неявно, когда и связаны между собой уравнением вида ; параметрически, когда соответствующие друг другу значения и выражены через третью переменную величину , называемую параметром.

Описание функциональной зависимости экономического процесса возможно с помощью словесной формулировки.

Графический способ задания функции также применим в экономике. Многие экономические процессы изменения одной величины в зависимости от другой исследуются с помощью кривых. Для графического задания функции должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция описывается уравнением, а это уже аналитическое задание функции. Так, кривые безразличия полезности двух благ - и - описываются уравнением линии бюджетного ограничения где и - цены благ, - доход потребителя. График функции наглядно отражает качественное поведение функции, её свойства и поэтому является важным средством исследования функции - экономических процессов.

Задание функции таблицей применяется в случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений. В виде таблиц обычно записываются результаты экспериментального исследования экономических процессов.

На основе второго замечательного предела осуществляется непрерывное начисление процентов и используется при обосновании и выборе инвестиционных решений.

III. Прикладные математические задачи с экономическим содержанием, для решения которых применяется понятие и вычисление производной функции, её экономический смысл

Вычисление производной необходимо при нахождении производительности труда, скорости и темпа её изменения.

Для исследования экономических процессов используется понятие эластичности функции. Эластичность функции приближённо показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%. Эластичность применима при анализе спроса и потребления.

Изменение экономических показателей определяется в результате исследования функций методами дифференциального исчисления.

Приложение производной реализуется в задачах на экономическую теорию.

IV. Решение прикладных задач с экономическим содержанием на основе интегралов

Прежде всего, экономический смысл интеграла состоит в том, что если - производительность труда в момент времени , то есть объём выпускаемой продукции за промежуток .

Задачи на вычисление объёма выпускаемой продукции решаются с помощью интеграла.

Задачи на вычисление дисконтированного дохода также решаются интегрированием.

Задачи на вычисление среднего времени, затраченного на изготовление одного изделия с известным периодом освоения изделий. В основу формулы среднего времени положена теорема о среднем.

V. Задачи, основой решения которых являются дифференциальные уравнения

Задача о нахождении закона изменения численности населения с течением времени. Результат решения - математическая модель демографического процесса.

Задачи на нахождение различных законов изменения процессов. Результаты решения - функции.

Задачи, в которых дифференциальные уравнения - модели экономической динамики.

Задачи с применением функций нескольких переменных.

Функции нескольких переменных применяются при решении задач об оптимальном распределении ресурсов. Решение иллюстрируется геометрически комбинацией линий уровня функций и Это позволяет сделать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов и . Предпочтение заключается в выпуске продукции с меньшими затратами. Оптимальные значения факторов - координаты точки касания линий уровня функции выпуска и функции издержек.

Задачи нахождения частных эластичностей спроса от цены и спроса от доходов.

Задачи с экономическим содержанием решаются на основе вычисления двойных и повторных интегралов.

Исследованная математическая основа прикладных задач с экономическим содержанием позволила построить математические модели. Однако не все математические модели отражают с достаточной точностью и правдоподобностью экономические процессы. Лишь практическая экономическая деятельность подтверждает правильность математических моделей.

Литература

математический задача экономика

1. Алексенцев В.И. Математика: теория и практика оптимизации функций: монография / В.И. Алексенцев. - Тула: ИПК и ППРО ТО, 2003.

2. Алексенцев В.И. Решение математических задач с экономическим содержанием: монография / В.И. Алексенцев. - Тула: ГОУ ДПО ТО, НОО ВПО НП, 2007.

3. Замков О.О. Математические методы в экономике: Учебник / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. - М.: Дело и сервис, 2001.

4. Исследование операций в экономике / Под редакцией Н.Ш. Кремера. - М.: Юнити, 2000.

5. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер и др. - М.: Юнити, 2000.

Размещено на Allbest.ru