Математические модели в расчетах по разработке и эксплуатации нефтяных месторождений

Это могут быть законы фильтрации флюидов, закон сохранения энергии и т. п. Определив действующие физические законы, можно затем сформулировать математические уравнения, описывающие процессы в системе. С помощью этих уравнений получают модель системы. Математическая модель состоит из:

1) основных уравнений;

2) уравнений, описывающих граничные условия;

3) уравнений, описывающих начальные условия.

3.2 Составление уравнений [1--5]

Основные уравнения получают путем объединения следующих физических законов:

1) сохранения массы;

2) сохранения моментов;

3) сохранения энергии (первый закон термодинамики);

4) уравнения движения--закон Дарси;

5) уравнения состояния.

Как показано в предыдущем разделе, основные уравнения с учетом необходимых граничных и начальных условий образуют математическую модель системы. Для использования такой модели необходимо определить значения независимых параметров, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям и граничным условиям. Решать уравнения можно с помощью аналитических или численных методов. Первые не используются вследствие того, что основные уравнения нелинейны и на сегодняшний день не существует аналитических методов их решения. Для решения этих уравнений более приемлемы численные методы.

3.2.1 Порядок составления уравнений

1. Выбирается элемент системы (рис. 3.4). 2, Описываются все потоки флюидов, входящие и выходящие из элемента, за определенный промежуток времени с учетом правила знаков (рис. 3.5).

3. Количество втекающего и вытекающего флюида приравниваются к количественным изменениям массы внутри системы за это время, т. е. обеспечивается сохранение массы.

4. Переходим к пределу, когда элементарный объем стягивается к бесконечно малому размеру:



н получаем необходимое дифференциальное уравнение.

Порядок составления уравнений модели показан на рис. 3.6. Ц

3.2.2 Фильтрация однофазного флюида

Уравнение однофазной фильтрации флюида в пористой среде образуется путем объединения:

1) уравнения сохранения массы;

2) уравнения движения;

3) уравнения состояния.

Уравнение сохранения массы. Рассмотрим элемент пласта, через который 'протекает однородный флюид (рис. 3.7).

При этом для любого момента входящая масса - выходящая масса = накопленной массе,

Разделим уравнение (3.1) на Ах, Аг/, Д-г, в результате получим



Перейдя к пределу при одновременном стремлении Лх и М к нулю, получим уравнение неразрывности для одномерной системы:

Аналогично для других координат:

Для трехмерной системы

Уравнение движения. Закон Дарен описывает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента давления.

Подставляя уравнение (3.7) в (3.3), получим

Уравнение состояния. В этом уравнении необходимо выразить плотность в виде функции давлений. В большинстве пластовых систем жидкости рассматриваются как слабо сжимаемые. В таком случае уравнение состояния имеет вид



где р -- плотность при давлении р; ро -- плотность при давлении ро; С--коэффициент сжимаемости в изотермических условиях;

Уравнение (3.8) можно записать в следующем виде:

Заметим, что

Поэтому

Предполагая, что градиенты давлений малы, пренебрегаем членом (йр1<1хУ. После умножения уравнения (3.12) на --1 получим:

Разделим обе части уравнения (3.13) на плотность р, тогда будем иметь

Учтем коэффициент сжимаемости:

Зависимость р от р показана на рис. 3.8. Тогда

Когда k/м считают независимым от пространственных, координат,

Если k/м -- функция пространственных координат,

Уравнение (3.16) в общем случае называют уравнением диффузии из-за его сходства с уравнением тепловой диффузии



Дифференциальные уравнения фильтрации для других систем координат.

Виды систем для приведенных выше уравнений показаны на рис. 3.9.

3.3 Основные уравнения фильтрации многофазного флюида [2]

Уравнение фильтрации для каждой фазы составляется по такой же схеме, как и для однородных флюидов.



Нефть. Основное уравнение фильтрации нефтяной фазы выводится путем объединения уравнений неразрывности, закона Дарси и уравнения состояния (рис. 3.10). Напишем уравнение сохранения массы при одномерном течении нефтяной фазы:

Перейдя к пределу в уравнении (3.20), получим

Для радиальной системы уравнение фильтрации имеет вид

Газ. Уравнение сохранения массы для газовой фазы составляется с учетом всех возможных источников газа (рис. 3.11).

Каждый из источников газа показан на рис. 3.11 и связан * с соответствующим членом уравнения. Таким образом,

Здесь k_г/мBг; R_sнk_н/м_н, R_sвk_в/м_в -- члены уравнения, характеризующие состояние газа соответственно: свободны". растворенный в нефти, растворенный в воде.

Рис. 3.11. Схема сохранения массы газа в элементе

1 -- количество входящего газа: В свободном состоянии, растворенного в нефти, растворенного в воде, 2 -- количество выходящего газа: в свободном состоянии, растворенного в нефти; растворенного в воде, 3--изменение количества газа: в свободном состоянии, растворенного в нефти, растворенного в воде



Вода. Все уравнения для водной фазы в основном такие же, как и для нефтяной фазы. Для одномерной системы

3.3.1 Вывод уравнения фильтрации трехфазного флюида для радиальной схемы пласта

Общее уравнение нестационарной фильтрации, описывающее совместное течение нефти, газа и воды в пористой среде, можно получить, объединяя три уравнения фильтрации отдельных фаз в одно. Чтобы сделать это, следует выполнить ряд условий. Во-первых, для всех фаз справедливо следующее соотношение:

При этом предполагается, что градиенты давлений незначительны, поэтому пренебрегаем квадратами их значений:

Вывод уравнения проводится в полярной системе координат. Умножив уравнение (3.22) для нефтяной фазы на Вц и продифференцировав его, получим



Уравнение (3.25) для фильтрации газовой фазы, умноженное на Вн и разложенное способом, приведенным выше, приобретает вид:



равнение (3.27) для фильтрации воды, умноженное на Вн и разложенное способом, приведенным выше, имеет вид:

После группировки подобных членов и соответствующих преобразований имеем:

Объединяя подобные члены в (3.44) и упрощая уравнение сокращением равных членов с противоположным знаком, получаем:

Окончательно уравнение имеет вид



В этом уравнении предполагается, что подвижности флюидов неизменны по радиусу. Уравнение (3.46) представляет собой уравнение нестационарной трехфазной фильтрации нефти, газа и воды в полярной системе координат. В результате решения этого уравнения определяются значения давления на любом радиальном расстоянии в любой момент времени. Это уравнение является основным для анализа распределения давлений в многофазном потоке.

3.3.2 Вывод уравнения фильтрации многофазного флюида для одномерной схемы пласта

Приведем уравнения фильтрации каждой фазы флюида для одномерной схемы пласта. Для нефти

Можно объединить их для получения общего уравнения фильтрации. Чтобы сделать это, следует ввести некоторые дополнительные условия.

Члены, соответствующие потенциалу, определяются в следующем виде [6]:

Члены, соответствующие капиллярному давлению, определяются в следующем виде [7]:

С учетом уравнения насыщенности (3.29) уравнения (3.47)-- (3,54) можно объединить. Тогда получим:

где лн, лг, лв - переменные, зависящие от подвижностей флюидов; в₁ -- переменные, зависящие от давления, объема, температуры, и в₂--переменные, зависящие от дебитов.

Для плоского течения уравнение (3.55) преобразуется путем введения аналогичных членов по координате у.

Блок-схема решения уравнения многофазной фильтрации флюидов.

Два основных метода для решения таких уравнений подробно описываются в главе 5. Краткая схема, объясняющая порядок решения, показана на рис. 3.12.



моделирование пласт гидродинамика подземный

3.4 Многокомпонентные системы [8], [9]

В некоторых углеводородных системах между фазами происходит значительный массообмен, что усложняет и без того сложную систему, так как сохранение баланса масс должно выполняться не только для каждой фазы, но и для каждой фракции. В общем случае в пластовых системах содержится несколько видов химических соединений. Компонент этих соединений имеют различную концентрацию в различных фазах. При этом каждая фаза перемещается с различной скоростью.

Рассмотрим элемент пласта (рис. 3.13), в котором движутся три фазы, содержащие видов химических соединений. Процесс фильтрации флюидов внутри пласта происходит под воздействием процессов добычи, нагнетания н изменения давления.



В результате недостаточно учитывать баланс масс каждой фазы, а необходимо, чтобы в системе сохранялся каждый компонент.

Рассмотрим уравнение сохранения массы для одного компонента. Пусть

Снj -- доля массы j-го компонента в нефти,

Сгj --доля массы j-го компонента в газе,

Cвj -- доля массы j-го компонента в воде.

Тогда, согласно изложенному выше, можно записать:

Уравнение (3.56) описывает процесс фильтрации одного компонента, например СН₄ в одномерной системе, не содержащей источников и стоков. Системы с источниками и стоками рассмотрены ниже. В уравнении (3.56) каждый член с левой стороны отражает расход массы /-го компонента в каждой фазе, который легко получить из следующих соотношений. Полный расход массы компонента равен произведению объемной скорости фильтрации на его плотность:

Расход массы компонента =Сц]Х (полный расход массы)

Аналогично правая часть уравнения (3.56) отражает изменения содержания определенного компонента в каждой фазе:



Общее уравнение для N видов исследуемых компонентов примет следующий вид:

где индекс i соответствует фазе, а индекс j -- компоненту.

Определим число независимых переменных N-компонентной системы,

Неизвестные	Число независимых переменных
Сij	3N
pij	3
Si	3
сi	3
мi	3
ki	3
	3N+15
Причем в Сij: i = 1, 2, 3J = 1, …., N	Итого = N

Чтобы решить эту систему однозначно, следует иметь ЗЛ+15 независимых соотношений. Эти зависимости могут быть в дифференциальной или в алгебраической форме. Такие соотношения получают с помощью:

1) дифференциальных уравнений;

2) уравнения фазового равновесия;

3) данных рУТ;

4) данных об относительных проницаемостях;

5) законов сохранения;

6) данных о капиллярности. Выведем необходимые соотношения.

1. Для каждого компонента системы можно записать одно дифференциальное уравнение в частных производных, получая таким образом N соотношений.

2. Насыщенности фаз флюидов в сумме всегда дают единицу, так как поровое пространство всегда заполнено флюидами:

(это еще одно соотношение).

3. Доли массы каждого компонента, содержащегося в. каЛ-Дой фазе флюида, должны в сумме давать единицу, так как необходимо удовлетворить закон сохранения массы. Таким образом, получаем еще три соотношения:

4. По данным рУТ можно получить следующие шесть соотношений:

Однако практически плотность и вязкость флюида определяют с помощью экспериментальных корреляционных зависимостей. связывающих эти параметры с концентрациями и давлениями. Для углеводородной системы известны корреляционные зависимости Алани--Кеннеди [10] и Авасти--Кеннеди [II],

5. Данные об относительных проницаемостях позволяют получить необходимые параметры для вычисления подвижностей:

В результате получаем еще 3 соотношения.

6. Равновесие фаз: в зависимости от константы равновесия, которая может быть определена по законам термодинамики, происходит распределение компонентов между жидкой и газообразной фазами. Например:

Из формулы (3.65) видно, что отношение доли массы /-го компонента в газе к доле массы /-го компонента в нефти характеризуется постоянной величиной (константой равновесия), которая является функцией нескольких переменных:

* С помощью уравнения (3.66) можно записать 2 Л" независимых соотношений для каждого компонента системы, но сами соотношения вычисляют другим путем.

7. Значения капиллярных давлений определяются из соотношений

Перечисленные соотношения обобщаются в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Источник соотношения	Число неизвестных	Уравнение
Дифференциальные уравнения	N	(3.59)
Равновесие фаз	2N	(3.66)
Данные PVT	6	(3.62), (3.63
Относительная проницаемость	3	(3.64)
Сумма масс фракций	3	(3.61)
Сумма насыщенностей	1	(3.66)
Капиллярность	2	(3.67)
	3N+15

Таким образом, мы имеем 3 N+15 независимых неизвестных и 3N+15 независимых соотношений, которые можно использовать для решения системы.

На практике обычно принимается ряд упрощающих предположений, например:

1) пренебрегают капиллярным давлением между нефтью и газом;

2) несколько компонентов обычно группируют вместе, на-. пример, система, содержащая 7 компонентов, группируется следующим образом:

С1 компонент 1,

(С2 - С6) компонент 2,

С7 компонент 3.

В результате образуются группы, совместимые по данным РVТ, данным закона равновесия систем и др..

3). Доля массы компонентов, присутствующих в воде, настолько незначительна, что все члены Свj, приравниваются к нулю. Это указывает на то, что массоперенос компонентов происходит только в нефти и газе. Однако, уравнение сохранения масс для воды необходимо учитывать, как это описывалось в главе 2.

Источники и стоки

Основное уравнение (3.59), полученное для линейной многокомпонентной системы, не содержит членов, учитывающих действие источников и стоков. После добавления членов, соответствующих значениям дебита или расхода скважины, это уравнение примет вид:

1) Здесь qi - дебит или расход i-й фазы; бij - доля массы j-го компонента в i-й фазе, д(х) - дельта-функция Дирака, определяемая следующим образом при добыче из ячейки x или закачке в нее д(х) = 1, в противном случае д(х) = 0.

Положения этих скважин показаны на рис. 3.14. Моделирование многокомпонентных пластовых систем - наиболее сложная задача моделирования процесса разработки.

Размещено на Allbest.ru

...