Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Міністерство освіти і науки України

РЕФЕРАТ

з дисципліни «Статистика»

на тему:

Метод найменших квадратів. Сутність і застосування

ЗМІСТ

• ВСТУП
• 1. Сутність методу найменших квадратів
• 2. Застосування методу найменших квадратів
• 3. Приклад вирішення задач методом найменших квадратів
• ВИСНОВКИ
• ВИКОРИСТАНІ ДЖЕРЕЛА


ВСТУП

Економетрика - це наука, що вивчає конкретні якісні і кількісні взаємозв'язки між економічними об'єктами і їх процесів за допомогою статистики і математики, а якщо більш конкретно, то за допомогою методів цих двох наук. Крім того, економетрика активно використовується для прогнозування економічних процесів як в масштабах економіки в цілому, так і на рівні окремих підприємств [1].

Для економіста економетрика дозволяє оцінити і перевірити на реальних даних ті моделі, що виникають в мікро- та макро-економіці.

Економетрика намагається відповісти на два головних питання:

a) як влаштований світ?

b) що буде завтра?

З точки зору економетрики ці питання звучать трохи інакше, а саме:

a) як змінна х залежить від інших змінних, таких як у чи як вона впливає на них?

b) як спрогнозувати залежну змінну у?

Відповіді на ці питання ми отримуємо за допомогою моделей.

Модель - це якась формула, яка пов'язує що пояснюється змінну у і пояснює змінну х [2]. Наприклад модель:

y_i = ₁+₂x_i+_i, (1.1)

деy і x - спостережувані змінні;

1 та 2 - невідомі коефіцієнти;

- складова, яку ми не можемо передбачити.

Взаємозалежні змінні y₁, y₂…y_n називаються ендогенними. Змінні x₁, x₂…x_n називаються екзогенними. Вони являють собою вихідні дані і в системі не розраховуються.

Моделі можуть також містити лагові змінні як екзогенних, так і ендогенних змінних.

Якщо кожна з регресій системи не містить в правій частині ендогенні змінні, то така модель називається системою незалежних регресій. Для оцінки її параметрів можна застосовувати метод найменших квадратів.

Не завжди задача, що перед нами поставлена має точний розв'язок без жодної помилки. Тобто та сама наша складова є нашою так званою «помилкою», бо вона входить в значення нашої змінної невідомої y і має непередбачуваний характер. Якщо буде задача, яка не має розв'язку, то ми будемо знати, що через відхилення можна визначити найбільш відповідний розв'язок.

Відповідно до наявних даних і поставлених питань, можемо виділити певний план дій:

1) придумати адекватну модель;

2) далі потрібен метод, який по початкового набору точок дозволяв би нам отримати оцінки тих самих невідомих коефіцієнтів 1 і 2;

3) а вже потім, якщо ми хочемо прогнозувати або інтерпретувати коефіцієнти, то ми можемо прогнозую використовувати замість невідомих ₁ і ₂ використовувати їх оцінки з 2 пункту цього плану. Інтерпретувати їх можна різними способами і методами. Найпоширеніший і найпопулярніший є метод найменших квадратів [3].

1. Сутність методу найменших квадратів

Метод найменших квадратів є одним з найбільш поширених і найбільш розроблених методів математичних методів. Така популярність йому надається у зв'язку з власною простотою та продуктивністю власних способів оцінки характеристик лінійних економетричних моделей.

Цей метод також називається наближенням найменших квадратів, в статистиці, спосіб оцінки дійсного значення деякої кількості на основі розгляду помилок у спостереженнях або вимірах.

Зокрема, лінія (функція y_i = a + bx_i, де x_i,- значення, за якими вимірюється y_i, а і позначає індивідуальне спостереження), що мінімізує суму квадратних відстаней (відхилень) від лінії для кожного спостереження використовується для наближення відносин, який вважається лінійним.

Тобто, сума по всьому i з рівняння мінімізується шляхом встановлення часткових похідних суми відносно a та b, рівних 0. Метод також може бути узагальнений для використання з нелінійними співвідношеннями.

В його основі лежить мінімізація суми квадратів відхилень деяких функцій від змінних, які шукає користувач. Він може використовуватись для вирішення та розв'язку перевизначених систем рівнянь (коли кількість рівнянь більша за кількість невідомих змінних), для пошуку найкращих рішень у випадку звичайних ( не перевизначених) нелінійних систем рівнянь, для апроксимації точкових значень деякої функції, тобто для наближеного вираження точкових значень через інші відомі значення функції.

Разом з тим, при його використанні необхідне певне дотримання конкретної «розсудливості» з точки зору людини, тому що побудовані з його впровадженням моделі можуть не задовольняти цілому ряду вимог, які відносяться до якості їх характеристик і, внаслідок цього, не достатньо "добре" показувати закономірності становлення процесу.

Метод найменших квадратів є формою математичного регресійного аналізу, який знаходить лінію, яка найкраще підходить для набору даних, забезпечуючи візуальну демонстрацію співвідношення між точками даних.

Кожна точка даних представляє зв'язок між відомою незалежною змінною та невідомою залежною змінною.

Лінія найкращого підходу, визначена з методу найменших квадратів, має рівняння, яке надає нам так звану історію взаємозв'язку між точками даних [4].

Моделі комп'ютерних програм використовуються для визначення лінії рівняння найкращого підходу, а ці моделі програмного забезпечення містять резюме результатів для аналізу.

Як зазначалось раніше, нехай ми маємо модель рівняння з невідомими (1.1). Тепер, якщо ми вигадали якісь оцінки бета, то звісно вслід цьому у нас виникає таке поняття як помилка прогнозу . Різниця між у_і і його прогнозної оцінки. Виникає сумарна помилка прогнозу. Щоб помилки не компенсували один одного, одна в плюс інша в мінус, ми їх беремо в квадрат і вважаємо суму квадратів помилок прогнозу.

Тобто метод найменших квадратів говорить «візьміть в якості оцінок такі оцінки бета, при яких сума квадратів помилок прогнозу буде мінімальна». Тобто ми мінімізуємо оцінки по бета суму квадрата помилок прогнозу.

Якщо взяти фактичні дані, підставити їх в формулу суми квадратів помилок прогнозів, то ця сума квадратів помилок буде залежати тільки від оцінок бета і якщо вирішити задачу мінімізацією, тобто знайти мінімум функцій двох змінних по нашим вигаданим оцінкам ₁ і 2, вийде рішення, через яке отримаємо формулу для прогнозування.

Нехай відомо, що вихідний параметр процесу, який вивчається, позначимо його y, лінійно залежить від вхідного параметра x (рис. 1.1).

В будь-яких експериментальних вимірюваннях їх результати завжди будуть нести в собі похибки, обумовлені тим, що існує певний клас точності вимірюваних засобів, певні дії різноманітних завдань, деякі неточності зчитування показів приладів. а також через округлення під час приведення даних до однакових умов обробки інформації -- список умов виникнення похибок можна продовжити, але для обґрунтування методу найменших квадратів цього досить [5].

Рисунок 1.1 -- Графічне зображення причин, які обумовлюють необхідність використання методу найменших квадратів

Тож через наявність цих похибок в експериментальних значеннях x₁, x₂, y₁, y₂ безпосередній розв'язок системи рівнянь (1.3) відносно a та b може нести в собі похибку в 10, 100, 1000 і більше відсотків.

2. Застосування методу найменших квадратів

Одне з перших застосувань методу найменших квадратів полягало в тому, щоб вирішити суперечність, пов'язану з формою Землі. Англійський математик Ісаак Ньютон стверджував в своїх працях «Philosofiae naturalis principia mathematika» (1687), що Земля має сплюснуту форму. У 1718 році директор Паризької обсерваторії, Жак Кассіні, стверджував, на підставі своїх власних вимірювань, що Земля має виражену овальну (лимонну) форму.

Щоб владнати суперечку, в 1736 р. Академія наук Франції відправила оглядові експедиції до Еквадору та Лапландії. Проте дистанції не можна було точно виміряти, а помилки вимірювання на той час були достатньо великими, щоб створити істотну невизначеність. Було запропоновано декілька методів для встановлення лінії за допомогою цих даних, тобто для отримання функції (лінії), яка найкраще підходить для даних, що стосуються вимірюваної довжини дуги до широти.

Загалом було погоджено, що метод повинен мінімізувати відхилення у напрямку y (довжини дуги), але було доступно багато варіантів, включаючи мінімізацію найбільшого такого відхилення та мінімізацію суми їх абсолютних розмірів. найменший квадрат вимір статистика економетрика

Вимірювання, здавалося, підтримувало теорію Ньютона, але відносно великі оцінки помилок для вимірювань залишали занадто багато невизначеності для остаточного висновку, хоча це не було відразу визнано.

Насправді, хоча Ньютон був по суті правим, пізніші спостереження показали, що його прогноз щодо надмірного екваторіального діаметра перевищував на 30% [5].

Найперше опис методу найменших квадратів був здійснений німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гаусом в 1795 році. Почалося все з того, що до того часу вчені не мали точних методів для вирішення системи рівнянь, в якому кількість рівнянь було більшим за кількість невідомих. І в 1795 році вперше застосував метод найменших квадратів, зробивши важливі обчислювальні та теоретичні досягнення

Пізніше в 1805 році французький математик Лежандр незалежно відкрив і опублікував цей метод під сучасною вже назвою. Йому належали перші відомі рекомендації використовувати лінію, яка мінімізує суму квадратів її відхилень, тобто сучасний метод найменших квадратів.

Тоді вже ще один французький математик Лаплас, помітивши такий метод, зв'язав його з теорією ймовірності, а американський математик Едрейн розглянув його теоретико-ймовірні можливості цього методу у 1808 році.

В подальшому метод був удосконалено та поширено по всьому світу завдяки роботам Енке, Бесселя, Ганзена та інших тогочасних вчених-математиків.

А вже на початку ХХ ст. роботи російського вченого-математика А. А. Маркова дозволили включити метод найменших квадратів до теорії оцінки математичної статистики, в якій методу належить найважливіша роль.

Отже. чималими зусиллями робот Ю. Неймана, Ф. Девіда, А. Ейткена, М. Рао та інших було отримано чимало важливих результатів в цій області [6].

Метод найменших квадратів забезпечує загальне обґрунтування розміщення лінії найкращої відповідності серед досліджуваних точок даних. Найпоширенішим застосуванням методу найменших квадратів, що називають лінійним або звичайним, є створення прямої лінії, яка мінімізує суму квадратів помилок, породжених результатами пов'язаних рівнянь, таких як квадратні залишки, що виникають внаслідок відмінностей у спостережуваному значенні та очікуваному значенні на основі моделі.

Цей метод регресійного аналізу починається з набору точок даних, які слід відобразити. Аналітики, які використовують метод найменших квадратів, будуть шукати лінію найкращого підходу, яка пояснює потенційний зв'язок між незалежною змінною та залежною змінною. У регресійному аналізі залежні змінні позначаються на вертикальній осі Y, а незалежні змінні позначаються на горизонтальній осі Х. Ці позначення утворюють рівняння для лінії найкращого підходу, яка визначається за методом найменших квадратів.

Метод найменших квадратів може бути використаний для визначення лінії, яка найкраще відповідає будь-якому регресійному аналізу. Коефіцієнти та результати пояснюють залежність перевірених змінних.

На відміну від лінійної задачі, задача нелінійних менших квадратів не має замкнутого рішення і, як правило, вирішується ітерацією (повторюванням).

Цей метод можна застосувати не тільки у сфері математики. статистики, економетрики, а також і в пошуку по картинках, кресленнями, картами і навіть по обличчях людей.

Та й по відбиткам пальців можна тим же методом робити пошук. Пошук по картах орієнтується на природні нерівності географічних об'єктів - вигини річок, гірських хребтів, обриси берегів, лісів і полів. Ось такий чудовий і універсальний метод найменших квадратів.

Ще один цікавий приклад застосування методу найменших квадратів в аналітиці. Нехай, аналітику порібно перевірити зв'язок між доходами акцій компанії і доходами індексу, для якого запас є компонентом. У цьому прикладі аналітик буде намагатися перевірити залежність прибутковості акцій від прибутковості індексу. Для цього всі доходи він буде відображати на графіку. Індексні доходи потім позначить як незалежну змінну, а фондові доходи - як залежну зміну. Лінія найкращої відповідності надасть аналітику коефіцієнти, що пояснять рівень залежності.

3. Приклад вирішення задач методом найменших квадратів

Маємо торгівельне підприємство, яке, в свою чергу, має власну мережу, що складається з 10 магазинів. Керівництву підприємства хотілось би дізнатись, як залежить розмір річного товарообігу від торгової площі магазину. Діяльність магазинів представлена в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

Діяльність магазинів торгової мережі

Вирішимо задачу методом найменших квадратів. Нехай позначимо такі велични:

y_t - річний товарообіг t-го магазину, млн. грн.;

x_1t - торгова площа t-го магазину, тис. М².

Для визначення форми функціональної залежності між змінними y_t і x_1t будуємо діаграму розсіювання (рис. 3.1).

Рис. 3.1 - Діаграма розсіювання для прикладу 3.1

На підставі діаграми розсіювання можна зробити висновок про те, що річний товарообіг позитивно залежить від торгової площі (тобто у зростатиме зі зростанням x₁). Найбільш відповідна форма функціонального зв'язку між змінними y_t і x_1t - лінійна.

За допомогою методу найменших квадратів оцінимо параметри лінійної однофакторної економетричної моделі (3.1):

Дані, проведені в подальших розрахунках для визначення якнайбільш точного вирішення задачі представлені в таблиці 3.2

Таблиця 3.2

Подальші розрахунки

Таким чином, y = 7,8738 + 67,8871*x_1t

Отже, при збільшенні торгової площі на 1 тис. М² середньорічний товарообіг буде збільшуватись в середньому на 67,8871 млн. грн. [7].

ВИСНОВКИ

У ході написання цього реферату я вияснила, що метод найменших квадратів широко використовується в економетриці, тобто може відповісти на два головних питання цієї науки, а саме:

a) як змінна х залежить від інших змінних, таких як у чи як вона впливає на них?

b) як спрогнозувати залежну змінну у?

Метод найменших квадратів (МНК), через те, що має широку сферу свого застосування, посідає окрему ланку серед методів математичної статистики. Його головною задачею є оцінювання закономірностей, які спостерігаються в середовищі випадкових коливань, та їх використання для дальших розрахунків, зокрема, для аналізів та прогнозів на майбутнє. Він використовується для вивчення природи зв'язку між двома змінних. Цей метод також називають наближенням найменших квадратів, в статистиці, способом оцінки дійсного значення деякої кількості на основі розгляду помилок у спостереженнях або вимірах.

Основна суть методу це сума квадрату помилок, що є критерієм якості розглянутого рішення задачі, яку прагнуть звести до мінімального значення. Щоб застосувати цей математичний метод, необхідно провести якомога більше вимірювань невідомої величини (чим більше - тим буде вище точність рішення). Квадрати помилок зводяться до мінімуму, а не самі помилки, через те, щоб помилки не компенсували один одного(тобто одна може бути більше нуля, інша менше), одна в плюс інша в мінус, і вважаємо суму квадратів помилок прогнозу. Якщо зводити до мінімуму не квадрати помилок, то в підсумку сума дасть нам невірне уявлення про якість оцінки.

ВИКОРИСТАНІ ДЖЕРЕЛА

1. Костюник В.М. Економетрика: основні поняття і визначення [Електронний ресурс] / В.М. Костюник // Підручники для студентів онлайн

2. Григорук П.М. Економетричні симультативні економетричні моделі [Електронний ресурс] / П.М. Григорук // Хмельницький національний університет

3. haqreu. Математика на пальцах: методы наименьших квадратов [Електронний ресурс] / haqreu // Издательство интернет-проектов для IT-специалистов

4. StatSoft Russia. Основа линейной регрессии [Електронний ресурс] / StatSoft Russia // Портал знаний

5. Мокін Б.І. Екскурс у метод найменших квадратів [Електронний ресурс] / Б.І. Мокін, В.Б. Мокін, О.Б. Мокін // Математичні методи ідентифікації динамічних систем

6. Компанія SoftLine. Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратов [Електронний ресурс] / Компанія SoftLine // Образовательный математический сайт «exponenta.ru»

7. Метод найменших квадратів [Електронний ресурс] // Industrialnet

Размещено на allbest.ru