Математическое моделирование и оптимизация химических процессов на основе принципа максимума Понтрягина

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Математическое моделирование и оптимизация химических процессов на основе принципа максимума Понтрягина

1. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ НАЗНАЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ

При разработке любых химико-технологических процессов приходится сталкиваться с задачей выбора оптимального варианта из множества допустимых. Это связано с тем, что реальные химические и физические процессы, как правило, являются управляемыми, то есть характер их протекания может быть изменен под действием влияющих на него факторов. При этом возникает проблема поиска наилучшего по некоторому критерию оптимального управления.

Прежде чем приступать к созданию химического реактора с оптимальными конструктивными и режимными параметрами для рассматриваемого процесса, необходимо провести теоретический этап оптимизации для выяснения экстремальных свойств химического превращения. Определение теоретического оптимального температурного режима проведения реакции осуществляется с помощью принципа максимума Понтрягина на основе кинетической модели.

Решение прикладных задач усложняется тем, что возникают системы уравнений большой размерности, и трудно надеяться на аналитические результаты. В связи с этим предлагается программное средство, реализующее алгоритм численного решения задачи оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина, с использованием методов условной и безусловной минимизации и численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ

Постановка задачи

Постановка задачи оптимизации включает три основные части[1]:

1)математическая модель, в которой выделены управляющие параметры, определены исходные данные и области определения решений модели;

2) ограничения, накладываемые как на фазовые переменные, так и на свободные параметры и управления;

3) критерий оптимальности, который дает количественную характеристику при выборе предпочтительного варианта.

Математическую модель реакции будем строить на основе кинетической модели. Уравнения химической кинетики записываются следующим образом. Задается список веществ:

(2.1.1)

Задается список реакций:

(2.1.2)

где - стехиометрические коэффициенты. Далее на основании закона действующих масс определяются скорости стадий (2.1.2):

(2.1.3)

где - температура, К;

- вектор концентраций веществ (2.1.1), мольные доли.

Кинетические константы скоростей реакций , () задаются, исходя из уравнения Аррениуса:

Здесь - предэкспоненциальный множитель, ; Es - энергия активации реакций, ; R - универсальная газовая постоянная, .

Используя закон сохранения массы, составим уравнения химической кинетики и запишем их в компактном векторном виде:

(2.1.4)

где - матрица стехиометрических коэффициентов реакций,

вектор скоростей стадий, . В качестве математической модели химической реакции (2.1.2) можно принять систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (2.1.4) с начальными условиями



при этом ; - время пребывания в реакторе; - температурный профиль, который выступает в качестве управления. На управление могут быть наложены ограничения в виде неравенств:

(2.1.5)

где - нижняя и верхняя допустимые температуры соответственно, которые задаются из технологических соображений; функция предполагается кусочно-непрерывной на заданном отрезке .

Таким образом, получим следующую задачу теоретической оптимизации химической реакции: на основании математической модели (2.1.4), с учетом ограничений на температуру (2.1.5), определить оптимальный температурный режим, при котором выбранный критерий оптимальности достигает экстремальное значение. При этом, в зависимости от постановки задачи, критерии могут иметь следующий вид:

1) максимум выхода целевых продуктов (критерий терминального управления)

(2.1.6)

где - соответствующие стоимостные оценки продуктов реакции.

2) интегральный критерий (критерий в виде функционала):

(2.1.7)

где является положительной и ограниченной функцией для всех значений и T. При этом момент окончания интегрирования, то есть время пребывания в реакторе может быть как задано, так и не задано;

3) задача перехода процесса из начального в конечное состояние за минимальное время, то есть задача о быстродействии:

(2.1.8)

Формально все три критерия (2.1.6)-(2.1.8) с точностью до замены переменных эквивалентны, однако они различны по содержательной части постановки оптимальной задачи и часто имеют свою специфику и в методах решения.

Так, например, задача о быстродействии является частным случаем более общей задачи о минимизации функционала (2.1.7), когда

Формулировка принципа максимума Понтрягина

Пусть дано описание химического процесса в виде системы обыкновенных (в общем случае нелинейных ) дифференциальных уравнений

(2.2.1)

- вектор состояния процесса, рассматриваемый как функция независимой переменной ;

- вектор управления, принимающий любые значения из допустимой области его определения , которая может быть задана в виде совокупности соответствующего числа соотношений типа равенств или неравенств. Для простоты примем, что используется только одно управляющее воздействие , т. е. .

Для системы уравнений (2.2.1) могут быть заданы начальные и конечные условия соответственно:

, (2.2.2)

(2.2.3)

определяющие заданные значения всех или только некоторых переменных состояния для двух значений независимой переменной и .

Критерий оптимальности задан в виде функционала:

(2.2.4)

Подынтегральная функция является положительной и ограниченной функцией для всех значений и .

Принцип максимума [2]. Если для процесса, математическое описание которого имеет вид системы уравнений (2.2.1), известно оптимальное управление , переводящее процесс из начального состояния в конечное с минимальным значением функционала (2.2.4), то существуют такая неположительная константа и такой набор функций , удовлетворяющих системе уравнений

(2.2.6)

что функция (гамильтониан), определяющаяся выражением

, (2.2.7)

достигает своего максимального значения, тождественно равного нулю, на оптимальной траектории. Другими словами, выполняется соотношение максимума

Сформулированные условия оптимальности являются лишь необходимыми, но все же они позволяют иногда однозначно определить оптимальное управление. Действительно, если оптимальное управление существует (что часто можно заключить из некоторых физических соображений), а управление, удовлетворяющее условию принципа максимума единственно, то это единственное управление и будет оптимальным.

Вычислительный алгоритм принципа максимума

Принцип максимума Понтрягина сводит оптимизационную задачу к двухточечной краевой задаче для систем уравнений (2.2.1), (2.2.6) с граничными условиями (2.2.2), (2.2.3). Другими словами, при решении систем уравнений (2.2.1) и (2.2.6) приходится решать краевую задачу для системы уравнений с граничными условиями в начальной точке траектории и граничными условиями для конечной точки. В связи с тем, что в выражении функционала (2.2.4) пределы интегрирования могут быть заданы или нет, а также граничные условия могут задаваться неполным набором значений, возникают различные постановки задач оптимального управления. В таблице №1 приведены варианты различных постановок оптимальных задач и соответствующие им гамильтонианы и граничные условия, полученные из условий трансверсальности[2,3].

Приведем алгоритм численного решения задач оптимального управления с помощью принципа максимума[3]: 1. Численном проинтегрировать системы уравнений. Для начала процедуры нужно задать начальные значения всех без исключения неизвестных функций. Поскольку для систем уравнений (2.2.1) и (2.2.6) на любом конце траектории заданы только значений функций и при общем их числе , недостающие значений должны задаваться до некоторой степени произвольно и затем уточняться по заданным значениям функций и в конечной точке траектории. Предположим для определенности, что граничные условия оптимальной задачи заданы в виде соотношений (2.2.2), (2.2.3), т. е. решается задача с фиксированными концами траектории. В этом случае и начальные и конечные значения функций и неизвестны и для интегрирования систем уравнений (2.2.1), (2.2.6) нужно задаваться величинами при интегрировании от начальной точки траектории к конечной или значениями при обратном направлении интегрирования. Допустим, что интегрирование осуществляется в направлении от начальной точки траектории к конечной. Следовательно, для начала интегрирования используются условия (2.2.2) совместно с заданными произвольным образом значениями :

 (2.3.1)

2. После того как начальные значения для функций и заданы, становится возможным с применением любого численного метода интегрирования системы дифференциальных уравнений производить интегрирование, при этом на каждом шаге интегрирования, начиная с начального момента времени, необходимо определять оптимальное управление из условия максимума:

(2.3.2)

Максимизация в соотношении (2.3.2) может проводиться любым методом условной или безусловной минимизации в зависимости от наличия ограничений на допустимые значения управляющих воздействий u.

3. В результате находится некоторое решение системы уравнений (2.2.1), определяющее траекторию x(t), которая, вообще говоря, не проходит через заданную конечную точку (2.2.3). При этом важно установить момент прекращения численного интегрирования для принятой совокупности значений , (2.3.1), поскольку оно становится бесполезным после того, как траектория достигла минимального рассогласования с конечной точкой, заданной условиями (2.2.3), и это рассогласование начинает увеличиваться. Поэтому в процессе численного интегрирования нужен контроль за степенью приближения получаемой траектории к заданной конечной точке. а) Если момент окончания интегрирования задан, то для оценки несоответствия найденной конечной точки траектории с заданной можно применить соотношение:



б) Если же значение не определено, то в качестве оценки удаления получаемой траектории от заданной конечной точки следует использовать выражение:

где минимум ищется по значениям независимой переменной t.

В обоих случаях величина r может служить оценкой того, насколько удачно выбраны начальные значения , (2.3.1). 4. Величина r, рассматриваемая как функция , должна быть минимизирована выбором подходящей совокупности значений , т. е. необходимо решить задачу отыскания минимума

Таким образом, мы свели краевую задачу к задаче минимизации функции конечного числа переменных.

В тех случаях, когда граничные условия исходной оптимальной задачи имеют вид, отличный от приведенных выше условий (2.2.2) и (2.2.3), рассмотренная вычислительная процедура изменяется незначительно. Разница состоит лишь в том, что для начала интегрирования нужно задаваться также некоторыми переменными состояния или находить их значения из условий трансверсальности.

Построенный алгоритм носит универсальный характер, что позволяет решать задачи с различными критериями оптимальности и входными данными.

Таблица 1 Различные варианты постановки оптимальных задач

Название задачи	Описание процесса	Граничные условия для	Критерий оптимальности	Время	Функция Понтрягина
		осн. системы	сопр. системы
1. Задача о быстродействии					- не задано
2. Неполный набор граничных условий	1)				- заданы
	2)				- не задано
3. Задача для неавтономных систем		сводится к решению задачи №2

3. ИНТЕРФЕЙС ПРОГРАММЫ

Задание начальных условий и параметров задачи

Программа имеет форму «Принцип максимума», в которой задаются все граничные условия и параметры, необходимые для решения задачи (рис.1):

ь начальные и конечные условия;

ь продолжительность реакции;

ь выбор варианта: накладываются или не накладываются ограничения на температуру;

Главное меню содержит следующие пункты:

1. Файл. В этом пункте содержаться команды Открыть… параметры и Сохранить… параметры, позволяющие считывать и сохранять найденные параметры в файлы соответственно. Информация зписывается в файлы с расширением dat для построения графиков с помощью программы GRAPHER. Команда Минимизировать позволяет запустить процедуру минимизации невязки, если она не удовлетворяет заданной точности. Также содержатся команды Старт и Выход, позволяющие запустить программу и выйти из нее соответственно.

2. Параметры. Здесь задаются параметры интегрирования и минимизации функций.

3. Постановка задачи. В этом пункте выбираются различные постановки задачи и задаются критерии оптимальности.

4. О программе. Находится информация о программе и Справка.



Рис.1

Вывод результатов

Результаты вычислений выводятся в двух видах: в виде таблицы на вкладке Таблица значений (рис.1) и в виде графиков на вкладке Графики (рис.2).

По окончании вычислений на экран выводятся:

ь начальное значение невязки и минимум невязки;

ь значение критерия оптимальности.

В программе имеется ряд средств, которые могут помочь пользователю при анализе изучаемого процесса: настройка изображений (цвет, шрифт, толщина линий, размер сетки системы координат), пропорциональное изменение рисунка при изменении размеров формы, сохранение полученных результатов и рисунков.



Рис.2

Теоретическая оптимизация реакции олигомеризации -метилстирола с помощью принципа максимума

Предлагаемое программное средство использовалось при нахождении теоретического оптимального температурного режима реакции олигомеризации -метилстирола в лаборатории приготовления катализаторов ИНК РАН (г. Уфа).

Продукты реакции олигомеризации -метилстирола (линейные и циклические димеры) находят практическое применение в качестве пластификаторов, модификаторов полимеров, каучуков, в производстве синтетических масел и др. Введем следующие обозначения:

А1--метилстирол,

А2-4-метил-2,4 дифенилпентен-1 (-димер),

А3-4-метил-2,4 дифенилпентен-2 (-димер),

А4-1,1,3-триметил-3-фенилиндан (циклический димер),

А5-тримеры.

Представим данную реакцию в виде графа.



Рис. 3

Согласно закону действующих масс, кинетические уравнения, соответствующие схеме химических превращений для реакции олигомеризации -метилстирола можно выразить уравнениями:

где wj - скорость j стадии (), j=1..9 ; xi - концентрации i компонента (мольная доля), i=1..5; ks - константы скоростей стадии (), s=1..12, зависящая от температуры T по уравнению Аррениуса:

,

- предэкспоненциальный множитель, Es - энергия активации реакций (), R - универсальная газовая постоянная ().

При разработке математического описания процесса учитывается изменение числа молей N (реакционного объема) в ходе протекания химических реакций.

Уравнения материального баланса реакции олигомеризации -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора имеют вид:

(2.4.1)

с начальными условиями , , где - вес катализатора, - объем реактора, - стехиометрические коэффициенты.

Систему уравнений (1) замыкает условие нормировки по компонентам жидкой фазы:

(2.4.2)

Преобразовав уравнения (2.4.1), с учетом выражения (2.4.2), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, являющуюся математическим описанием реакции олигомеризации -метилстирола в присутствии цеолитного катализатора:

 (2.4.3)

с начальными условиями

; (2.4.5) где .

Фазовыми переменными являются переменные xi, N (концентрации веществ, относительное изменение числа молей), в то время как температура T является управляющей переменной, значение которой можно изменять по ходу реакции. Ставится задача теоретической оптимизации каталитического процесса. Определить оптимальный температурный режим, при котором выбранный критерий оптимальности достигает экстремальное значение. При этом, в зависимости от постановки задач, критерий может иметь следующий вид,:

понтрягин химический реакция кинетический

1. (задача о быстродействии);

2. (задача о максимальном выходе целевых продуктов реакции);

3. (задача о максимальном выходе линейных димеров при минимальном выходе циклического димера);

4. (задача о максимальном выходе целевых продуктов при минимальном выходе побочных продуктов (циклических димеров и тримеров);

5. (задача о максимальном выходе i-го продукта) и другие критерии.

Область допустимых управлений может быть задана в виде совокупности типа равенств или неравенств. Исходя из технологических соображений, на выбор оптимального значения температуры наложены ограничения:

Задача решается с использованием принципа максимума Понтрягина. Согласно общей процедуре использования принципа максимума оптимальная температура в каждом сечении реактора находится из условия максимума для функции H.

где . Здесь функции удовлетворяют системе сопряженных уравнений:

Из условий трансверсальности для функций будут заданы граничные значения при :

Начальные концентрации компонентов реакции при начальном реакционном объеме принимают значения: . На температуру наложены ограничения: Продолжительность реакции при 10% содержании цеолитного катализатора - 3ч.

Рассмотрим полученные зависимости оптимальной температуры и концентраций продуктов от времени продолжительности реакции, соответствующих найденному оптимальному температурному режиму при различных критериях оптимизации.

1. Задача о быстродействии: (рис.3, 4).

2. (рис.5,6).

3. (рис. 7,8).

4. (рис.9,10).

Рис. 4 Оптимальные концентрации реагентов. Оптимальный температурный режим



Рис.5 Оптимальные концентрации реагентов. Оптимальный температурный режим

Рис. 6 Оптимальные концентрации реагентов. Оптимальный температурный режим



Рис. 7 Оптимальные концентрации реагентов. Оптимальный температурный режим

4. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА

Программа разработана на языке Objekt Pascal в среде Borland Delphi 7.0 и представляет собой компилированный exe-файл для работы по ОС Windows XP.

5. УСЛОВИЯ ПЕРЕДАЧИ ПРОГРАММНОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ ИЛИ ЕЕ ПРОДАЖИ

Программная документация распространяется свободно, сама программа на договорных условиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моделирование и оптимизация химико-технологических процессов:Учеб. Пособие/ Быков В.И., Журавлев В.М. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002, 298 с.

2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961, 392 с.

3. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия, 1975, 576с.

Размещено на Allbest.ru

...