Численный анализ стационарных и не стационарных математических моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ФГБОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Институт интегрированных форм обучения

Кафедра «Вычислительная графика и компьютерная техника»

Курсовая работа

Численный анализ стационарных и не стационарных математических моделей

Исполнитель

студент М.С. Башкова

Шифр: КТ16-ИВТ(БТ)-046

Руководитель В.А. Рукавишников

Хабаровск 2018



Введение

Модель в широком смысле- любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т.п. какого-либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование- это исследование какого-либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов. На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных предметные модели.

В данной работе рассматривается решения задач по решению уравнения теплопроводности стрежня, волнового уравнения и написания модели описывающих нахождения решения по заданным условиям на языке C#



Численные методы решения краевых задач

Задание 1. Решить задачу теплопроводности стержня

Метод конечных разностей

Задача решается методом конечных разностейна равномерной сетке. Для этого разобьем всю длину на N-1 равных промежутков, т.е. построим конечно-разностную сетку.

Определим значение температуры в i-ом узле в момент времени

численный решение задача модель

Здесь шаг интегрирования по временной координат, n- номер шага по времени.

Далее заменим дифференциальные операторы на их конечно-разностные аналоги, используя явную схему.

Поскольку мы будем использовать явную разностную схему, то никакой системы уравнений для решать не требуется.

Но чтобы решение конечно-разностной задачи сходилось к решению дифференциальной задачи, достаточно выполнения следующего условия устойчивости разностной схемы:

Из этого условия определяется шаг интегрирования по временной координате.

Условие на левой границе:

Условие на правой границе:

Начальное условие:



Скриншот работы программы

Задание 2. Решить уравнение на отрезке [0,2]

Решить краевую задачу методом конечных элементов на отрезке [0,2]

Шаг сетки:h=

Граничные условия: u(0) = 1;u(2)=0;

Построение матрицы

Имеем задачу вида:

гдеp(x)=1;q(x)=1; f(x)=cos(?x).

Введем сетку Обозначим через приближенные значения u(x) в узлах сетки. Рассмотрим уравнение во внутренних узлах и заменим производную второго порядка разностной формулой

Тогда получим для определения систему линейных уравнений

Система при p(x)?0 имеет решение. Система представляет собой систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей

И для ее решения применим метод прогонки

Прямой ход прогонки

Запишем первое уравнение в виде

Подставив эти формулы во второе уравнение матрицы и упростив выражение, увидим что можно для получить формулы



Из уравнения и учитывая i= N-2 получим

Обратный ход прогонки

После вычисления прогоночных коэффициентов можно найти значения решения задачи используя формулу

Скриншот работы программы



Заключение

В данной работе были рассмотрены построения моделей решения краевых задач используя численные методы. Подробно разобраны принцип построения решения для нахождения решения.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Построение математической модели- это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели- это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.



Список используемой литературы

1 Волков Е.А. Численые методы. Учебное пособие для вузов 2-е издание испр. М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит. 1987.-248с.

2 Краснощёков П.С., Петров А. А. Принципы построения моделей. 2-е издание, пересмотренное и дополненное. М: Фазис; ВЦ РАН, 2000.412с

3 Самарский А. А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. 2-е издание, испр.М: Физматлит, 2001.



Приложение А

Листинг программы решения уравнения теплопроводности

usingSystem;

usingSystem.Collections.Generic;

usingSystem.Linq;

usingSystem.Text;

usingSystem.Threading.Tasks;

namespace MathMod_Lab1

{

publicclassThermal

{

int N;

float[] U;

float[] U0;

floatLb = 45.5f;

float c = 460.0f;

float Ro = 7200.0f;

// float T0 = 0.0f;

float q = 150;

float Sig = 100.0f;

float Al;

floatdt = 0.01f;

float Lx = 3.0f;

float Time = 80.0f;

floatdX;

float dX2;

public Thermal(intCountOfKnot)

{

N = CountOfKnot;

U = newfloat[N];

U0 = newfloat[N];

Al = Lb / (c * Ro);

dX = Lx / (N - 1);

dX2 = 1.0f / (dX * dX);

}

publicvoid RUN()

{

Initialization();

CalculationT();

Print();

}

voidInitialization()

{

//задание нулевого слоя сетки по известным данным

float Xi;

for(int i=0;i<N;i++)

{

Xi = dX * i;

U0[i] = 10;

U[i] = 0.0f;

}

}

voidCalculationX(float t)

{

float DU;

for(int i=1;i<N-1;i++)

{

DU = (U[i - 1] - 2.0f * U0[i] + U0[i + 1]) * dX2;

U[i] = U0[i] + Al * dt * DU;

}

U[0] = (0.0f*dX+U[1])/(Lb*Sig);

U[N-1] = q * (float)(Math.Pow(t / Time, 3));

//перепрыгиваемнаслой

for (int i = 0; i < N; i++)

U0[i] = U[i];

}

voidCalculationT()

{

float t;

intNt = (int)(Time / dt + 1);

for(int i=1; i<Nt;i++)

{

t = dt * i;

CalculationX(t);

}

}

void Print()

{

for(int i=0;i<N;i++)

{

Console.Write("Xi[{0}] = {1} \t U[{0}]= {2}", i, i * dX, U[i]);

}

Console.ReadKey();

}

}

}



Приложение Б

Решение уравнения на отрезке [0,2]

usingSystem;

usingSystem.Collections.Generic;

usingSystem.Linq;

usingSystem.Text;

usingSystem.Threading.Tasks;

namespace MathMod_Lab2

{

publicclassWaveDiff

{

double[] u; // Точки

double[] x; // Значения

int N; // Число точек

double h;// шаг

double y0, y1;// граничные значения

double x0 = 1;

double[] A, B, F;

publicWaveDiff(int from, int to, double step)

{

//Выделение памяти и задание базовых значений.

N =(int) ((to - from) / step)+1;

h = step;

y0 = from;

y1 = to;

u = newdouble[N + 1];

x = newdouble[N + 1];

A = newdouble[N + 1];

B = newdouble[N + 1];

F = newdouble[N + 1];

u[0] = 1;

for (int i=0;i<N;i++)

{

x[i] = i * h;

}

Calculation();

}

doublepx(double x)

{

return -Math.Cos(Math.PI * x);

}

void Calculation()

{

for(int i=0;i<N;i++)

{

F[i] = px(x[i]);

}

ProGoing();

Print();

}

voidProGoing()

{

// инициализация коэффициентов прогонки

double[] Alpha = newdouble[N + 1];

double[] Betta = newdouble[N + 1];

Alpha[0] = 1 / (2 + h * h); //alpha

F[0] = px(x[0]);

Betta[0] = (x0 - h * h * F[0])/(2+h*h); //betta

Alpha[N - 1] = 0;

Betta[N - 1] = (Betta[N - 2] - h * h * F[N - 1]) / (2 + h * h - Alpha[N - 2]);

// Методпрогонки

for (int i = 1; i < N - 1; i++)

{

Alpha[i] = 1 / (2 + h * h - Alpha[i - 1]);

Betta[i] = (Betta[i - 1] - (h * h * F[i]))/(2+h*h-Alpha[i-1]);

}

u[N-1] = (Betta[N] + Alpha[N] * Betta[N - 1]) / (1 - Alpha[N] * Alpha[N - 2]);

// обратный

for(int i=N-2;i>0;i--)

{

u[i] = Alpha[i] * u[i + 1] + Betta[i];

}

}

void Print()

{

for(int i=0;i<N;i++)

{

Console.WriteLine("X[{0}]= {1} \t Y[{0}] = {2} ", i, x[i], u[i]);

}

Console.ReadKey();

}

}

}

Размещено на Allbest.ru

...