Методы решения задач оптимизации надежности региональных структур социально-экономических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы решения задач оптимизации надежности региональных структур социально-экономических систем

Введение

надежность социальный экономический затрата

При решении задач, связанных с управлением региональными структурами социально-экономических системам особое место отводится мониторингу и анализу текущего состояния в течение определенного промежутка времени позволяет, что дает возможность определить динамику поведения этой системы, надежность используемых элементов, а также спрогнозировать продолжительность работоспособного состояния системы.

По причине сильного влияния надежности социально-экономической системы на ее работоспособность требуется оптимизировать данный показатель, опираясь на предварительный анализ ряда методов решения поставленной задачи, которые, в случае их комплексного применения, могут способствовать достижению установленной цели.

1.Постановка задач оптимизации надежности сложных систем

Проектирование региональной структуры социально-экономической системы, имеющей сложную структуру, а также решение задач, связанных с оптимизацией ее надежности является достаточно трудоемким процессом, поскольку они сопровождаются высокой вычислительной сложностью при определении значений надежности, что необходимо при нахождении оптимальных вариантов ресурсных затрат в случае соблюдения определенных значений.

По причине широкого применения сложных систем управления, а также высокой вероятности их функционирования в условиях отказа отдельных подсистем, показатели надежности, характерные для последовательных систем, даже использующих оптимальное резервирование, зачастую неприемлемы на практике. Чтобы повысить надежность региональной социально-экономической системы при возможной ограниченности ресурсов, целесообразно воспользоваться способом резервирования на уровне подсистем и резервных элементов обособленных подсистем [1].

В системе, состоящей из n подсистем, для каждой j-я подсистемы, независимо от остальных, возможно либо работоспособное состояние, выраженное булевой переменной , либо состояние отказа (). В данном случае описание множества G возможных состояний системы возможно с помощью n-мерного вектора. Каждому состоянию системы s, входящему в множество Q, соответствует показатель условной вероятности работы системы в этом состоянии, который измеряется в пределах .

Чтобы построить различные варианты j-ой подсистемы, необходимо использовать элементы одного или нескольких типов, имеющие различные технико-экономические характеристики, но идентичное функциональное назначение. Здесь является множеством элементов разного типа j-й подсистемы, - множеством типов элементов. Для каждого элемента существует собственная надежность, показатель ресурса, а также кратность резервирования , . В случаезначения и зависят от элементного состава варианта, способа соединения элементов кратности резервирования и числа типов элементов.

При использовании социально-экономической системы, имеющей сложную (непоследовательную) структуру, задачу оптимизации надежности можно сформулировать следующим образом максимизировать

(1.1)

при ограничениях

, (1.2)

,(1.3)

. (1.4)

Суммирование по формуле (1.1) берется по всем состояниям , при которых . Формулы (1.1) - (1.4) относятся к достаточно общим, их можно использовать при оптимизации надежности множества технических систем. Трудности, которые возникают при решении задач (1.1) - (1.4), возникают по причине несепарабельности функции надежности , дискретности переменных и т.п. [2, 3].

При предположениях на показатели , с учетом того, что для любого состояния системы, в состав которой входят существенные компоненты, справедливо , где , , функция - монотонная по переменным , [4]. Благодаря этому свойству функции представляется возможным использование методов дискретной оптимизации при решении задачи (1.1) - (1.4).

2.Градиентный алгоритм решения задачи оптимизации надежности систем со сложной структурой с одним ограничением

При оптимизации надежности проектируемых систем ограничивающий ресурс может быть только один, а значит, для такой задачи можно использовать градиентные алгоритмы, являющиеся простыми в вычислении и легко реализуемыми на персональном компьютере.

Если в состав одной сложной системы входит n подсистем, то резервировать подсистемы j, можно несколькими способами, множество которых обозначим как , . Количество вариантов множества , может быть счетно по причине использования резервирования. У каждого -го варианта j-й подсистемы имеется надежность и стоимость . Можно сделать предположение, что все варианты во множестве являются упорядоченными согласно возрастанию значений надежности .

Вариант , обладающий большей стоимостью, но большей надежностью, может являться целесообразным в том случае, если выполняется условие

при .(2.1)

При определенных условиях для целесообразных вариантов, когда, например, они получаются из некоторого исходно варианта путем резервирования, функция является строго выпуклой по g.

Если для множества целесообразных вариантов характерно, что для некоторых и выполняется условие

,

где , т.е. функция обладает локальными прогибами вниз, то, чтобы провести практические расчеты, можно исключить из рассмотрения промежуточные варианты , и тогда функция предстает выпуклым многогранником, натянутым сверху на множество точек (рис. 5.3). Функцию надежности на варианте проектируемой системы можно определить по формуле

.

У процесса оптимизации сложной системы имеются две двойственные задачи [5]. У прямой задачи следующий вид

максимизировать

(2.2)

при ограничении

,(2.3)

.(2.4)

Здесь b - ресурс по стоимости на проектируемую систему, V - множество возможных вариантов реализации системы.

Обратную задачу можно сформулировать следующим образом:

минимизировать

(2.5)

при ограничении

,(2.6)

.(2.7)

Здесь - некоторое, задаваемое, пороговое значение показателя надежности системы.

Задачи (2.2) - (2.4) и (2.5) - (2.7) являются задачами дискретного программирования, имеющие сепарабельные или монотонные ограничения. Чтобы их решить, целесообразным является использование метода наискорейшего спуска.

Рассмотрим схему построения варианта решения прямой задачи оптимизации надежности (2.2) - (2.4). Пусть - вариант системы, имеющий минимальный показатель надежности и минимальное значение стоимости системы

.

Чтобы определить подсистему, повышение надежности которой было бы наиболее целесообразным с точки зрения максимизации надежности системы в целом, необходимо вычислить величины

 , ,

где и - значения надежности и стоимости системы на первом этапе построения варианта решения при условии замены варианта в на вариант с целью повышения надежности.

Затем необходимо определить номер подсистемы k, для которой

.

По причине замены варианта -й подсистемы на получаем, что ,.

Чтобы продолжить процесс, нужно определить

, ,

и т.д.

На шаге процесса вычислений получаем следующий вариант структуры системы

,

Имеющий стоимость

и надежность . Здесь - индекс порядкового номера варианта j-й подсистемы на шаге , при этом , поскольку на всех этапах процесса вычислений номер варианта подсистемы изменяется на единицу.

Вычисление значений на шаге не представляет трудностей в случае применения выражений (2.2) и (2.3):

.(2.8)

Посредством выражения (2.8) определяются значения в общем случае. В случае с высоконадежными системами, когда каждая надежность подсистем удовлетворяет условиям

, ,

критерий (2.2) можно заменить приближенными формулами для вычисления надежности

(2.9)

или

.(2.10)

В таком случае в формуле (2.8) выражение

(2.11)

и вычисление получит значительное упрощение. На первом этапе величины определяют следующим образом:

.

Пусть . Тогда возможна замена варианта в -й подсистеме на .

На втором этапе величину определяют посредством следующим образом:

и т.д.

Для критерия (2.10) легко получить выражение, аналогичное (2.11).

При проведении вычислений целесообразным является использование таблицы, которую формирует инженер-проектировщик, и которая содержит упорядоченные по возрастанию значения надежности, варианты реализаций подсистем и их значения показателей надежности и стоимости [6]. Вариант является исходным и выступает в роли основы для дальнейших вычислений.

Градиентный алгоритм решения прямой задачи оптимизации надежности включает в себя несколько шагов.

Первый шаг заключается в составлении таблицы, содержащей информацию о вариантах подсистем, а также их надежности и стоимости. Формируется вариант реализации системы. Прекращение вычислений производится, если , поскольку в таком случае у задачи (2.2) - (2.4) нет решения. Иначе полагаем и переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Вычисляем

, .

Шаг 2. Определяем

Производится замена текущего варианта j-й подсистемы на . Полученный вариант системы можно обозначить следующим образом

.

Если при вычислении надежности и массы , то вариант является приближенным решением задачи; если , решением является вариант , после чего вычисления заканчиваются.

Если, полагаем и возвращаемся к первому шагу.

При реализации алгоритма значения исходных данных и требуемая точность в вычислении надежности системы являются определяющими факторами при выборе способа вычисления , что определяется работником и зависит от поставленных задач.

Заключение

По причине широкого спектра применения систем управления, имеющих сложную структуру, а также высокой вероятности их функционирования в случае отказа отдельных подсистем, показатели надежности подобных систем можно назвать неприемлемыми для их практического использования. С помощью рассмотренных математических моделей, методов и алгоритмов решения задач оптимизации надежности региональной социально-экономической системы, имеющей сложную структуру (в частности, градиентного алгоритма для системы с одним ограничением), несмотря на их вычислительную сложность, возможно нахождение оптимальных вариантов ресурсных затрат в случае соблюдения требуемых значений.

Список литературы

надежность социальный экономический затрата

1. Еременко В.Т. Математическое моделирование процессов информационного обмена в распределенных управляющих системах. [Текст]: Монография / Под общей редакций Константинова И.С. - М.: Машиностроение - 1, 2004. - 224 с.

2. Bodin L.D. Optimization procedures for the analysis of coherent structures // IEEE Trans. on Reliab.-1969.-R-18, №3.-P. 118-126.

3. Ушаков И.А. Приближенный алгоритм для построения оптимально надежных систем с произвольной структурой // Изв. АНСССР. Техн. кибернет. - 1965. - №2. - С. 20-24.

4. Gopal K., Aggarwal K.K., Gupta J.S. An improved algorithm for reliability optimization // Jbid. - 1978. - R-27, №5. - p. 325-328.

5. Рытов М.Ю., Метод оптимизации дополнительных технических возможностей алгоритмов обработки информации в среде портала органов исполнительной власти. / М.Ю. Рытов // Информационные системы и технологии. - 2016, № 4. - С. 94-103.

6. Еременко В. Т. Методологические предпосылки разработки теории обработки информации в коммуникационной среде информационного портала органов исполнительной власти. / В. Т. Еременко, М. Ю. Рытов // Информация и безопасность. - 2016. - Т.19 - Вып. 4. - С. 493 -499.

Размещено на Allbest.ru