Эконометрические модели оценивания и прогнозирования волатильности индекса РТС

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

KPMG, НФ ГУ-ВШЭ, Нижний Новгород

Эконометрические модели оценивания и прогнозирования волатильности индекса РТС

Силаева В.А.

Силаев А.М.

Введение

Задачи оценивания и прогнозирования волатильности представляют значительный интерес в различных приложениях экономики и финансов. Исследования моделей определения волатильности актуальны в связи с нестабильной ситуацией на мировых финансовых рынках. Показатели волатильности доходности финансовых активов могут использоваться для измерения риска и своевременной идентификации кризисов на финансовых рынках.

Волатильность - это статистический показатель, характеризующий тенденцию рыночной цены или дохода изменяться во времени. На цены активов влияет большое количество факторов: новости, макроэкономические данные, отчеты компаний об итогах их деятельности, оценки стоимости компаний от ведущих инвестиционных фирм. Частота появления таких факторов различна. Это приводит к изменчивости доходностей активов и характеристик изменчивости доходности - волатильности. Поскольку этот показатель непосредственно не наблюдается, требуется провести оценку волатильности по наблюдаемым данным.

Исследования и работы многих ученых выявили, что финансовые временные ряды обладают специфическими особенностями, учесть которые способны лишь определенные эконометрические модели. В последние десятилетия стандартным инструментом оценивания изменяющейся волатильности стали эконометрические модели условной гетероскедастичности (ARCH, autoregressive conditional heteroscedasticity) [1], обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH, generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) [2] и различные их модификации. Процедура оценки параметров моделей GARCH использует метод максимального правдоподобия и реализована во многих прикладных пакетах статистической обработки данных [3-5].

В работе исследованы статистические характеристики дневной доходности индекса РТС и построены эконометрические модели дневной доходности индекса РТС для моделей семейства GARCH.

1. Наблюдаемые данные

На рис. 1 представлены графики индексов Nikkei 225, FTSE 100 Index, S&P 500 и индекса РТС с 1 сентября 1995 г. по 20 ноября 2009 г., построенные по суточным ценам закрытия. На рис. 2 приведены графики тех же индексов в логарифмическом масштабе. Можно констатировать, что имеется статистические зависимости между значениями отдельных индексов, а также нестационарное поведение индексов во времени.

Более регулярное движение демонстрируют показатели суточной доходности . На рис. 3 и 4 представлены график суточной доходности и гистограмма доходности индекса РТС. Как видно, ряд доходности индекса РТС обладают всеми характерными особенностями финансовых временных рядов - кластеризацией волатильности, негауссовостью, т.е. островершинными плотностями вероятности доходностей [4, 6, 7]. Видно также, что в периоды спада волатильность увеличивается, а в периоды роста уменьшается (леверидж-эффект).

На рис. 5 и 6 приведены автокорреляционные функции доходности и квадратов доходности индекса РТС, полученные по всем историческим данным по 20 ноября 2009 г.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Значимо отличается от нуля оценка автокорреляции доходности индекса в соседние периоды , но при лагах больших 1 значения доходности имеют коэффициенты корреляции близкие к нулю. В то же время корреляционная зависимость квадратов доходности значительна даже при задержках равных 350, т.е. сохраняется статистические связи на интервалах даже больших 1 года (за год на бирже примерно 250 торговых дней).

2. Эконометрические модели для ряда доходностей индекса РТС

Эконометрический анализ финансовых временных рядов проводился с помощью программной среды МАТLAB с использованием пакета прикладных программ Econometrics Toolbox. Спецификация моделей в пакете Econometrics Toolbox имеет вид [5]

, (1)

где - исследуемый наблюдаемый временной ряд доходностей, - ненормированные инновации, , - ряды возможных регрессоров; , - оцениваемые параметры и порядок моделей.

В моделях GARCH(P,Q) уравнение для условной дисперсии имеет вид

, (2)

с ограничениями , , , . Здесь параметрами являются коэффициенты ,.

В семействе моделей GJR(P,Q), названном по имени Глостена, Джаганатана и Рюнкле [8], уравнение для условной дисперсии имеет вид

, (3)

где , если , и в противоположном случае, с ограничениями

, , , ,

Данная модель также часто называется TARCH(P,Q) моделью (threshold ARCH) [9]. Параметрами являются коэффициенты ,.

В моделях EGARCH (P,Q) уравнение для условной дисперсии имеет вид

, (4)

где введены стандартизованные (с единичной дисперсией) инновации , причем для нормального распределения стандартизованных инноваций. Параметрами модели являются коэффициенты . Ограничения на параметры модели связано с тем, чтобы все корни характеристического уравнения

были внутри окружности единичного радиуса.

3. Результаты моделирования без учета регрессоров

Подбор параметров для эконометрических моделей доходности индекса РТС проводился методом максимального правдоподобия отдельно для классов моделей GARCH, GJR и EGARCH в предположении, что процесс инноваций распределен нормально. Критериями для выбора порядков моделей являлись значения логарифма функции правдоподобия (LL), значения информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (BIC) - чем меньше значения информационных критериев, тем лучше модель. При этом наилучшие результаты демонстрируют модели c параметрами , . Результаты оценок параметров сведены в таблицу 1, в скобках даны значения среднеквадратичных ошибок оцениваемых коэффициентов.

Таблица 1

Графики автокорреляционных функций стандартизованных инноваций и их квадратов для всех моделей примерно одинаковы и представлены на рис. 7, 8. Другие графики для всех моделей также однотипны. Например, на рис. 9 приведена гистограмма процесса . Графики оценок волатильности доходности индекса РТС для модели AR(1)-EGARCH(1,1) показаны на рис. 10, 11. Прогнозные значения однодневной волатильности на 50 следующих периодов приведены на рис. 12. Можно отметить, что показатель волатильности дает количественную оценку неопределенности будущих значений индекса. Как видно из рис. 11, волатильность однодневной доходности индекса РТС увеличилась в связи с финансовым кризисом осенью 2008 г. максимально до 9%, затем медленно в течение года снижалась, и в ноябре 2009 г. оценивается на уровне 2,5%, причем прогнозируется небольшое увеличение волатильности в ближайшие месяцы.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

волатильность эконометрический модель доходность индекс

4. Результаты моделирования с учетом регрессоров

Индекс РТС отражает макроэкономическую ситуацию в России и связан с мировыми фондовыми индексами. Эта связь прослеживается на рис. 1, 2, на которых показаны графики индекса РТС, а также индексов Nikkei 225 биржи в Токио, FTSE 100 биржи в Лондоне и S&P 500 Нью-Йоркской фондовой биржи. Для проверки линейной зависимости была вычислена нормированная взаимные корреляционные функции доходностей индексов. Результаты приведены на рис. 13-15.

Можно отметить, что доходность индекса РТС коррелирована с коэффициентом корреляции с доходностью индекса S&P 500 для одного и того же торгового дня, а также с коэффициентом корреляции с доходностью индекса S&P 500 для предыдущего дня. Это можно объяснить, учитывая, что часовые пояса Москвы и Нью-Йорка отстоят на 8 часов. В один календарный день сначала в Москве закрывается биржа, при этом игроки ориентируются на цены закрытия предыдущего дня Нью-Йоркской фондовой биржи, а затем через несколько часов закрывается биржа в Нью-Йорке. В результате новости одного торгового дня создают соответствующие корреляции доходностей индексов. Аналогично доходность индекса РТС коррелированна с коэффициентом корреляции с доходностью индекса Nikkei 225 того же торгового дня, а также с коэффициентом корреляции с доходностью индекса Nikkei 225 следующего дня, т.к. биржа в Токио закрывается раньше, чем в Москве. Наконец, с индексом FTSE 100 Лондонской биржи для одного календарного дня индекс РТС коррелирован с коэффициентом корреляции .

Включим в эконометрическую модель доходности индекса РТС отдельными регрессорами ряды доходности индекса S&P 500 предыдущего дня и индексов Nikkei 225 и FTSE 100 того же торгового дня. Результаты оценок параметров методом максимального правдоподобия для различных моделей в предположении, что процесс инноваций распределен нормально, приведены ниже.

1). Модель ARMAX(0,1,3)-GARCH(1,1):

LL = 7340,414 ; AIC = -14664,8279 ; BIC = -14616,420.

2). Модель ARMAX(0,1,3)-GARCH(1,1):

LL = 7341,434;

AIC = -14664,8682;

BIC = -14610,409.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

3) Модель ARMAX(0,0,3)-GARCH(2,2):

LL = 7347,389 ; AIC = -14672,7778 ; BIC = -14606,217.

Графики оценок волатильности доходности индекса РТС для модели ARMAX(0,0,3)-GARCH(2,2) показаны на рис. 16, 17. Прогнозные значения однодневной волатильности на 50 следующих периодов приведены на рис. 18. Сравнивая данные результаты с рис. 10-12, можно отметить, что учет в качестве регрессоров доходностей мировых финансовых индексов несколько снижает оценку волатильности доходности индекса РТС. Но в целом прогноз на некоторое увеличение волатильности в конце 2009 г. сохраняется.

Заключение

В работе построены эконометрические модели дневной доходности индекса РТС для моделей семейства GARCH. Получены оценки изменяющейся условной волатильности на интервале наблюдения и найдены прогнозные значения волатильности. Построены эконометрические модели зависимости дневной доходности индекса РТС от доходности индексов S&P 500, Nikkei 225, FTSE 100. В качестве регрессоров в уравнении для доходности индекса РТС могут использоваться доходности и других мировых индексов, курсы валют, а также доходности различных финансовых активов.

Список литературы

1. Engle R. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50. Pp. 987-1008.

2. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V. 31. No. 3. Pp. 307 - 327.

3. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series. - Cambridge University Press, 2nd ed., 2005.

4. Brooks C. Introductory Econometrics for Finance. - Cambridge University Press, 2nd ed., 2008.

5. Econometrics Toolbox User's Guide. 2009. The MathWorks, Inc.

6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. - М.: «ФАЗИС», 1998.

7. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. - М.: «Анкил», 2006.

8. Glonsten L., Jagannathan R., Runkle D. Relationship between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks // J. Finance. 1993. V. 48. Pp. 1779-1802.

9. Zakoian J. Threshold heteroscedastic models // Unpublished paper: CREST, INSEE, 1990.

Размещено на allbest.ru