Моделирование изменения технологий и потребительских предпочтений

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУВПО Санкт-Петербургский государственный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЙ И ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Матвеенко Андрей Владимирович

Полякова Екатерина Владимировна

Санкт-Петербург, Россия

Аннотация

Джонс (Jones, 2005) показал, что производственная функция представляется как решение задачи оптимального выбора "локальной" технологии из технологического меню. Мы представляем сходным образом функцию полезности, зависящую от характеристик благ, как результат выбора "взгляда на жизнь" из существующих в обществе. Мы изучаем вероятностные модели изменения множеств выбора.

Ключевые слова: производственная функция, технологическое меню, функция полезности, характеристики благ, задача потребителя, вероятностные распределения.

Jones (2005) has shown that production function can be presented as a solution to the problem of optimal choice of a "local" technology from a technological menu. Similarly, we represent a utility function on the characteristics of goods as a result of a choice of a "view on life." We study probability models of a change of the choice sets.

Key words: production function, technological menu, utility function, characteristics of goods, consumer's problem, probability distributions.

В последние годы стала актуальной задача построения теоретико-вероятностных моделей изменения производственной функции (например, [2], [4], [6]). В настоящей работе развивается этот подход к производственным функциям и показывается возможность его применения к моделированию изменения функций полезности. Точнее говоря, речь идет о функциях полезности, зависящих от характеристик благ (например, [5]). Ланкастер называл характеристиками благ их объективно измеримые физико-химические свойства (например, количество лошадиных сил и объем багажника у автомобиля), однако, впоследствии стали рассматривать статусность как важную характеристику блага.

Джонс [4] показал, что производственная функция, обладающая стандартными свойствами, в частности, постоянной отдачей от масштаба, представляется как решение задачи оптимального выбора "локальной" технологии из технологического меню:

.

Здесь - технологическое меню, - коэффициенты эффективности факторов (локальная технология). Особую роль играет случай, когда

- функция Леонтьева.

Аналогичным образом функцию полезности, зависящую от характеристик благ (см., например, [5]) в случае ее линейной однородности представим в виде

.

В таком случае - это веса характеристик благ. Потребитель выбирает эти веса из множества , которое теперь имеет смысл всевозможных "взглядов на жизнь", существующих в обществе. Таким образом, задача потребителя

,

где Z - множество доступных благ, включает выбор "взгляда на жизнь".

Культурологи считают, что действительно в обществе существует множество возможных "взглядов на жизнь", из которых индивид делает выбор. "Каждая личность уникальна и неповторима, и у каждой возникает свой, уникальный и неповторимый комплекс ценностей и идеалов... Однако было бы неверно думать, что всякий индивид абсолютно свободен в построении этого комплекса и совершенно произвольно решает, каковы должны быть его идеалы и ценности. В действительности он заимствует их из поля выбора, представляемого ему культурой" [1].

Таким образом, проблемы изменения во времени производственной функции и функции полезности сводятся, соответственно, к вопросам об изменении технологического множества и множества "взглядов на жизнь".

Модель появления идей с экспоненциальным распределением

Джонс [4] построил стохастическую модель появления технологических идей, т.е. изменения коэффициентов эффективности капитала и труда, в случае, когда - функция Леонтьева. Идеи описываются вероятностными распределениями Парето, причем распределения описывающие производительности капитала и труда, независимы. После преобразований Джонс получает в асимптотике производственную функцию Кобба-Дугласа.

Построим модель, в которой появление идей описывается экспоненциальным распределением.

Идея состоит в случайном появлении леонтьевских технологических коэффициентов . В случае независимых экспоненциальных распределений

,

где Вероятность события, состоящего в том, что при использовании идеи выпуск будет больше, чем равна

.

Если поступило N независимых идей, то вероятность события, состоящего в том, что выпуск не превосходит равна

В статистике экстремальных значений [3] показано, что при функции распределения максимального значения математическое ожидание максимального значения равно , а дисперсия максимального значения равна

Используя эти результаты, при параметре экспоненциального распределения и количестве технологических идей (исследовательских попыток) N, можно вычислить математическое ожидание и дисперсию выпуска Y в экономике:

, (1)

где - постоянная Эйлера; заметим, что при

;

.

Здесь приближается числом , так что при .

Это значит, что выпуск описывается производственной функцией типа CES со случайной общей производительностью факторов (TFP), причем стандартное отклонение зависит от факторов производства K и L, но не зависит от TFP. полезность общество моделирование функция

Нами показана высокая схожесть результатов формулы (1) и результатов полученных с помощью имитационного моделирования.

Имитационное моделирование

Для случая, когда - функция более общего вида, чем функция Леонтьева, модель идей аналитически не исследована. Джонс [4] начал имитационные эксперименты для случая, когда идеи описываются распределениями Парето. Мы изучаем имитационную модель для случая, когда появление идей описывается экспоненциальным распределением, и проводим сравнение указанных двух случаев, используя регрессионный анализ. Некоторые отличия этих двух случаев иллюстрируют рисунки 1-4.

Рисунки 1 и 2 относятся к случаю распределения Парето. Точки, генерируемые моделью, таковы, что множество точек хорошо описывается прямой регрессии, что соответствует функции Кобба-Дугласа, записанной в логарифмах

Рис.1. Технологические коэффициенты в случае, когда появление технологических идей описывается распределением Парето.

Рис. 2. Точки , генерируемые моделью, в которой появление технологических идей описывается распределением Парето, а локальная производственная функция типа CES.

Рисунки 3 и 4 относятся к случаю экспоненциального распределения. В этом случае зависимость логарифмов уже не линейная; хорошо применима квадратичная регрессия. Это соответствует тому, что производственная функция Кобба-Дугласа сменилась на другую функцию.

Рис. 3. Технологические коэффициенты в случае, когда появление технологических идей описывается экспоненциальным распределением.

Рис. 4. Точки , генерируемые моделью, в которой появление технологических идей описывается экспоненциальным распределением, а локальная производственная функция леонтьевского типа.

Тот же метод мы применяем для исследования динамики множества "взглядов на жизнь". Как и для технологических идей, мы полагаем, что новые "взгляды на жизнь" появляются случайным образом в соответствии с вероятностным распределением Парето или экспоненциальным распределением. Однако, отличие состоит в том, что технологическое множество расширяется за счет того, что к нему присоединяются новые "рекордные" технологии, тогда как тенденция количественного роста показателей "взглядов на жизнь" отсутствует. Мы моделируем это как забывание обществом старых "взглядов на жизнь". В нашей модели появившиеся новые "взгляды на жизнь" сохраняются лишь определенное время, а затем исключаются из множества . Мы определяем показатели изменчивости и стабильности множества "взглядов на жизнь" .

В дальнейшем можно будет построить другие модели формирования множества взглядов на жизнь: например, теоретико-игровые, когда воспринимаются ценности более успешных социальных групп.

Список использованной литературы

1. Кармин А.С. Культурология. 6-е изд. - Санкт-Петербург: Лань. 2011.

2. Alvarez F.E., Buera F.J., Lucas R.E., Jr. Models of Idea Flows . NBER Working Papers. - №14135. - Cambridge: NBER. 2008.

3. Gumbel E.J. The statistics of extremes. - New York: Columbia University Press. 1962.

4. Jones C.I. The shape of prodiction function and the direction of technical change // Quarterly Journal of Economics. - 2005. - V. 120. - P. 517-549.

5. Lancaster K. Consumer demand: a new approach. - New York: Columbia University Press. 1971.

6. Lucas R.E., Jr. Ideas and growth // Economica. - 2009. - 76(301). - P. 1-19

Размещено на Allbest.ru