Математические модели бифуркационных процессов в импульсном стабилизаторе напряжения

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики (ПГУТИ), Самара, Россия

Математические модели бифуркационных процессов в импульсном стабилизаторе напряжения

А.А. Вороной, Д.Л. Мясников, А.А. Кузьменко

Аннотация

В данной статье рассмотрены бифуркации в нелинейных динамических системах и уделяется особое внимание бифуркациям - кризисам, которые отождествляются с катастрофами в системах. Качественное изменение фазового портрета, происходящее при изменении параметра системы , называется бифуркацией фазового портрета. Значение параметра системы =0, при котором происходит бифуркация, называется бифуркационным значением параметра (или точкой бифуркации).

Ключевые слова: катастрофа; бифуркации; нелинейные системы; фазовый портрет.

Abstract

A mathematical model of the bifurcation processes in pulse voltage regulator

A. A. Voronoy1, D. L. Myasnikov1, A. A. Kuzmenko1

1Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics (PSUTI), Samara, Russia

In this article bifurcations in nonlinear dynamical systems are considered and special attention is paid to bifurcations-crises, which are identified with catastrophes in systems. The qualitative change in the phase portrait that occurs when the parameter of the system changes is called the bifurcation of the phase portrait. The value of the system parameter =0, at which bifurcation occurs, is called the bifurcation value of the parameter (or bifurcation point).

Keywords: catastrophe; bifurcations; nonlinear systems; phase portrait.

Введение

бифуркация импульсный стабилизатор фазовый

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе описываемой системой дифференциальных уравнений. В данной работе изучаются бифуркации фазовых портретов систем дифференциальных уравнений на примере импульсного стабилизатора напряжения (ИСН).

1. Математическая модель в ненасыщенном режиме

Запишем уравнения состояния для системы импульсного регулятора в течение двух интервалов включения: импульса и паузы . В течение каждого интервала имеет место система линейных дифференциальных уравнений:

в течение интервала (ключевой транзистор включен)

, (1)

в течение интервала (ключевой транзистор выключен)

, (2)

где - коэффициент заполнения импульсов,

, T -

время одного периода ШИМ;

-

вектор переменных состояния, являющийся током в индуктивности и напряжением на емкости регулятора;

- входное воздействие,



(входное напряжение);

, - квадратные матрицы переменных состояния силовой части регулятора, составленные на основании законов Кирхгофа.

; .

, - прямоугольные матрицы коэффициентов внешнего источника (входного напряжения), составленные на основании законов Кирхгофа для его силовой части.

.

Найдем решение системы (1) на интервале

.

- фундаментальное решение системы (1).

-

формула вариации произвольных постоянных, где значение матричного экспоненциала:

.

В виду малости величины

по абсолютной величине, значение матричного экспоненциала принимается равным:

или , где -

единичная матрица.

.

Следовательно

.

.

Решение системы (1) на интервале примет вид:

, (3)

Аналогично найдем решение системы (2) на интервале

. (4)

Комбинируя уравнения, (1), (2) в моменты времени

и соответственно, с учетом

получаем:

. (5)

Перенося полученное соотношение на n+1 интервал включения ключевого элемента, получим следующее итерационное выражение.

. (6)

Это уравнение является основным уравнением, которое описывает переходный процесс системы; это итерация значений и .

Желаемая точка покоя

, . (7)

На рисунке 1 представлен график функции .

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 1 График функции

Функция получается из функции (Рис. 1).

Подставляя значения (7) в уравнение (6) и решая его относительно , находим положение равновесия.

,

. (8)

Удобно для анализа перенести оси координат так, чтобы точка покоя (точка, в которой выходные величины регулятора являются номинальными) находилась в начале координат. Это возможно с помощью замены переменных.

, . (9)

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 2 Перенос точки покоя в начало координат

Подставляя выражения формулы (9) в уравнение (6), получим дискретное уравнение, которое описывает работу импульсного регулятора в нормальном, ненасыщенном режиме.

. (10)

Где

, (11)

- матрица-строка коэффициента усиления цепи обратной связи,

- матрица-столбец векторов состояния.

От дискретного уравнения (10) перейдем к дифференциальному уравнению с помощью аппроксимации разностного оператора дифференциальным (формула Эйлера).

, (12)

где - шаг.

В результате

. (13)

Где

.

Уравнение (13) - непрерывное уравнение, которое описывает работу импульсного регулятора в нормальном, ненасыщенном режиме.

Анализ уравнения (13) будет рассмотрен в дальнейшем.

Уравнение (13), описывающее динамику процесса в ненасыщенном режиме, может иметь положения равновесия (“виртуальные”), расположенные в физически нереализуемой области или области насыщения.

2. Математическая модель в режиме насыщения

Рассмотрим выражение для коэффициента заполнения импульсов

. (14)

Где

;

;

- коэффициент заполнения импульсов в номинальном режиме (точке покоя);

- коэффициент усиления цепи обратной связи по току;

- коэффициент усиления цепи обратной связи по напряжению.

.

.

Это иллюстрирует рисунок 3.

Рис. 3 Насыщенные и ненасыщенный участки ШИМ регулятора на плоскости векторов состояния

 и - номинальный ток (ток покоя) в индуктивности, и номинальное напряжение (напряжение покоя) на конденсаторе.

. (15)

Где

.

Уравнение (15) линейно, так как

(или или ). (16)

Уравнение (15) дискретное уравнение, которое было получено подстановкой замены (16) в уравнение (6).

От дискретного уравнения (15) перейдем к дифференциальному уравнению с помощью аппроксимации разностного оператора дифференциальным (формула Эйлера).

. (17)

Подставим значения из формулы (7) в уравнение (15) и решая его относительно , находим положение равновесия

. (18)

3. Определение количественных соотношений

Выполним преобразования в уравнении (13)

.

Где

.

Где

.

Обозначения

.

; ; ;

;

В результате обозначения получим систему следующего вида

; .

. (19)

Введем нормированную матрицу К равенством:

; ;

.

Тогда система примет вид

.

Где

;

.

Обозначим

В результате получим следующую систему:

.

. (20)

Вычислим матрицу системы (20), линеаризованную в окрестности нулевой точки покоя.

Составим характеристическое уравнение матрицы A:

.

Или, что тоже самое:

(21)

Найдём корни характеристического уравнения (21):

- ;

;

.

Приведём достаточные условия, при выполнении которых имеет место бифуркация Андронова - Хопфа.

- параметр:

1. - корни характеристического уравнения (21) оказываются чисто мнимыми при ;

2. , при ;

3. , при ;

при система (20) обладает однопараметрическим семейством периодических решений.

Значение является точкой бифуркации для системы (20).

Будем считать все параметры системы фиксированными, кроме . Исследуем условия, при которых при изменении (бифуркационный параметр) в системе имеет место бифуркация Андронова - Хопфа.

Введем числовые значения параметров для системы (20):

; =5,75; ; =37,9; ;

; ; ; ;

;.

Система (20) примет следующий вид:

. (22)

, - параметр.

Заключение

В результате качественного описания проблемы устойчивости и бифуркаций ИСН можно, тем не менее, сделать определенные выводы. Эволюция динамических систем сопровождается потерей устойчивости одними режимами функционирования и бифуркационными переходами их в новые. Эти “фазовые переходы” могут осуществляться плавно, мягко, а могут происходить скачкообразно, в виде катастроф. Строгий математический анализ устойчивости и бифуркаций позволяет сегодня практически рассматривать широкий спектр проблем, связанных с исследованиями бифуркационных переходов в динамических системах импульсных стабилизаторов напряжения. Но при этом необходимо опираться на строгие математические результаты и использовать обоснованные методы теоретического и качественного анализа.

Литература

1. Антипов О.И., Неганов В.А. Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети. - М.: Радиотехника, 2011. - 350с.

2. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. - 1997. - №1. - С.115-121.

3. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В. Устойчивость и электромагнитная совместимость устройств и систем электропитания / М.: Горячая линия - Телеком, 2018. 540 с.

4. Дмитриков В.Ф., Шушпанов Д.В. Основные научные проблемы построения отечественных агрегатированных (сложных) приборов и распределенных систем вторичного электропитания и причины отставания их характеристик от современных зарубежных аналогов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2018. Т. 21. № 3. С. 7-11.

References

1. Antipov O.I., Neganov V.A. Analysis and prediction of the behavior of time series: bifurcation, catastrophe, synergetics, fractals, and neural networks. - M.: Radiotechnics, 2011. - 350p.

2. Belih V.N. Elementary introduction to the qualitative theory and bifurcation theory of dynamical systems // Soros Educational Journal. - 1997. - №1. - pp.115-121.

3. Dmitrikov V.F., Shushpanov D.V. Stability and electromagnetic compatibility of power supply devices and systems / M.: Gorjachaja Linia - Telecom, 2018. 540 p.

4. Dmitrikov V.F., Shushpanov D.V. The main scientific problems of construction of domestic aggregated (complex) devices and distributed systems of secondary power supply and the reasons for the lag of their characteristics from modern foreign analogues // Physics of wave processes and radio engineering systems. 2018. Т. 21. № 3. pp. 7-11.

Размещено на Allbest.ru

...