Исследование движения большой орбитальной космической системы цепочечной структуры в гравитационном поле под действием сил светового давления
Рассмотрение математической модели большой орбитальной космической системы (БОКС) цепочечной структуры, включающей треугольный элемент. Точечные массы в шарнирах, на концах стержней. Движение орбитальной системы в плоском центральном гравитационном поле.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | статья |
Язык | русский |
Дата добавления | 26.04.2019 |
Размер файла | 184,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http: //www. allbest. ru/
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Исследование движения большой орбитальной космической системы цепочечной структуры в гравитационном поле под действием сил светового давления
И.Ф. Талипов
ilin-09011988@ya.ru; (951) 951-12-27
Н.А. Репьях
mpu@psu.ru; (342) 2-396-309
Аннотация
Рассматривается математическая модель большой орбитальной космической системы (БОКС) цепочечной структуры, включающей треугольный элемент. Приведено исследование движения 5-массовой системы. Предполагается, что стержни невесомы и точечные массы сосредоточены в шарнирах и на концах стержней. Система совершает движение в плоском центральном гравитационном поле. Приведено описание движения системы на конечном промежутке времени вокруг гравитационного центра.
Ключевые слова: центральное гравитационное поле; голономная орбитальная система; большая орбитальная космическая система (БОКС); математическая модель движения.
орбитальный космический гравитационный поле
Annotatіon
Motion study of a large orbital space system chain structure in the gravitational field under the influence of light pressure
I. F. Talipov, N. A. Repyah
Perm State University, Russia, 614990, Perm, st. Bukireva, 15
mpu@psu.ru; (342) 2-396-309
The mathematical model of a large orbital space system (LOSS) chain structure. 5 shows the analysis of motion-mass system. It is assumed that the mass of the rods and weightless concentrated hinges. The system is in motion in a flat central gravitational field. The description of the motion of the system at a certain interval of time around a gravitational center. Motion Study of 5-mass system was carried out numerically using the package Wolfram Mathematica 9.01 , assuming equal weights of points, the initial state of the system forward in the flat central gravitational field of total reflection of the light flow. The description of the successive states of the system in the carrier coordinate system for the two models in the interval of one revolution around the reference point . Created visualization of motion 5-mass system in the free rotation around the source of gravity c the forces of light pressure.
Key words: central gravitational field; holonomic orbital system; large orbital space system (LOSS); mathematical model of the motion.
Введение
Обеспечение и поддержание заданной ориентации искусственных спутников Земли представляет собой одну из важнейших задач управления их движением. Определенная ориентация требуется как для коррекции траектории, так и для успешного выполнения своих функций спутниками связи, метеорологическими и навигационными спутниками, для проведения в космосе многих научных исследований, а также для экономии энергии спутника. В зависимости от поставленных задач ориентация искусственных спутников может осуществляться активными или пассивными методами.
Работа пассивных систем ориентации спутников основана на использовании свойств гравитационного и магнитного полей, эффекта сопротивления атмосферы и светового давления, гироскопических свойств вращающихся тел. Важное свойство пассивных систем ориентации спутников и космических систем заключается в том, что они не требуют датчиков ориентации и исполнительных элементов и могут функционировать продолжительное время, не расходуя энергию и топливо.
Для разработки пассивных систем прежде всего надо понять структуру действующих сил на орбитальную станцию и поведение системы в свободном движении.
В работе продолжаются исследования И.А. Вертипрахова и Н.А. Репьяха по динамике БОКС [1].
1. Описание системы и вывод уравнений движения
Действующие на систему внешние силы потенциальны. Это силы гравитации, действующие на материальные точки (рис. 1), расположенные на концах невесомых стержней системы, силы светового давления (рис. 2). Система имеет 5 степеней свободы, а значит, и обобщенных координат. За обобщенные координаты приняты: абсцисса и ордината опорной точки и углы наклона стержней к оси ОХ абсолютной системы координат, центр которой совпадает с центром ньютоновского центра гравитации [2].
Рис. 1 Схема действующих гравитационных сил
Поскольку связи, наложенные на точки, голономны, математическая модель движения системы строится в виде уравнений Лагранжа второго рода.
. (1)
Здесь T - кинетическая энергия системы, U - силовая функция, - обобщенные координаты, - обобщенные скорости.
.
На каждую j-ю точку системы действует сила
, (2)
где - функции гравитационных сил,
- функции сил светового давления.
(3)
Здесь g - гравитационная постоянная,
, (4)
- солнечная постоянная, - вектор нормали к теневой поверхности, - угол падения света на поверхность [3].
Для простоты расчетов функцию тени и полутени земли вводить не будем.
Рис. 2 Схема действующих сил
Для построения математической модели движения БОКС рассматриваемой структуры введем неподвижную, связанную с Землей систему координат OXY и зададим обобщенные координаты системы.
Положение первой точки будем определять с помощью координат (x, y). Положения остальных точек зададим углами отклонения стержней относительно оси OX [4]. Физическая модель имеет в данном случае 5 степеней свободы, соответственно вектор-строка обобщенных координат, описывающая положение механической системы, равна
.
Запишем координаты точек механической системы в абсолютной системе координат XOY [5]:
Где
, (5)
для треугольного элемента
Из равенств (5) определяются скорости
(6)
точек системы и значение кинетической энергии T системы
(7)
где - абсолютная скорость точки .
Частная производная T по обобщенным координатам примет вид
. (8)
Обобщенные силы Q в обобщенных координатах:
, (9)
, (10)
где
,
(- радиус-вектор точки )
, (11)
где
- угол падения света на парус ,
p - солнечная постоянная для Земли,
- расстояние Солнце - Земля,
- расстояние Солнце - Парус.
В результате математических преобразований получим уравнения (12) движения системы [5]:
(12)
(i = 1, 2,…, 5)
.
2. Исследование движения 5-массовой БОКС
Исследование поведения системы проводилось на модели, состоящей из пяти тел, принимаемых за материальные точки. Определяющими параметрами системы являются массы тел, длины стержней и начальные условия. Орбитальное движение системы зададим движением первой точки, предполагая, что в начальный момент она находится на расстоянии Rземли+ h от гравитационного центра и имеет начальную скорость, соответствующую круговой скорости для этого расстояния:
,
где - радиус земли, h - начальная высота точки над поверхностью Земли [5]. Начальное состояние системы полностью определяется размером БОКС и положением точек в начальный момент времени. Предполагается, что в начальный момент времени t система движется согласно условиям (13), паруса полностью отражают световой поток.
Ниже приводится анализ движения 2 БОКС из пяти точек:
I - в поле гравитационных сил,
II - в поле сил гравитации и светового давления, соединенных последовательно, с образованием треугольника в точках в транспортирующей системе координат (рис. 3, 4, 5, 6, 7), при этом массы всех тел одинаковы и равны кг, длины стержней = {500, 600, 700, 1000, 1500} м соответственно, начальные углы и их угловые скорости равны:
, (13)
.
В начальный момент времени системы изображены на рис. 3.
Рис. 3 Системы в начальный момент времени
На первом этапе движения системы к моменту t1 (рис. 4) за счет гравитационного поля происходит смещение положения "хвоста". Так как система с учетом располагается практически параллельно к действию силы светового давления - системы не сильно различаются своей ориентацией.
Рис. 4 Системы в момент времени =60 c
К моменту времени (рис. 5) наблюдается ускорение вращения модели без учета сил светового давления. Модель с учетом наоборот замедляет свое вращение за счет действия сил давления на "хвостовые" паруса.
Рис. 5 Системы в момент времени =120 c
С увеличением угла наклона к световому потоку возрастает действие сил светового давления, вследствие чего "хвостовые" паруса начинают ускоряться, придавая противоположное вращение системы с парусами (рис. 6).
К моменту времени = 240 с система с парусами приобретает хаотическое движение за счет увеличения импульса сил . Система без парусов приобретает вращение против часовой стрелки. Система с парусами приобретает двойное вращение, вращение 3 звеньев против часовой стрелки и вращение "хвоста" по часовой стрелке (рис. 7).
Рис. 6 Системы в момент времени =180 c
Через некоторое время движение системы с парусами будет приобретать все более хаотический характер.
Рис. 7 Системы в момент времени =240 c
Заключение
Данные модели движения описывают действие сил и на БОКС. Для дальнейшего развития модели динамики БОКС необходимо вводить массы стержней или парусов, учитывать функцию тени как от источника гравитации, так и от самих парусов. Также необходимо учесть и действие возмущающих факторов (например, притяжение Луны и Солнца, реликтовые излучения, электромагнитные излучения).
Исследование движения 5-массовой системы проводилось численно с применением пакета Wolfram Mathematica 9.01 в предположении равных масс точек, начального поступательного состояния системы в плоском центральном гравитационном поле c полным отражением светового потока. Приведено описание последовательных состояний системы в транспортирующей системе координат для двух моделей на промежутке одного оборота системы вокруг опорной точки .
Создана визуализация движения 5-массовой системы в свободном вращении вокруг источника гравитации c действием сил светового давления.
Список литературы
1. Вертипрахов И.А., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Динамика стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 4 (12). С. 42-47.
2. Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателем постоянной мощности // Космические исследования. 1964. Т. 2.
3. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966.
4. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом. М.: Наука, 1986.
5. Маланин В.В., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А. Свободное движение пятиточечной стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры в транспортирующей системе координат // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3 (22). С. 59-62.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Линеаризация математической модели регулирования. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели. Исследование устойчивости замкнутой системы управления линейной системы. Определение устойчивости системы управления.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 07.08.2013Изучение методики математического моделирования технических систем на макроуровне. Составление программы для ПЭВМ, ее отладка и тестирование. Проведение численного исследования и параметрической оптимизации системы, обзор синтеза расчётной структуры.
курсовая работа [129,6 K], добавлен 05.04.2012Разработка математической модели оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле с учетом распределения игровых обязанностей между футболистами и индивидуальных особенностей каждого для достижения максимальной эффективности игры всей команды.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 04.08.2011Движение системы в переменных пространства состояний. Переходные процессы в системе. Ступенчатые воздействия по каналам управления. Устойчивость и неустойчивость линейной многомерной системы. Характер движения динамической системы. Матрица управляемости.
реферат [76,0 K], добавлен 26.01.2009Цель сервисной деятельности, формы обслуживания потребителей. Анализ эффективности работы организации в сфере обслуживания. Понятие системы массового обслуживания, ее основные элементы. Разработка математической модели. Анализ полученных результатов.
контрольная работа [318,2 K], добавлен 30.03.2016Дифференциальное уравнение движения груза. Определение значений функций движения. Исследование влияния частоты колебаний на движение груза с помощью пакета MathConnex. Функции, необходимые для численного решения дифференциальных уравнений в MathCAD.
курсовая работа [247,7 K], добавлен 25.10.2012Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009Решение экономико-математических задач методами линейного программирования. Геометрическая интерпретация и решение данных задач в случае двух переменных. Порядок разработки экономико-математической модели оптимизации отраслевой структуры производства.
курсовая работа [116,4 K], добавлен 23.10.2011Определение значения температуры и объёма реактора, при которых выходная концентрация хлористого этила будет максимальной. Решение математической модели, включающей "идеальное смешение". Оптимизация объекта методом возможных направлений Зойтендейка.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.05.2013Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР.
курсовая работа [112,5 K], добавлен 04.02.2011Основные категории и критерии инструментальных средств, предназначенных для моделирования информационных систем. Проведение анализа предметной области проекта автомастерской массового обслуживания и построение математической модели данной системы.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.08.2012Исследование вычислительных систем неоднородной структуры. Применение программы GPSS для создания имитационной модели предложенной системы массового обслуживания. Оценка погрешности, переходного периода, чувствительности и устойчивости измерений.
курсовая работа [63,6 K], добавлен 20.07.2012Методика формирования математической модели в операторной форме, а также в форме дифференциального уравнения и в пространстве состояний. Построение графа системы. Оценка устойчивости, управляемости, наблюдаемости системы автоматического управления.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 03.12.2012Математическое моделирование в сельском хозяйстве. Планирование оптимальной производственно-отраслевой структуры предприятия. Описание числовой экономико-математической модели. Экономическая интерпретация оптимальной производственно-отраслевой структуры.
курсовая работа [107,7 K], добавлен 19.01.2016Разработка экономико-математической модели оптимизации производственной структуры хозяйства: система переменных и ограничений, подготовка входной информации, математическая модель в форме линейных уравнений и неравенств. Анализ двойственных оценок.
курсовая работа [102,3 K], добавлен 06.10.2013Описание объекта регулирования температуры жидкости на выходе теплообменника. Составление математической логической аналитической модели системы автоматического управления. Исследование типа и рационального значения параметров настройки регулятора.
курсовая работа [232,3 K], добавлен 22.03.2015Рассмотрение немарковской системы массового обслуживания с двумя типами заявок. Расчет значений асимптотических характеристик немарковской системы. Выяснение возможности описания системы с помощью марковской модели и асимптотических характеристик.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 22.08.2017Составление математической модели, целевой функции, построение системы ограничений и симплекс-таблиц для решения задач линейного программирования. Решение транспортной задачи: определение опорного и оптимального плана, проверка методом потенциалов.
курсовая работа [54,1 K], добавлен 05.03.2010Определение назначения и описание системы массового обслуживания на примере производственной системы по выпуску печенья. Анализ производственной системы с помощью балансовой модели. Определение производительности системы: фактической и потенциальной.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 10.01.2021Роль экономико-математических методов в оптимизации экономических решений. Этапы построения математической модели и решение общей задачи симплекс-методом. Составление экономико-математической модели предприятия по производству хлебобулочных изделий.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015