Построение и анализ множественной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Московский технологический университет»

Институт экономики и права

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Эконометрика»

на тему: «Построение и анализ множественной регрессии»

Москва - 2017

Содержание

1. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

2. Средняя ошибка аппроксимации

3. Значимость уравнения регрессии в целом и значимость параметров регрессионной модели

4. Коэффициенты эластичности и бета коэффициенты

5. Отбор информативных факторов в модель



Вариант 4

уравнение регрессия ошибка аппроксимация

Составить и проанализировать множественную регрессию влияния на производительность труда (Y1) или рентабельность производства (Y2) пяти факторов, выбранных в соответствии с вариантом задания. Исходные данные приведены ниже. Схема выполнения анализа включает следующие пункты:

1. Рассчитайте параметры модели множественной линейной регрессии и поясните их экономический смысл.

2. Оцените точность аппроксимации по наблюдаемой среднеквадратической ошибке и средней абсолютной процентной ошибке (MAPE). Представьте выводы.

3. Оцените и проанализируйте статистическую значимость уравнения регрессии в целом и значимость параметров регрессионной модели;

4. Рассчитайте коэффициенты эластичности и бета коэффициенты и сопоставьте влияние факторов на результат.

5. Не менее, чем 3 способами выполните отбор информативных факторов в модель. Постройте модель только с информативными факторами, рассчитайте её точность, статистические характеристики качества регрессии и сопоставьте с исходной.

6. Проверьте выполнение условий Гаусса-Маркова и, при необходимости, скорректируйте модель. Гетероскедастичность и её устранение (2 теста). Автокорреляция и её устранение (2 теста). Нормальность остатков (2 теста).

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составят 80% от их максимальных значений. Определите доверительный интервал прогноза для уровней значимости б =0,1; б=0,05 и б=0,01.

8. Сформулируйте выводы по проведенному регрессионному анализу.

Y2 - рентабельность производства, %

Х1 - трудоемкость единицы продукции, чел-час

Х2 - удельный вес рабочих в составе ППП, %

Х3 - удельный вес покупных изделий, %

Х5 - премии и вознаграждения на одного работника, тыс. р.

Х6 - удельный вес потерь от брака, %

	Y2	X1	X2	X3	Х5	Х6
1	30,14	0,43	0,83	0,30	2.13	0,49
2	12,14	0,31	0,73	0,45	0.78	0,49
3	15,25	0,37	0,65	0,31	1.16	0,16
4	9,78	0,38	0,72	0,30	0.67	0,73
5	13,22	0,24	0,70	0,56	0.98	0,28
6	7,11	0,42	0,69	0,26	0.54	0,68
7	17,50	0,41	0,79	0,24	0.74	0,74
8	11,42	0,27	0,65	0,37	1	0,16
9	10,94	0,02	0,74	0,42	1.14	0,56
10	6,24	0,51	0,62	0,20	0.24	0,23
11	10,05	0,36	0,73	0,39	0.6	0,21
12	13,99	0,37	0,68	0,33	0.82	0,42
13	10,03	0,35	0,66	0,32	0.67	0,29
14	10,16	0,24	0,75	0,26	1.04	0,39
15	19,71	0,40	0,70	0,20	1.21	0,09
16	7,99	0,41	0,71	0,20	0.45	0,66
17	9,49	0,23	0,71	0,42	1.22	0,54
18	12,85	0,17	0,70	0,50	0.43	0,18
19	10,63	0,23	0,62	0,40	0.88	0,15
20	19,40	0,37	0,77	0,24	1.27	0,50
21	6,14	0,25	0,75	0,33	0.67	0,11
22	5,37	0,42	0,68	0,16	0.66	0,41
23	9,86	0,30	0,77	0,15	0.86	0,62
24	14,19	0,23	0,79	0,47	0.86	0,21
25	15,81	0,17	0,77	0,53	1.98	0,25
26	25,83	0,31	0,73	0,25	1.72	0,38
27	10,31	0,29	0,66	0,38	0.81	0,24
28	21,00	0,29	0,78	0,10	1.58	0,77
29	23,39	0,26	0,71	0,44	1.7	0,09
30	13,26	0,23	0,78	0,40	1.23	0,23
31	9,87	0,18	0,75	0,32	1.89	0,63
32	14,68	0,49	0,69	0,17	0.84	0,14
33	11,56	0,18	0,80	0,68	1.06	0,13
34	14,54	0,29	0,78	0,40	0.99	0,89
35	12,08	0,36	0,75	0,64	0.57	0,32
36	9,28	0,26	0,74	0,27	0.68	0,75
37	8,65	0,01	0,84	0,35	1.27	0,59
38	12,93	0,31	0,79	0,29	0.96	0,39
39	17,29	0,31	0,66	0,42	1.16	0,10
40	22,49	0,51	0,71	0,16	1.23	0,87
41	13,72	0,19	0,68	0,40	1.8	0,43
42	9,12	0,43	0,76	0,19	0.57	0,34
43	9,68	0,43	0,74	0,25	0.84	0,05
44	9,13	0,38	0,72	0,12	1.04	0,48
45	21,18	0,31	0,81	0,20	1.6	0,31
46	25,17	0,26	0,79	0,30	1.46	0,45
47	6,57	0,34	0,72	0,11	0.68	0,12
48	5,23	0,29	0,80	0,34	0.33	0,15
49	17,16	0,22	0,76	0,54	0.03	0,32
50	23,56	0,31	0,74	0,22	2.2	0,79



1. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = -22.386 + 25.5465X1 + 20.7549X2 + 11.3753X3 + 8.8508X5 + 0.3863X6

Экономическая интерпретация параметров модели:

увеличение X1 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 25.546 ед.изм.;

увеличение X2 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 20.755 ед.изм.;

увеличение X3 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 11.375 ед.изм.;

увеличение X4 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 8.851 ед.изм.;

увеличение X5 на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 0.386 ед.изм.

Средняя ошибка аппроксимации

МАРЕ=24,55%

Так как ошибка аппроксимации больше 10%, то модель необходимо уточнить.

Оценка дисперсии равна:

s_e²=710.766

Несмещенная оценка дисперсии равна:

Оценка среднеквадратичного отклонения (стандартная ошибка для оценки Y):

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции):

Коэффициент детерминации:

R²= 0.7584² = 0.5751

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

3. Значимость уравнения регрессии в целом и значимость параметров регрессионной модели

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R² или b₁ = b₂ =... = b_m = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R², рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости б (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k₁=m и k₂=n-m-1.

F-статистика. Критерий Фишера.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: R² = 0; в₁ = в₂ = ... = в_m = 0.

H₁: R² ? 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < F_kp = F_{б ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

Табличное значение при степенях свободы k₁ = 5 и k₂ = n-m-1 = 50 - 5 - 1 = 44, F_kp(5;44) = 2.37

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно (т.е. коэффициенты b_i совместно значимы).

Значимость параметров регрессии

Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия:

Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (50-5-1=44) составляет 2.776.

t_b0= -2,2634

Статистическая значимость коэффициента b₀ не подтверждается.

t_b1 = 3,6112>2,776

Статистическая значимость коэффициента b₁ подтверждается.

t_b2 = 1,7157<2,776

Статистическая значимость коэффициента b₂ не подтверждается.

t_b3 = 0,4871<2,776

Статистическая значимость коэффициента b₃ не подтверждается.

t_b5 = 6,9587>2,776

Статистическая значимость коэффициента b₅ подтверждается.

t_b6 = 0,1413<2,776

Статистическая значимость коэффициента b₆ не подтверждается.

4. Коэффициенты эластичности и бета коэффициенты.

Частные коэффициенты эластичности

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

Частный коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменяется признак-результат у с увеличением признака-фактора х_j на 1% от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели.

Е₁=0,577

Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Е₂=1,122

Частные коэффициент эластичности |E₂| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.

Е₃=0,273

Частный коэффициент эластичности |E₃| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Е₅=0,67

Частный коэффициент эластичности |E₅| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Е₆=0,0111

Частный коэффициент эластичности |E₆| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

t_y = ?в_jt_xj

Для оценки в-коэффициентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=в₁+r_x1x2*в₂ + ... + r_x1xm*в_m

r_x2y=r_x2x1*в₁ + в₂ + ... + r_x2xm*в_m

...

r_xmy=r_xmx1*в₁ + r_xmx2*в₂ + ... + в_m

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

0.0846 = в₁ -0.291в₂ -0.551в₃ -0.246в₄ + 0.0387в₅

0.263 = -0.291в₁ + в₂ + 0.0567в₃ + 0.259в₄ + 0.275в₅

-0.0249 = -0.551в₁ + 0.0567в₂ + в₃ -0.0497в₄ -0.31в₅

0.664 = -0.246в₁ + 0.259в₂ -0.0497в₃ + в₄ + 0.188в₅

0.143 = 0.0387в₁ + 0.275в₂ -0.31в₃ + 0.188в₄ + в₅

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в₁ = 0.465; в₂ = 0.187; в₃ = 0.262; в₄ = 0.74; в₅ = 0.0155;

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

t_y = 0.465x₁ + 0.187x₂ + 0.262x₃ + 0.74x₅ + 0.0155x₆

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

5. Отбор информативных факторов в модель

Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).

Вычисляем F-критерии Фишера:

где d_kk - диагональные элементы матрицы.

Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v₁=n-m и v₂=m-1 степенях свободы и уровне значимости б. Если F_k > F_Табл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.

v₁=50-5 = 46; v₂=5-1 = 5. F_Табл(46;5) = 4.43

Поскольку F₁ > F_табл, то переменная y мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₂ > F_табл, то переменная x₁ мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₃ ? F_табл, то переменная x₂ немультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₄ > F_табл, то переменная x₃ мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₅ > F_табл, то переменная x₅ мультиколлинеарна с другими.

Поскольку F₆ ? F_табл, то переменная x₆ немультиколлинеарна с другими.

Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.

Можно сделать вывод, что ни один из факторов не следует использовать при построении регрессионного уравнения.

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий)

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора х_j, служит частный F-критерий - F_xj:

где m - число оцениваемых параметров.

В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора х_j.

Если наблюдаемое значение F_xj больше F_kp, то дополнительное введение фактора x_j в модель статистически оправдано.

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов «чистой» регрессии (b_j). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - F_xj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе:

F_x1=4,074

R²(x₅,x_n) = ?в_jr_j = 0.1869 * 0.2626 + 0.2623 * (-0.02486) + 0.7399 * 0.6636 + 0.01547 * 0.1428 = 0.536

F_kp(k1=4;k2=44) = 2.53

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

F_x1>2.53, следовательно, фактор х₁ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.

F_x2=5,081

R²(x₅,x_n) = ?в_jr_j = 0.4651 * 0.08457 + 0.2623 * (-0.02486) + 0.7399 * 0.6636 + 0.01547 * 0.1428 = 0.526

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

F_x2>2.53, следовательно, фактор х₂ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.

F_x3=-,0675

R²(x₅,x_n) = ?в_jr_j = 0.4651 * 0.08457 + 0.1869 * 0.2626 + 0.7399 * 0.6636 + 0.01547 * 0.1428 = 0.582

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

F_x3<2.53, следовательно, фактор х₃ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.

F_x5=50,852

R²(x₅,x_n) = ?в_jr_j = 0.4651 * 0.08457 + 0.1869 * 0.2626 + 0.2623 * (-0.02486) + 0.01547 * 0.1428 = 0.0841

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

F_x5>2.53, следовательно, фактор х₅ целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.

F_x6=0,229

R²(x₅,x_n) = ?в_jr_j = 0.4651 * 0.08457 + 0.1869 * 0.2626 + 0.2623 * (-0.02486) + 0.7399 * 0.6636 = 0.573

Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:

F_x6<2.53, следовательно, фактор х₆ не целесообразно включать в модель после введения факторов х_j.

Исходя из полученных данных, построим модель только с информативным фактором Х2.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y =-7.8072+29.1653Х₂

Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение X на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 29.165 ед.изм.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние:

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Ковариация:

Коэффициент детерминации:

R²= 0.06895

Коэффициент корреляции:

r_xy = 0.263.

Ошибка аппроксимации:

МАРЕ=39,04%

Коэффициент эластичности:

1,577>1 следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами - Х существенно влияет на Y.

Бета-коэффициент:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 26.3% среднеквадратичного отклонения Sy.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S² = 32.449 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

- стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Проверим гипотезу об общей значимости:

H₀: R² = 0;

H₁: R² ? 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < F_kp = F_{б ; n-m-1}, то нет оснований для отклонения гипотезы H₀.

фактическое значение F-критерия:

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).



Вывод

В представленной работе было проведено исследование влияния на рентабельность производства 5 факторов: трудоемкости единицы продукции, удельного веса рабочих в составе ППП, удельного веса покупных изделий, премий и вознаграждений на одного работника и удельного веса потерь от брака.

В ходе исследования были выявлен фактор, который наиболее сильно влияет на изменение рентабельности производства, им оказался удельный вес рабочих в составе ППП (Х2).

На основе факторов была построена следующая модель:

y =-7.8072+29.1653Х₂

Экономическая модель, полученная в итоге не подходит для практического применения, но вполне может быть использована для анализа.

Таким образом, можно сделать вывод, что для улучшения модели необходим больший выбор факторов и полученную модель не следует использовать для объяснения экономической деятельности предприятия.

При выполнении работы было использовано несколько сервисов:

MS Excel,

https://math.semestr.ru/

http://www.xuru.org

Размещено на Allbest.ru

...