Экономико-математическое моделирование производственных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВА

КАФЕДРА (Экономики и организации производства)

Контрольная работа

По дисциплине: Экономико-математическое моделирование производственных систем

Выполнил: Бондарчук Д. Г.

студент 4 курса группы Мд -41(02)

Института дистанционного образования

Белгород, 2016 г

Задание 1.

Обозначим через и количество деталей A и B, которые планируется произвести в планируемом периоде. Тогда общая стоимость выпущенной продукции составит . Необходимо найти такие значения и , чтобы величина F была максимальной, т.е. F > max.

На изготовление детали А необходимо обеспечить загрузку ч станка 1, а на изготовление детали В . Поскольку запас станка 1 не превышает единиц, то величины и должны удовлетворять неравенству . Аналогично можно получить неравенство станка 2: , а также для станка 3: . Кроме того, величины и не могут быть отрицательными, т.е. .

Таким образом, задача заключается в нахождении точки максимума функции F среди точек с координатами ( ), которые удовлетворяют указанным неравенствам. Запишем сформулированную задачу линейного программирования следующим образом:

Для сформулированной модели каждую совокупность значений переменных () можно изобразить точкой на плоскости, если ввести систему координат и по одной оси откладывать значение , а по другой - .

Остановимся на геометрической интерпретации совокупности решений одного отдельно взятого неравенства, описывающего станок 1: . Изобразим прямую на графике, для начала найдем точки. , .

Аналогично найдем точки для станка 2 и станка 3. Изобразим прямые на графике. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, составит некоторую выпуклую многоугольную область. Условия неотрицательности переменных 0 приводят к тому, что эта область находится в первой координатной четверти.

Любая точка данного многоугольника удовлетворяет всем ограничениям задачи и соответствует допустимому плану. Данная ситуация означает, что реализация плана требует полного использования соответствующего ресурса.

Для определения оптимального плана необходимо привлечь целевую функцию. Однако кое-что про оптимальный план можно сказать уже сейчас. Во-первых, область допустимых планов непуста и ограничена. Следовательно, оптимальный план существует. Во-вторых, оптимальным планом наверняка окажется одна из вершин многоугольника. Если оптимальный план у нашей задачи

единствен, то этим планом будет одна вершина. Если же он не единствен, то этим оптимальным планом окажутся две соседние вершины, а вместе с ними и все точки стороны шестиугольника.

Определение оптимального плана методом перебора вершин

Для нахождения оптимального плана необходимо найти координаты вершин многоугольника OABCD допустимых планов, подставить значение и в целевую функцию и найти максимальное значение целевой функции F.

Координаты вершины О - (0; 0). Подставим значение и в целевую функцию и получим

F = 2 Ч 0 + 3 Ч 0 = 0.

Координаты вершины А - (0; 30). Подставим значение и в целевую функцию и получим F = 2 Ч 0 + 3 Ч 30 = 90

Координаты вершины В определяются из системы уравнений, связывающей станки 2 и 3:

Решив систему уравнений, получаем координаты вершины - ( 57; 11).

Подставим значение и в целевую функцию и получим F = 2 Ч 57 + 3 Ч 11 = 147

Координаты вершины С - (80; 0). Подставим значение и в целевую функцию и получим

F = 2 Ч 80 + 3 Ч 0 = 160

Максимальное значение целевой функции, равное 160 , достигается в вершине С с координатами (80; 0). Т.е. для получения наибольшей прибыли выпущенной продукции, равной 160 денежных единиц, станок должен выпустить 80 деталей А и 0 деталей В.

Построение градиента и определение оптимального плана

Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор

Z = (2,3). Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с началом в точке (0; 0) и концом в точке (2,3), а также учесть ее направление. Целевая функция задачи геометрически изображается с помощью прямой. На рисунке пунктиром изображены линии уровня целевой функции (ЛУЦФ), соответствующие различным значениям целевой функции.

Исходя из решения, задача обладает единственным оптимальным планом.

Таким образом, оптимальный план предписывает выпустить 80 деталей А и 0 деталей В. А оптимум целевой функции F max = 2 Ч 80 + 3 Ч 0 = 160.

Решим задачу методом симплекс-таблиц.

Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, необходимо систему ограничений-неравенств привести к системе ограничений-равенств.

Задача линейного программирования в канонической форме имеет вид:

Так как система ограничений состоит из трех независимых уравнений с пятью переменными, то число базисных переменных должно равняться трем, а число свободных - двум.

I шаг. Базисные переменные , . Составляем первую симплекс-таблицу и находим разрешающий элемент.

Базисное решение F = 0 (0, 0, 150, 180, 80).

II шаг. Базисные переменные . Составляем новую симплекс-таблицу.

Базисное решение F = 0 (0, 40, 30, -60, 0).

III шаг. Базисные переменные . Составляем новую симплекс-таблицу.

Эта таблица является последней, потому что в строке целевой функции все элементы положительные. Тогда оптимальным будет решение (0; 10; 0; 60; 0) при котором F max = 150.

Т.е. для получения наибольшего дохода, равного 150 денежных единиц, предприятие должно выпустить 0 единиц продукции вида А и 10 единицы продукции В. При этом станок 1 и станок 2 будут использованы полностью, а 60 единиц станка 3 останутся неизрасходованными.

Задание 2

Спрос на бумажные рулоны для чековых аппаратов по условию задачи известный и постоянный, следовательно, мы можем без ограничений использовать модель экономичного размера заказа . При этом все издержки будут определяться полными издержками хранения и заказа за год. Однако имеется система скидок на базовые цены, а это значит, что отклонение от экономичного размера заказа может оказаться выгодным, если полученные скидки превышают рост издержек хранения.

Так как в данной задаче нам необходимо рассчитать оптимальный заказ для трех цен и количественных диапазонов (1 поставщик и 3 диапазона действия цен). Модель решения представлена в Excel.

После применения автозаполнения получаем результат, представленный в таблице.

Сравним полученные значения Q с диапазонами количеств закупаемых комплектов бумажных рулонов, для которых действуют те цены, покоторым мы считали Q, то обнаружим, что при покупке бумажных рулонов по цене 1,9 руб. за штуку оптимальная, величина заказа равна примерно 2513 штук. Ясно, что выбирать размер партии мы должны только внутри диапазона от 1 до 2999 штук.

Полная величина издержек поставки включает в себя не только затраты на хранение, но и сумму, истраченную на покупку годового запаса бумажных рулонов. Годовой запас здесь взят потому, что издержки хранения и заказа тоже вычислены в расчете на год.

В результате расчетов (представлены в Excel) получаем таблицу поставок.

В последней строке таблицы выведены наименьшие возможные издержки при покупке бумажных рулонов по каждой из трех предложенных цен. Из этих трех значений издержек наименьшей оказывается 22746 руб., которая получается при покупке постельного белья партиями по 2626 штук по цене 1,74 руб. за штуку. Из таблицы видно, что покупка бумажных рулонов по меньшей цене, но более крупными партиями оказывается чуть дороже, так как предлагаемые скидки полностью съедаются потерями от замораживания капитала при такой политике закупок.

Построим график зависимость полных издержек от размера заказа (диапазон выбран в Excel).

линейный программирование издержка заказ

Задание 3

Для решения составим систему уравнений.

Приведем подобные члены, перенесем все неизвестные в левую часть:

Решим систему уравнений средствами Excel.

Результаты представим в форме межотраслевого баланса.

Размещено на Allbest.ru