Оптимальная стратегия страхования для целевого функционала типа Марковица

Размещено на http://www.allbest.ru//

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Оптимальная стратегия страхования для целевого функционала типа Марковица

Выпускная квалификационная работа

по направлению 01.03.04 Прикладная математика

Шершуков Игорь Вадимович



Аннотация

В данном исследовании решается задача поиска оптимального дележа риска между страховщиком и клиентом. Подобная проблема часто поднимаются в математической теории страхования и представляет собой важную прикладную задачу.

Исследование было проведено с использованием базовой для теории страхования статической модели страхования и предполагало нахождение такой стратегии страхования, которая удовлетворяла бы как страхователя, так и страховщика. Общий объём работы 29 страниц, в работе были упомянуты 5 литературных источников, для иллюстрации результатов было приведено 6 рисунков и указано 8 таблиц.

Во введении были описаны результаты анализа статей, которые внесли большой вклад в развитие математической теории страхования. В теоретической части были описаны основные термины, определения и обозначения математической теории страхования, также приведено описание изучаемой модели и показаны критерии оптимальности, которыми мы руководствовались при решении. В аналитической части показан ход решения, результаты исследования и приведён численный пример. Подтвердилось предположение о том, что оптимальная дележ риска имеет вид страхования с верхним пределом (stop-loss страхование). Полученным выводам и результатам возможно найти применение в прикладных задачах страхования.

Annotation

This study solves the problem of finding the optimal risk sharing between the insurer and the client. A similar problem is often raised in the mathematical theory of insurance and represents an important applied task.

The study was carried out using the static insurance model for the insurance theory and suggested finding an insurance strategy that would satisfy both the insured and the insurer. The total amount of work is 29 pages, 5 literary sources were mentioned in the work, for illustration of the results 6 figures were given and 8 tables were indicated.

The introduction described the results of the analysis of articles that have made a great contribution to the development of the mathematical theory of insurance. In the theoretical part, the basic terms, definitions and designations of the mathematical theory of insurance were described, the description of the model under study was also given, and optimality criteria were shown, which we guided our decision. The analytical part shows the course of the decision, the results of the study and a numerical example is given. The assumption was confirmed that the optimal risk sharing has the type of insurance with an upper limit (stop-loss insurance). The findings and results may be used in applied insurance problems.



Введение

В наше время всё больше людей прибегает к услугам страховых компаний, чтобы компенсировать свои убытки в случае какой-либо рисковой ситуации. В связи с этим появляется множество разнообразных программ страхования для различных условий страхования. Само по себе страхование представляет собой перераспределение риска между клиентом и страховой компанией. Страховая компания (страховщик) покупает риски клиента (страхователя), обязуясь выплатить клиенту определенную сумму в случае возникновения рисковой ситуации. Сделка осуществляются только тогда, когда она несёт выгоду для обоих ее участников - страховой компании и клиента. Итоговое решение о заключении или не заключении сделки стороны принимают исходя из концепции личных предпочтений. Сумма выплаты может быть как фиксированным числом, так и какой-то частью от понесённого страхователем ущерба. Клиенты, таким образом, пытаются обезопасить себя в случае возникновения рисковой ситуации. В страховании только у небольшого процента клиентов имеют место страховые случаи, поэтому компании редко терпят большие убытки от выплат клиентам совместно с покрытием своих издержек и получают прибыль от полученных со страховых взносов денег. В нашей задаче страховщик выплачивает клиенту только какую-то часть полученного им ущерба, которая определяется функцией дележа риска. За риск принимается случайная величина возможного ущерба в денежном выражении

В данной работе будет рассмотрена задача нахождения оптимальной стратегии страхования для функционала полезности типа Марковица. Это означает, что оптимальность решения определяется при помощи некоторой функции, из вида которой будут строиться предположения о конечном виде решения. Данная проблема актуальна в наши дни в связи с ростом популярности различных типов страхования. Данная сфера постоянно развивается и расширяется, вследствие этого необходимо её более детальное изучение для поиска новых и совершенствования существующих оптимальных решений для различных условий страхования.

Проблема будет решаться с использованием методов и понятий теории вероятностей, страхования, математической статистики, теории случайных процессов. Также отдельно стоит упомянуть используемый метод теории моментов, а именно лемму Неймана-Пирсона, для получения явного вида оптимальной функции дележа.

Нахождение оптимальных стратегий страхования при различных условиях очень важно для страхования, так как они помогают и страховщикам и страхователям найти выгодные для обеих сторон условия сделки.

Для построения оптимальной стратегии необходимо определить модель, по которой будет происходить исследование, и условия, по которым эта модель будет задаваться. Для начала рассмотрим статьи, которые положили начало для исследования представленной проблемы, затем проанализируем и используем результаты и выводы, сделанные в работах других авторов по смежным темам.



Глава 1. Теоретическая часть

Поставленная в этой работе задача будет рассматриваться в модели индивидуального риска, которую иначе ещё называют статической моделью страхования. Данная модель является классической моделью в теории страхования и её выбор определён тем фактом, что на ней можно легко увидеть применение различных математических методов в количественном анализе страховых ситуаций, возникающих в течение страхового периода. Кроме того, эта модель является основополагающей для динамичных и более сложных моделей, что подтверждает важность её использования при исследованиях в страховании. Подобная модель хорошо описана, например, в [1], где для страховщика предусмотрена возможность выбора стратегии страхования (функции дележа) между ним и клиентом. В моём исследовании критерием оптимальности для страховщика является хорошо известный в финансовых разделах математики функционал типа Марковица, который имеет следующий вид: , где (x) - искомый дележ риска, а и - осторожность. Перед решением задачи стоит отметить, что страховщик не желает выплачивать большие суммы отдельным клиентам в случае страховой ситуации, что вводит ограничение на допустимые функции дележа риска в нашей задаче: после сделки на ущерб клиента вводится ограничение сверху.

Впервые задачу поиска оптимальной стратегии страхования в своей работе поставил Эрроу [2], тем самым заложив основы теории дележа риска в математическом страховании. В этой работе он описал страховую модель, в которой премия страхователя высчитывалась принципом среднего значения и показал, что при таких условиях для клиента оптимальным является дележ формы франшиза. Эта статья легла в основу многих научных работ в сфере страхования, связанным с поиском оптимальных стратегий страхования.

Важный для решения вывод был сделан автором в статье [3] - в ней было определено, что решение подобной задачи поиска оптимальной стратегии страхования заключается в применении страхования с верхним пределом (stop-loss дележ риска). Его суть описывалась ранее при определении ограничения на допустимые функции дележа риска: страховщик выплачивает лишь какую-то часть ущерба клиента, если он оказался больше некоторого выбранного числа k*, которое называется верхним пределом ответственности страховщика (upper limit). Подобная стратегия страхования используется компаниями для избегания колоссальных убытков и возможного разорения при попытке покрытия таких страховых случаев, если у страхователя могут появиться огромные значения ущерба.

В статье [4] автор рассматривал задачу нахождения оптимальных решений при введении разнообразных условий на стоимость страховых полисов для клиентов. В ходе исследования было обнаружено, что нет единого вида оптимального решения - это могут быть самые разнообразные виды страхования, такие как франшиза (deductible в зарубежной литературе), совместное страхование или сострахование и другие виды. Также были изучены выводы, полученные в статье [5], в которой проводилось исследование влияния различных видов функции полезности на уровень франшизы, когда на выплаты страховщика введено ограничение сверху. В ней было показано, что такое страхование защищает страховщика от возможного разорения в случае необходимости выплатить огромные компенсации, например, при техногенной катастрофе. Также было доказано, что если предпочтения страхователя выражены абсолютным неприятием риска, то увеличение верхнего предела франшизы приведёт к увеличению спроса на страхование от небольших убытков. Данный результат показывает эффективность подобной политики и её практическую выгоду.

Изученные работы позволили понять какими методами пользуются авторами и как должно выглядеть решение нашей задачи. Далее перейдём непосредственно к введению основных понятий и определений математической теории страхования, которые помогут нам подробно описать предлагаемую для исследования модель:

Статическая модель страхования подразумевает под собой некоторый набор полисов, каждый из которых был сформирован одновременно с договорами на одинаковые сроки. В этой модели также принимается, что все клиенты производят оплату полиса страхования в начале периода, либо несколькими выплатами во время действия договора и в течение срока действия не происходит оформление договоров с новыми клиентами. Свои обязательства по выплатам страховщик исполняет в конце времени действия договора независимо от того, когда произошёл страховой случай.

Количество клиентов в модели будем обозначать n. Ущербы клиентов в данной модели принимаются за случайную величину и обозначаются в страховании , где номер клиента. Величина ущербов определяется в денежном эквиваленте, каждый ущерб считается независимой и неотрицательной случайной величиной. Для дальнейшего исследования определим также функции распределения указанных случайных величин и отметим особенность данной функции - скачок в нуле, который означает вероятность того, что страховой случай не произойдёт в течение действия периода страхования. Взнос, который платит клиент страховой компании соответственно обозначим , где M и L - это соответственно рисковая премия и нагрузка, , а , как правило, выражается в процентах от M и задаётся коэффициентом нагрузки б: . Введём ещё несколько важных обозначений для дальнейшего решения:

- сумма всех взносов клиентов

- некоторый резерв компании на начало страхового периода

- ожидаемая суммарная выплата клиентам в конце страхового периода или принятый компанией риск.

Благодаря введённым понятиям и определениям можно описать капитал компании к концу страхового периода, который также называют остаточным и обозначают , что также является случайной величиной. Стоит выделить величину w, так как она играет немалую роль при покрытии ущербов, а соответственно имеет важное прикладное значение. Данная величина подразумевает собой тот запас средств, который имеет компания для покрытия расходов, которые не окупились полученными от купленных полисов деньгами.

Теперь можно перейти непосредственно к описанию используемой модели. Важной характеристикой в страховании также является вероятность неразорения , которая означает, что размер суммы выплат клиентам не превышает количества средств компании. В общем случае событие, называемое в введённых терминах разорение, не означает как такого ухода страховщика с рынка, а говорит о неверности выбранной стратегии. При возникновении подобного события компания может просто перевести деньги из других направлений деятельности или взять кредит на выплату долгов по своим обязательствам и восстановить своё положение на страховом рынке с использованием новой стратегии. Однако, при возникновении нескольких таких разорений компания может не оправится от финансовых потерь и потерять своих клиентов, а, следовательно, и возможность восстановиться.

Как уже было сказано, в рассматриваемой модели имеется n клиентов и сама страховая компания, то есть n+1 участник. Значения возможных ущербов клиентов выражены в виде независимых и неотрицательных случайных величин . Пусть они имеют одинаковые функции распределения . В рассматриваемой задаче мы исходим из предположения, что страховщик выбирает некоторую стратегию страхования (функцию дележа риска) . В наших обозначениях - это величина, которую страховщик выплачивает i-му страхователю в случае рисковой ситуации. Эта величина является случайной и, как можно заметить, она представляет собой только некоторую долю от полной величины ущерба. Таким образом сумму всех взносов клиентов можно записать в следующем виде: . Мы используем в формуле по той причине, что ущербы клиентов распределены одинаково.

Нашей задачей является как раз поиск такой стратегии между страховщиком и каждым из n страхователей, чтобы она была оптимальной и, соответственно, приемлемой как для компании, так и для клиентов.

Оптимальная стратегия страхования может быть найдена несколькими способами. Возможно применение линейной теории полезности, где задача сводится к поиску функции дележа, которая будет максимизировать полезность остаточного капитала страховщика . В общем виде рассматриваемый функционал выглядит так: . Также есть более примитивный метод, суть которого заключается в анализе величины математического ожидания конечного капитала: .

В описываемой модели используется функционал типа Марковица , где и > 0 - коэффициент неприятия риска, который задаётся рынком страхования. Данный функционал широко применим в финансовой математике, он зависит только от среднего значения и стандартного отклонения , где заданная скалярная функция со свойствами:

Одной из главных задач для страховщика является выбор размера страхового взноса. При выборе слишком большого значения клиенты могут просто отказаться от страхования и уйти, например, к другому страховщику, а при слишком низком значении страховщик может не справится с выплатами по произошедшим страховым случаям. Есть теоретически верный и приемлемый способ вычисления оптимальных взносов, который завязан на знании функции полезности компании страховщика и функциях полезности потребителей. Если для компании такую функцию определить можно, то на практике определить функцию полезности для каждого клиента крайне затруднительно, поэтому теоретический метод вычисления нам не подходит.

Воспользуемся знаниями о «Практических» методах расчёта страхового взноса, которые наиболее часто применяются в страховании:

Формула среднего значения:

Формула вариации или формула дисперсии:

Формула стандартного отклонения:

В нашей задаче выберем для расчета первый способ, так как он используется наиболее часто в страховании.

Соответственно сама проблема, которую нам необходимо решить, будет представлять собой задачу максимизации указанного функционала на множестве допустимых функций . Формально имеет следующий вид:

- сумма ущербов клиентов в конце страхового периода

- сумма взносов всех клиентов

капитал компании после страхового периода и начальный капитал соответственно

Глава 2. Аналитическая часть

Перейдём непосредственно к решению поставленной задачи:

, где и > 0 - коэффициент неприятия риска страховщика, который задаётся рынком страхования.

Запишем условие задачи в явном виде, посчитав математическое ожидание и дисперсию:

При вычислении мы воспользовались основными свойствами математического ожидания и дисперсии и, таким образом, получили следующий вид поставленной задачи:

Теорема:

Единственным решением задачи (1) является функция , где уровень k является корнем уравнения

Ниже приведём график оптимальной стратегии страхования для наглядности:

Рис. 1 Функция дележа риска с верхним пределом

По оси абсцисс отложим ущербы клиентов, а по оси ординат сумму, которую будет выплачивать страховщик клиенту в случае рисковой ситуации, т.е. изобразим функцию дележа риска. Как можно заметить из графика (Рис.1), особенность подобного дележа заключается в том, что компания избавляет себя от выплат больших, чем некоторое число k*, возможные значения которого мы и будем исследовать в этой работе. Тем самым, страховщик избегает риска разорения при выплате колоссальных сумм, которые могут появиться, например, при техногенной катастрофе.

Докажем теперь утверждение, что I*(x) - оптимальная функция дележа.

Для любой I(x), вследствие выпуклости функционала J[I], выполняется необходимое и достаточное условие оптимальности, которое было показано в [3]:

(4)

Далее предлагается продифференцировать данное выражение для получения необходимого и достаточного условия оптимальности. Конечное выражение получается следующим:

Для дальнейшего решения требуется найти функцию . Посчитаем для начала , где . Воспользуемся полученными ранее результатами вычисления ES (3) и получим конечное выражение :

Теперь продифференцируем полученное уравнение:

Здесь мы воспользовались тем фактом, что производная математического ожидания случайной функции равна математическому ожиданию производной этой функции.

Полученный результат можно записать в следующем виде:

Следующим шагом нам потребуется найти выражение при помощи известной формулы для нахождения дисперсии:

Продифференцируем данное выражение и найдём его значение при условии, что

Воспользуемся выведенным ранее выражением для дисперсии (3) в этой задаче:

Перепишем данное выражение в интегральном виде аналогично полученному выше математическому ожиданию:

Запишем теперь неравенство (4), подставив в него все найденные значения. Так как в нашей задаче исследуется функционал Марковица то выражение можно записать так:

То есть , где

Следовательно, , которое является нашим искомым дележом риска, можно найти, решив задачу максимизации интеграла:

(5)

Решение будем искать на множестве измеримых функций . Изучением подобных задач занимаются в теории моментов, методами которой мы и воспользуемся для поиска решения. Нами будет применена лемма Неймана-Пирсона, которая формулируется следующим образом в [3]:

«Пусть на множестве [a, b] заданы функции удовлетворяющие условиям: , они измеримые по Борелю как и заданная функция . Пусть на [a, b] также задана вероятностная мера с функцией распределения F(x) и интегралы и конечны.

Функция доставляет максимум интегралу

На множестве борелевских функций тогда и только тогда, когда

С точностью до множества нулевой меры F.»А.Ю. Голубин Математические вопросы управления риском в базовых моделях страхования

Перепишем данное выражение в соответствии с поставленными в исследовании условиями:

(6)

Заметим, что наша функция зависит от неизвестного дележа . Рассмотрим поведение функции в зависимости от значений x: при x=0 наш функционал , при возрастании x от 0 она монотонно убывает. Отметим тот факт, что в таком случае по (6). В силу убывания функция коснётся оси абсцисс в некоторой точке и после этой точки дальнейшее её убывание будет невозможно, поскольку по (6) при , а это приводит нас к противоречию, так как при . Следовательно, мы получили выражение для оптимального дележа риска: .

Соответственно теперь, когда мы определили вид оптимального дележа риска нам необходимо получить выражение для . Для этого подставим в уравнение выражения k вместо и вместо . Получившееся выражение имеет вид . Решив это уравнение мы найдём искомую точку касания оси абсцисс функцией :

Таким образом точка пересечения графика и оси абсцисс будет являться корнем уравнения .

Глава 3. Примёр расчёта оптимальной стратегии страхования

Введём понятие страховой выплаты, которая обозначается и имеет функцию распределения . Страховой выплатой называется размер ущерба клиента, который необходимо возместить страховщику, при условии, что имела место случай. Также заметим, что страховая выплата не может быть нулевой. Страховые выплаты это независимые, положительные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения, т.е. .

Рис. 2 Функция распределения риска при страховании с верхним пределом

В качестве функции распределения выплаты используем популярную функцию в теории вероятностей - экспоненциальную функцию , в которой л > 0 - это параметр распределения. Следовательно, функция распределения ущерба будет принимать следующий вид:, здесь и далее p - это вероятность страхового случая.

Теперь воспользуемся найденным выше уравнением для поиска уровня k.

Зная функцию распределения ущербов, теперь мы можем найти значение :

Подставим полученное выражение в наше уравнение :

Для дальнейших расчётов зафиксируем значения переменных: пусть б = 0.1, в = 0.2, л = 0.1 и p=0.05. Как можно заметить, решение уравнения не зависит от параметра n, а значит на решение страховщика о выборе верхнего предела для выплат не влияет количество его клиентов.

Далее воспользуемся удобной для вычисления k программой Wolfram Mathematica. Помимо этого, меняя различные параметры, проследим как это влияет на значение k. Для удобства запишем полученные результаты в таблице.

Для начала изучим влияние коэффициента нагрузки б на верхний предел ответственности страховщика:

Таблица 1

б^	и	л	??	k^
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977
0.2	0.2	0.1	0.05	0.525601
0.3	0.2	0.1	0.05	0.787882
0.4	0.2	0.1	0.05	1.04983

Рис. 3 График зависимости верхнего предела выплаты от коэффициента нагрузки

Исходя из полученных результатов, имеется прямая зависимость значения k от роста значения коэффициента нагрузки (Таблица 1, Рис.3).

Теперь рассмотрим на влияние коэффициента и на значение k:

Таблица 2

б	и ^	л	??	kv
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977
0.1	0.3	0.1	0.05	0.175458
0.1	0.4	0.1	0.05	0.131534
0.1	0.5	0.1	0.05	0.105234

Рис. 4 График зависимости верхнего предела выплаты от коэффициента неприятия риска

В случае с коэффициентом неприятия риска наблюдается обратная зависимость изменения значения k (Таблица 2, Рис.4). Это объясняется тем, что страховщик, желая сделать свои условия более выгодными, увеличивает его значения и, тем самым, уменьшает значение своего верхнего предела ответственности.

В следующей таблице приведём результаты расчётов при увеличении параметра л экспоненциального распределения:

Таблица 3

б	и	л^	??	kv
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977
0.1	0.2	0.2	0.05	0.262801
0.1	0.2	0.3	0.05	0.262627
0.1	0.2	0.4	0.05	0.262458

Рис. 5 График зависимости верхнего предела выплат от параметра экспоненциального распределения

Ожидаемо с увеличением параметра распределения л происходит понижение k (Таблица 3, Рис.5).

Осталось проанализировать последнюю зависимость - от изменения вероятности того, что случится рисковая ситуация.

Таблица 4

б	и	л	??^	k^
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977
0.1	0.2	0.1	0.15	0.293366
0.1	0.2	0.1	0.25	0.331522
0.1	0.2	0.1	0.3	0.354482

Рис. 6 График зависимости верхнего предела выплат от вероятности страхового случая

Обнаружена прямая зависимость между этими двумя величинами (Таблица 4, Рис.6)

Поиск максимального значения функционала

Вернёмся к поставленной в самом начале главы задаче поиска наибольшего значения функционала J[I]. Подставим в эту задачу найденное оптимальное решение , при котором функционал достигает своего наибольшего значения.

Наш функционал Марковица имеет следующий вид:

оптимальный страхование риск функционал

- посчитали в предыдущей части работы

Теперь найдём дисперсию известным нам способом:

Найдём выражения для математического ожидания и дисперсии остаточного капитала при использовании нашей оптимальной стратегии страхования и . Пользуясь высчитанными ранее выражениями для матожидания и дисперсии (3) и (4) получаем:

Таким образом получаем конечное выражение для нашего функционала полезности типа Марковица:



Теперь найдём значение функционала при найденном в прошлой главе значении =0.262977. Параметры фиксируем аналогично предыдущей главе: б = 0.1, и = 0.2, л = 0.1 и p=0.05, а также добавим значения w=20, n=200.

Получаем следующее значение функционала:

Теперь подтвердим, что найденное значение является максимальным для нашего функционала. Нам потребуется вычислить максимальное значение функционала при и найти k, при котором оно достигается. Выполним данные вычисления также при помощи Wolfram Mathematica:

при

Таким образом мы доказали, что при найденном значении k функционал принимает своё наибольшее значение.

Приведём в виде таблиц изменения принимаемых функционалом значений в зависимости от изменений параметров, аналогично проведённому в предыдущей главе анализу:

Таблица 5

б^	и	л	??	k^	J[I]^
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977	20.1304
0.2	0.2	0.1	0.05	0.525601	20.5167
0.3	0.2	0.1	0.05	0.787882	21.1521
0.4	0.2	0.1	0.05	1.04983	22.0298

Таблица 6

б	и ^	л	??	kv	J[I]v
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977	20.1304
0.1	0.3	0.1	0.05	0.175458	20.0872
0.1	0.4	0.1	0.05	0.131534	20.0655
0.1	0.5	0.1	0.05	0.105234	20.0524

Таблица 7

б	и	л^	??	kv	J[I]v
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977	20.1304
0.1	0.2	0.2	0.05	0.262801	20.1292
0.1	0.2	0.3	0.05	0.262627	20.1280
0.1	0.2	0.4	0.05	0.262458	20.1269

Таблица 8

б	и	л	??^	k^	J[I]^
0.1	0.2	0.1	0.05	0.262977	20.1304
0.1	0.2	0.1	0.15	0.293366	20.4361
0.1	0.2	0.1	0.25	0.331522	20.8212
0.1	0.2	0.1	0.3	0.354482	21.0536

Из значений в полученных данных (Таблица 5 - Таблица 8) легко заметить, что значение функционала имеет прямую зависимость от значения уровня k, а соответственно при изменении наших параметров меняется в «ту же сторону», что и значение k.



Заключение

В работе были введены основные определения и обозначения из математической теории страхования, описана модель и в рамках этой модели решена задача оптимизации с поставленным целевым функционалом. Было доказано изначальное предположение, что оптимальным дележом риска является страхование с верхним пределом или stop-loss страхование. Было выведено уравнение для расчёта уровня , которое зависит от параметров, задающих исследуемую модель (коэффициент неприятия риска и, коэффициент нагрузки б и другие). Рассмотрен численный пример, в рамках которого были исследованы изменения уровня страхования индивидуально для изменения каждого параметра системы. Более того, найденная формула для уровня страхования позволяет рассчитать значения, доставляющие максимум исследуемому функционалу типа Марковица. Результаты исследования могут быть применены в прикладных задачах страхования и использоваться для более глубоких исследований в области страхования вообще и поиска оптимальных дележей риска в частности.



Список использованной литературы

[1] Actuarial Mathematics. by Newton L. Bowers, Jr., Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbitt

[2] Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Wyley & Sons, 1971.

[3] Голубин А.Ю. Математические вопросы управления риском в базовых моделях страхования. М.: АНКИЛ, 2013 C 123-137

[4] Blazenko G. Optimal Indemnity Contracts // Insur. Math. Econ. 1985. V. 4. P. 267 - 278.

[5] Cummins J., Mahul O. The Demand for Insurance with an Upper Limit on Coverage // J. Ri первый способ, так как оноой и ки и знания,по постановке ха()и поиска оптимальных дележей риска в частности.аждого параметра сиsk Insur. 2004. V. 71 No.2. P. 253 - 264.

Размещено на Allbest.ru

...