Балансовые определенные системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Балансовые определенные системы

1. Назначение разработки, область применения и её ограничения

Программно-методическая разработка по теме «Балансовые определенные системы» предназначена для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям «Государственное и муниципальное управление», «Менеджмент», «Экономика и управление промышленным предприятием» и др. Пособие может быть использовано для изучения предметов «Основы математического моделирования социально-экономических процессов», «Экономико-математические методы и модели», «Программные средства решения экономических задач», и т.п. Основная цель пособия - поддержка изучения базовых компьютерных технологий моделирования социально-экономических систем на уровне базовых понятий и практического применения теории определенных систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрен игровой вариант задачи межотраслевого внутрифирменного баланса на основании модели В.В.Леонтьева. Приведено детальное описание всех этапов математического и компьютерного моделирования в среде EXCEL, интерфейсы используемых программ EXCEL, схемы размещения исходных данных и промежуточных и окончательных результатов расчетов. Пособие может быть полезным также и для студентов магистратуры, аспирантов, преподавателей и всех, интересующихся применением компьютерных технологий для моделирования социально-экономических процессов и преподавания соответствующих дисциплин.

Определенные системы линейных алгебраических уравнений используются для моделирования балансовых линейных экономических систем в ситуациях, когда число уравнений равно числу неизвестных. В качестве примера использования возможностей табличного процессора EXCEL для исследования подобных экономических систем рассмотрим модели межотраслевого баланса В.В.Леонтьева.

Общая формулировка задачи Рассматривается экономическая система, состоящая из ряда специализированных секторов - чистых отраслей, производств. Каждая отрасль производит продукцию, которая потребляется остальными отраслями, в том числе, возможно, и самой производящей отраслью, и непроизводственным сектором. Каждая отрасль также характеризуется определенным объемом условно чистой продукции. При этом для каждой пары отраслей известны коэффициенты, показывающие, какое количество продукции первой отрасли (производящей) необходимо для выпуска единицы продукции второй отрасли (потребляющей). Требуется построить модель, позволяющую планировать объемы выпуска продукции по отраслям (валовый выпуск) и объемы потребления в непроизводственной сфере (конечное потребление).

Планируется организовать выпуск N видов продукции, имея запасы М видов ресурсов. Для каждого вида продукции известны удельные нормы расхода каждого вида ресурсов - a_ij. Также известны объемы запасов каждого ресурса - b_i. Требуется найти план выпуска, обеспечивающий соблюдение лимитов запасов ресурсов и выполнение плановых показателей, один из которых является контрольным. Допускается наличие складских остатков и превышение второстепенных плановых показателей. Предусматривается только производство изделий или отсутствие их в плане.

Пример формулировки. Фирма СП «Аленушка & Барби» (СП А&Б) имеет в своем составе три структурных подразделения - производственный цех, склад и транспортный отдел. Каждое из подразделений пользуется услугами других и потребляет свою продукцию. Известно, какое количество продукции каждого подразделения необходимо для выпуска единицы продукции других подразделений (в сопоставимых единицах - стоимостном выражении). Также известны плановые задания для каждого подразделения по оказанию услуг сторонним заказчикам. Данные приведены в таблице 1. Требуется рассчитать производственные планы (валовый объем выпуска) для каждого подразделения.

Структурная модель межотраслевого баланса. В структуре СП А&Б можно выделить два подмножества - множество структурных подразделений фирмы М и множество, представляющее конечных потребителей продукции фирмы Y. Множество М состоит из трех элементов М={Цех, Склад, Гараж}, или М={а, в, с}, где а - цех, в - склад, с - гараж. Конечных потребителей представим множеством с одним элементом: Y={y}. Элементы М могут выступать в качестве производителя или потребителя. С учетом статуса элемента можно определить еще два подмножества. Это множество производителей А, включающее в себя все подразделения фирмы А=М. И множество потребителей С, включающее в себя подразделения фирмы, потребляющие услуги других подразделений и свои собственные, дополненное множеством Y, С=МUY. Описать взаимодействие между элементами можно, введя отношение R=«оказывать услуги», определенное на прямом произведении множеств А и С B=AЧC=MЧ(MUY). Тогда RB. Прямое произведение B=AЧC представляет собой множество всевозможных пар вида (a_i, c_j), где a_i,М, c_jC. Это пары цех-склад, склад-гараж, цех-цех, склад-заказчик и другие. Множество B=AЧC выступает в качестве носителя отношения R. При этом R будет включать в себя множество всех пар вида (a_i, c_j) таких, что элемент a_i оказывает услуги элементу c_j. Рассмотрим две формы представления модели - графическую (в виде графа) и матричную - в виде таблицы Кэли.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Граф балансовой экономической системы. На графе производители, показаны зеленым, потребители - фиолетовым цветом. Отдельно оранжевым цветом показан внешний заказчик. Стрелками на графе показаны производственные связи между элементами экономической системы - элементы отношения R=AC=M(MUY).

Матричная модель балансовой системы. Носитель модели - прямое произведение B=AЧC=MЧ(MUY) можно представить в виде таблицы с двумя входами. Вертикальный вход таблицы - множество производителей А=М, рассматриваемых в качестве. Горизонтальный вход - множество потребителей С=МUY Тогда B=AЧC=MЧ(MUY) представляет множество всех клеток таблицы. Отношение R=«оказывать услуги» в таблице отображается следующим образом. Если подразделения m_i и m_j связаны производственными отношениями, то в ячейке (i,j) ставится 1, если в процессе производства подразделение-производитель m_i, обозначенное в вертикальном заголовке, оказывает услуги подразделению-потребителю m_j, обозначенному в горизонтальном заголовке. Если производственная связь между подразделениями отсутствует, то ставится 0.

Матрица Кэли для исследуемой производственной структуры показана в таблице 2. Поскольку по условию каждое подразделение оказывает услуги всем остальным, в том числе потребляет собственные - все элементы данной матрицы равны 1.

Матрица весов отношения R. Для элементов отношения R, можно ввести количественные характеристики. При этом в структуре R выделяются два подмножества. Первое - описывает взаимодействие между структурными подразделениями, являющимися поставщиками взаимных услуг. Его характеристики - удельные объемы потребления продукции производящего подразделения на выпуск единицы продукции потребляющего подразделения, - приведены в первых трех столбцах таблицы 1. Второе описывает отношения между подразделениями и обобщенным внешним заказчиком Y. Его характеристиками являются суммарные объемы заказов сторонних клиентов, приведенные в последнем столбце таблицы 1.

Модель межотраслевого баланса В.В.Леонтьева Следуя В.В.Леонтьеву, рассмотрим систему на уровне экономики страны. Однако, такой подход может использоваться для анализа более мелких социально-экономических структур - регионов, муниципалитетов, отдельных субъектов экономики.

Исследуемая экономическая система представляется в виде множества М - совокупности N так называемых «чистых» производственных отраслей и сектора конечного потребления Y. Каждая отрасль для выпуска своей продукции использует продукцию других отраслей и свою собственную. Задачей анализа является определение количественных характеристик секторов.

Пусть x_ij - объем продукции отрасли m_i, потребляемый отраслью m_j, Y_i- объем конечного потребления продукции отрасли m_i, в непроизводственном секторе экономики, Z_j - условно чистая продукция отрасли m_j (оплата труда, амортизация оборудования и чистый доход отрасли). Все эти величины могут выражаться в натуральной форме или в сравнимой - стоимостной. Для упрощения предположим, что мы рассматриваем вторую форму - стоимостной межотраслевой баланс.

Обозначим E_i суммарный объем поставок отрасли m_i всем остальным отраслям: E_i=. Тогда валовый выпуск продукции отрасли m_i, который обозначим X_i, будет равен сумме объемов продукции данной отрасли, потребляемых в производящих секторах, и объемов конечного потребления:

X_i=E_i+ Y_i = + Y_i

Теперь пусть I_j - суммарный объем продукции всех отраслей промышленности, потребляемый для выпуска продукции отраслью m_j: I_j= Тогда общий объем потребления в данной отрасли X_j складывается из объемов потребляемой продукции промышленности и объема условно чистой продукции Z_j:

X_j = I_j + Z_j = + Z_j

Введя эти величины, В.В.Леонтьев предположил, что для соблюдения равновесия в экономической системе должно выполняться условие равенства суммарных объемов производства и суммарных объемов потребления:

=

откуда следует равенство

( + Y_i) = ( + Z_j)

Следствием данного равенства является соотношение

Y_i = Z_j

которое означает, что в равновесных (балансовых) экономических системах суммарные объемы конечного потребления продукции всех производителей должны равняться суммарным объемам условно чистой продукции по отраслям.

Второе предположение В.В.Леонтьева состоит в том, что объемы продукции производящих отраслей, потребляемые в отрасли m_j, пропорциональны величине валового продукта данной отрасли X_j, то есть, что существует линейная зависимость x_ij = a_ij X_j. Коэффициенты пропорциональности a_ij в этом выражении называются коэффициентами прямых материальных затрат. Они полагаются известными и на протяжении периода планирования остаются постоянными. То есть используемые в производстве технологии неизменны. Подставляя это соотношение в выражение для валового выпуска продукции отрасли m_i, можно получить выражение

моделирование балансовый линейный определенный

X_i=E_i+ Y_i = + Y_i= a_ij X_j+ Y_i

Данное соотношение и представляет собой модель линейной балансовой экономической системы В.В.Леонтьева. Для построения компьютерной модели запишем модель В.В.Леонтьева в матричной форме.

Матричная форма модели межотраслевого баланса Совокупность коэффициентов прямых материальных затрат образует матрицу прямых затрат A={ a_ij }, совокупность объемов конечного потребления образует вектор конечного потребления Y={ Y_i }, совокупность объемов валового выпуска отраслей промышленности образует вектор валового выпуска X={ X_i }. Используя эти обозначения, модель Леонтьева можно записать в матричной форме в виде

X=AX + Y

Данная форма модели межотраслевого баланса В.В.Леонтьева наиболее удобна для теоретического анализа и построения на ее основе компьютерных моделей исследуемых систем.

Исследование модели Леонтьева. Модель межотраслевого баланса позволяет ставить и исследовать три основные задачи планирования производства.

Задача 1:Определить объемы потребления продукции каждой чистой отрасли в непроизводственной сфере (объемы конечного потребления) при заданных объемах валового выпуска продукции каждой чистой отрасли.

Здесь предполагается, что вектор Х задан, и требуется определить, сколько промышленной продукции можно передать на конечное потребление после удовлетворения нужд всех отраслей. В этом случае из матричного уравнения баланса можно выразить вектор конечного потребления Y= X-AX. Или

Y= (E-A)X

Здесь E - единичная матрица. Решая задачи планирования с применением данной схемы, следует иметь ввиду, что компоненты вектора Y должны быть по меньшей мере неотрицательными. То есть должно выполняться матричное неравенство X > AX, которое понимается в смысле Парето, что означает, что аналогичные соотношения должны выполняться для всех компонент векторов Х и АХ с одинаковыми индексами. Выполнение данного неравенства зависит от свойств матрицы А. Матрица, удовлетворяющая указанному соотношению, называется продуктивной. Для того, чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено одно из трех условий:

1) Матрица (E-A) должна быть неотрицательно обратима, т.е В?0

2) Матричный ряд Е + А + А²+ А³+ А⁴+…= должен сходиться, причем его сумма должна равняться матрице В=(E-A)^-1.

3) Наибольшее по модулю собственное значение л_max матрицы А, т. е. решение характеристического уравнения |лE - А|=0, должно быть строго меньше 1: л_max < 1.

4) Все главные миноры матрицы (E-A), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до N положительны.

В ряде практических случаев может оказаться полезным способ проверки продуктивности матрицы, основанные на величине ее нормы, понимаемой как максимум сумм элементов матрицы А по столбцам. Если эта величина меньше 1, до данная матрица продуктивна. Следует отметить, что это условие является достаточным, но не необходимым. То есть матрица может оказаться продуктивной и в случае, если ее норма и больше 1.

Задача 2:Определить планы производства - объемы валового выпуска - по отраслям, считая объемы потребления продукции каждой чистой отрасли в непроизводственной сфере известными.

Решением данной задачи является вектор планируемых объемов валового выпуска продукции X= (E-A)^-1Y Здесь (E-A)^-1 - это матрица, обратная матрице (E-A). Она обозначается В и называется матрицей полных материальных затрат. Ее элементы показывают, какое количество продукции отрасли m_j требуется для того, чтобы в сферу конечного потребления выпустить одну единицу продукции отрасли m_i.

Задача 3:Для ряда отраслей по заданным объемам валового выпуска определить объемы конечного продукта: для остальных - по заданным объемам конечного потребления определить объемы валового выпуска.

Данная задача представляет собой композицию задач 1 и 2. Для ее решения систему следует разбить на подсистемы - группы отраслей, соответствующие указанным задачам и решать эти задачи независимо.

Решение определенной системы. Рассмотрим в качестве примера решение задачи 2 - планирование валового выпуска при заданных матрице коэффициентов прямых материальных затрат А и векторе конечного потребления Y. Алгоритм ее решения включает в себя следующие шаги.

1) Ввод данных - матрицы А, вектора Y и единичной матрицы Е.

2) Размещение вектора плана Х.

3) Вычисление матрицы -А как произведения матрицы А на -1

4) Вычисление суммы матриц Е и -А.

5) Вычисление матрицы В=(Е-А)^-1

6) Вычисление вектора плана Х как произведения В и Y, Х=ВY

7) Проверка полученного решения - вычисление произведения (Е-А)Х и сравнение его с Y. При необходимости - округление произведения (Е-А)Х.

Компьютерная модель межотраслевого баланса. В соответствии с описанным выше алгоритмом на первом этапе построения компьютерной модели исходные данные размещаются на рабочем листе (см. рис. 2).

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А размещается в блоке ячеек В5:D7, вектор конечного потребления (заказы) Y - в блоке Е5:Е7, единичная матрица - в блоке G5:I7. Для программирования вычисления матрицы -А отведен блок B11:D13. В этот блок в режиме матричных расчетов введена формула произведения матрицы А на -1: =-1*B8:D10. Вид фрагмента рабочего листа в режиме проверки формул и результат показан на рис.3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Общий вид компьютерной модели задачи поиска плана валового выпуска (модель Леонтьева).

В блоке B16:D18 размещена матрица Е-А. Для ее вычисления использована матричная формула =G8:I10+B20:D22 (см. рис.4). В блоке B34:D36 размещена матрица В= (E-A)^-1. Она вычисляется при помощи матричной функции МОБР. Код оператора =МОБР(B27:D29) (см. рис.5). Как показано на рис. 2, вектор плана валового выпуска размещен в блоке А28:А30 (=МУМНОЖ(B21:D23;E5:E7)), произведение (Е-А)Х - в блоке В28:В30 (=МУМНОЖ(B16:D18;A28:A30)). В блоке С28:С30 размещены индикаторы сравнения произведения (Е-А)Х и вектора конечного потребления Y (=B28=E5). Содержимое указанных блоков показано на рис. 3-7.

Рисунок 3. Расчет матрицы -А в режиме проверки формул и результат.

Рисунок 4. Расчет матрицы Е-А в режиме проверки формул и результат.

Рисунок 5. Матрица В= (E-A)^-1 в режиме проверки формул и результат

Рисунок 6. Вектора Х и (Е-А)Х и результаты сравнения до округления в режиме проверки формул.

Рисунок 7. Вектора Х и (Е-А)Х и результаты сравнения до округления в режиме результатов расчетов.

Рисунок 8. Округление вектора (Е-А)Х и проверка равенства Y= (Е-А)Х в режиме проверки формул и результаты расчетов.

Для проведения промежуточных расчетов в описываемой компьютерной модели используется функция EXCEL МОБР, позволяющая вычислить обратную матрицу. Данная функция реализует численный алгоритм вычислений обратной матрицы, который позволяет получить не точное, а лишь приближенное значение элементов обратной матрицы. При этом ошибка вычислений очень мала - она имеет порядок 10^-15, но такое отличие обнаруживается при сравнении результатов вычисления произведения (Е-А)Х и вектора Y. В результате некоторые ячейки блока индикаторов могут принимать значение «ЛОЖЬ». Чтобы избавиться от таких эффектов, результаты расчетов следует округлить. Для этого в модель введена соответствующая операция (блок D28:D30 содержит код =ОКРУГЛ(B28:B30;0)). Сравнение результатов округления расчетного значения произведения (Е-А)Х и вектора Y (блок Е28:Е30, код =D28:D30=E5:E7) позволяет установить, что результаты теперь совпадают (рис.8). Следовательно, проверка завершена и искомое решение - план выпуска продукции подразделениями СП А&Б - найден.

Исследование экономической системы при помощи компьютерной модели. Отметим, что построенная нами компьютерная модель СП А&Б может быть использована не только для однократного расчета плана Х. Имея готовую модель, настроенную, как описано выше, можно определить, как повлияет на план выпуска изменение объемов конечного потребления. Для этого достаточно изменить соответствующие компоненты вектора конечного потребления Y. Модель позволяет проводить некоторые дополнительные исследования работы данного предприятия. Например, промоделировать эффекты применения новых технологий в производственном цикле. Для этого достаточно внести соответствующие изменения в матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А. Все расчеты выполняются автоматически. Кроме того, рассмотренную модель можно дополнить проверкой матрицы А на продуктивность. Для этого необходимо ввести соответствующие настройки, используя одно из приведенных выше условий продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Мы рассмотрели компьютерную модель второй задачи исследования балансовой экономической системы. Модели первой и третьей задач могут быть построены аналогично.

2. Используемые технические и программные средства

Для создания данного электронного продукта использовался персональный компьютер типа Intel Pentium IV c операционной системой Microsoft Windows XP Professional версия 2005 Service Pack 2. Использовался пакет MS-OFFICE с текстовым редактором MS-Word 2003 и MS-Excel 2003.

Размещено на Allbest.ru