Разработка модели заданной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Брестский государственный технический университет

Кафедра ИИТ

Контрольная работа № 1

по дисциплине: «Моделирование систем»

Выполнил:

Студент З.О, гр. АС 568

Шифр 1456817

Хомета А.Е.

Проверил:

Муравьев Г.Л.

Брест 2018



1. Постановка задачи

Требуется разработать модели заданной системы, исследовать модели и систему. Тип моделей - Q-схема. Способы расчета - имитационный (в среде GPSS World на языке GPSS).

Вариант 27. Внешняя среда представлена источником запросов (узел S0), приемником обслуженных запросов (узел S5). Число типов потоков запросов Q - 2 (55% заявок первого типа).

Потоки различаются параметрами законов поступления и обслуживания. Законы поступления запросов 1 и 2 типов произвольные. Законы обслуживания запросов 1 и 2 типов соответственно - Эрланга(2) и Эрланга(4).

Порядок движения запросов в процессе обслуживания представлен матрицей переходов P (где число - вероятность выбора маршрута).

Таблица 1. Матрица переходов системы

	S0	S2	S3	S4	S5
S0		1
S2		0,55	0,2	0,25
S3		1
S4					1
S5					1

Таблица 2. Параметры системы

№	ПОТОКИ	УСТРОЙСТВА
	№	%	mТ	№	K	mt	№	K	mt	№	K	mt	№	K	mt	№	K	mt
27							2	2		3	1		4	2
	2	100	82						4			4			11

Здесь:

% - доля запросов соответствующего типа в общем потоке запросов;

M_T - для входного потока это среднее время между соседними запросами;

K - количество каналов соответствующего устройства;

m_t - для устройства это среднее время обслуживания в его канале запроса соответствующего типа.



2. Разработка концептуальной и математической модели

2.1 Построение схемы модели

В моделируемой системе (см. рисунок 1) после выхода из узла S2 дальнейший маршрут заявки определяется вероятностным выбором из трех альтернатив - необходимы узлы S6, S7 для разбития на составные вероятностные узлы из двух альтернатив, для каждой пришедшей заявки выбор маршрута в соответствии с заданными вероятностями.

Состав узлов:

S0 - источник запросов (генератор);

S2 - устройство с обслуживанием в одном из 3-х каналов;

S3 - устройство с обслуживанием в одном канале;

S4 - устройство с обслуживанием в одном канале;

S6 - маршрутный вероятностный узел;

S7 - маршрутный вероятностный узел;

S5 - приемник обслуженных запросов.

Уточненная схема модели изображена на рисунке 1:

Рисунок 1. Схема модели

В соответствии с полученными данными уточняем матрицу переходов.

Порядок движения запросов в процессе обслуживания представлен ниже матрицей переходов в таблице 3:

Таблица 3. Уточненная матрица переходов

	S0	S2	S3	S4	S6	S7	S5
S0		1
S2					1
S3		1
S4							1
S6		0.55				0.45
S7			0.444	0.556
S5							1

Учитывая особенности языка GPSS, тройной маршрутный узел b₅ был представлен двумя маршрутными узлами b₅ и b₆.

2.2 Описание параметров системы

Для потока параметры составляют:

Для системы параметры приведены в таблицах 4 и 5. Здесь параметры обслуживания запросов в устройствах b₁, b₂ и b₃ заданы векторами , и , а параметры узлов векторами , , , и .

Таблица 4. Параметры запросов

Параметр	Описание	Значение
	закон (функция плотности) fф распределения времени ф между заявками в потоке	случайный
	тип закона	произвольный
	среднее время ф mф	82
	закон распределения (функция плотности) ft,2 времени t обслуживания в канале S2	случайный
	тип закона	Эрланга(4)
	среднее время mф обслуживания в канале b2	4
	закон распределения (функция плотности) ft,3 времени t обслуживания в канале S3	случайный
	тип закона	Эрланга(4)
	среднее время mф обслуживания в канале b3	4
	закон распределения (функция плотности) ft,4 времени t обслуживания в канале S4	случайный
	тип закона	Эрланга(4)
	среднее время mф обслуживания в канале b4	11

Таблица 5. Параметры узлов

Узел	Параметр	Описание	Значение
S0	z0,1	тип узла	источник
	z0,2	назначение	генерация потока заявок
	z0,3	закон распределения времени ф между заявками в потоке fф	случайный
	z0,4	тип закона	экспоненциальный
	z0,5	среднее время ф mф	82
		примечание: интенсивность поступления заявок л = 1 / mф = 0,012195122
S2	z2,1	тип узла	устройство
	z2,2	канальность K2	2
S3	z3,1	тип узла	устройство
	z3,2	канальность K3	1
S4	z4,1	тип узла	устройство
	z4,1	канальность K4	2
S6	z6,1	тип узла	маршрутный
	z6,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
		вектор вероятностей переходов	0.45; 0.55
S7	z7,1	тип узла	маршрутный
	z7,2	назначение	вероятностный выбор маршрута
		вектор вероятностей переходов	0.444; 0.556
S5	z5,1	тип узла	приемник
	z 5,2	назначение	прием обслуженных заявок

2.3 Описание характеристик системы

Для системы узловые и системные характеристики, рассчитываемые на модели, представлены в таблицах 6 и 7.

Таблица 6. Узловые характеристики

Узел	Характеристика	Описание
S2	с2	коэффициент загрузки узла
	l2	средняя длина очереди
	m2	среднее число запросов в узле, включая очередь
	щ2	среднее время ожидания в очереди
	u2	среднее время пребывания в узле, включая ожидание
	б2	коэффициент передач
S3	с3	коэффициент загрузки узла
	l3	средняя длина очереди
	m3	среднее число запросов в узле, включая очередь
	щ3	среднее время ожидания в очереди
	u3	среднее время пребывания в узле, включая ожидание
	б 3	коэффициент передач
S4	с4	коэффициент загрузки узла
	l4	средняя длина очереди
	m4	среднее число запросов в узле, включая очередь
	щ4	среднее время ожидания в очереди
	u4	среднее время пребывания в узле, включая ожидание
	б 4	коэффициент передач

Таблица 7. Системные характеристики

Характеристика	Описание	Вычисление
L	Средняя суммарная длина очередей
M	Среднее суммарное число запросов в системе
W	Среднее время ожидания запроса в системе
U	Среднее время пребывания запроса в системе

Здесь коэффициенты передачи , и задают число посещений каждого из узлов запросом за все время его обслуживания.



3. Имитационное моделирование системы в разомкнутом режиме

3.1 Построение схемы GPSS-модели

Реализуем имитационную модель на языке GPSS.

Рисунок 2. Схема GPSS-ориентированной модели

Измерение и вычисление узловых и системных характеристик иллюстрируется таблицами 8 и 9. На схеме ССМ (рисунок 3) точки сбора статистики обозначены символом - х.

Таблица 8. Измерение узловых характеристик

Узел	Характеристика	Точки или узел замера	Имя пары точек
b2	l2 , щ2	2-3	w_b_2
	m2 , u2	2-4	u_b_2
	с2	узел b2
b3	l3 , щ3	5-6	w_b_3
	m3 , u3	5-7	u_b_3
	с3	узел b3
b4	l4 , щ4	8-9	w_b_4
	m4 , u4	8-10	u_b_4
	с4	узел b4

Таблица 9. Измерение и вычисление системных характеристик

Характеристика	Вычисление	Точки или узел замера	Имя пары точек
L W	L = l2 + l3 + l4, W = щ2 * б 2+ щ3 * б 3+ щ4 * б 4	2-3 плюс 5-6 плюс 8-9	W_system
M U	M = m2 + m3+ m4, U = u2 * б 2+ u3 * б 3+ u4 * б 4	1-11	U_system



3.2 Построение GPSS-модели

Опишем сеть на языке GPSS для системы, представленной на рисунке 2.

Листинг 1 - Текст программы.

b_2 STORAGE 2

b_4 STORAGE 2

GENERATE (EXPONENTIAL(1,0,82))

queue U_system

Label_2 queue w_b_2

queue u_b_2

ENTER b_2

depart w_b_2

ADVANCE (EXPONENTIAL(2,0,4))

LEAVE b_2

depart u_b_2

TRANSFER .55,,Label_2

TRANSFER .555556,,Label_4

queue w_b_3

queue u_b_3

SEIZE b_3

depart w_b_3

ADVANCE (EXPONENTIAL(3,0,4))

RELEASE b_3

depart u_b_3

TRANSFER ,Label_2

Label_4 queue w_b_4

queue u_b_4

ENTER b_4

depart w_b_4

ADVANCE (EXPONENTIAL(4,0,11))

LEAVE b_4

depart u_b_4

depart U_system

TERMINATE 1

start 100000

3.3 Имитационное моделирование

Произведем имитационное моделирование с разной длительностью - 10000, 50000 и 100000 заявок. А также вычислим погрешность.

Таблица 10. Результаты имитационного моделирования

	Характеристика	Значение характеристики	Погрешность, %
		ИМ (10000)	ИМ (50000)	ИМ (100000)	1	2
Узел
2	с2	0,099	0,097	0,097	-2,06185567	0
	l2	0,002	0,002	0,002	0	0
	m2	0,197	0,2	0,197	1,5	-1,522843
	щ2	0,036	0,035	0,036	-2,857142857	2,777778
	u2	4,039	4,036	4,045	-0,074331021	0,222497
3	с3	0,039	0,039	0,039	0	0
	l3	0,002	0,002	0,002	0	0
	m3	0,04	0,042	0,041	4,761904762	-2,439024
	щ3	0,16	0,152	0,156	-5,263157895	2,564103
	u3	4,153	4,192	4,154	0,930343511	-0,914781
4	с4	0,068	0,067	0,067	-1,492537313	0
	l4	0,001	0,001	0,001	0	0
	m4	0,134	0,137	0,134	2,189781022	-2,238806
	щ4	0,051	0,057	0,048	10,52631579	-18,75
	u4	11,072	11,269	11,073	1,748158665	-1,770071
Система
	L	0,005	0,005	0,005	0	0
	M	0,371	0,379	0,372	2,110817942	-1,88172
	W	0,247	0,244	0,24	-1,229508197	-1,666667
	U	30,681	31,118	30,714	1,404331898	-1,315361

На основе полученных данных можно сделать вывод, что расхождения в значениях характеристик вполне приемлемы и почти не изменяются с ростом длительности имитационного моделирования.

3.4 Анализ исходного состояния

Анализ характеристик полученных для исходных данных, показывает:

1. Система работает в установившемся стационарном режиме, так как коэффициенты загрузки всех обслуживающих узлов меньше 1(с₁=0,97; с₂=0,039; с₃=0,067).

2. Узлы 1, 2, 3 недогружены.

3. Система разбалансирована, так как коэффициенты загрузки обслуживающих узлов отличаются друг от друга (идеальная балансировка, когда с₁= с₂= с₃).

4. Потенциальное «узкое» место в системе - узел 1, так как имеет наибольший коэффициент загрузки.

Таким образом, при росте числа обслуживаемых заявок узел 1 первым достигнет загрузки близкой к полной, то есть с коэффициентом близким к единице. И он станет ограничивающим фактором в работе системы. Сеть будет перегружена, то есть перейдет из устойчивого стационарного режима работы в режим насыщения. В системе возникает тенденция к бесконечному нарастанию числа не обслуженных заявок с течением времени моделирования.

3.5 Аналитический расчет характеристик узлов

1. Определяем значения интенсивностей входного потока лj для каждого узла.

л2=1/402658/100000*82=0,0491

л3=1/80583/100000*82=0,00983

л4=1/100000/100000*82=0,0122

2. Рассчитываем коэффициенты загрузок каналов устройств.

сj = лj * tj / Kj

с2=0,0491*402658/2=0,09821

с3=0,00983*80583/1=0,03931

с4=0,0122*100000/2=0,06707

Так как коэффициенты загрузок меньше единицы, то сеть работает в стационарном режиме и можно продолжать расчеты.

3. Рассчитываем характеристики узлов.



Среднее число заявок определяется как

Значение R_j вычисляется как

Вероятность простая узла P_0j рассчитывается по формуле, где число заявок в узле Мj выполняет роль параметра суммирования

Для случая K_j=1 используются формулы

Среднее время ожидания и пребывания заявки в узле (время обработки, включая ожидание обслуживания) определяется как , .

l2=((0,09821*2)^(2+1)*P0j)/(2!*2*(1-0,09821)^2)=0,00233

l3=((0,03931*1)^(1+1)*P0j)/(1!*1*(1-0,03931)^2)=0,00161

l4=((0,06707*2)^(2+1)*P0j)/(2!*2*(1-0,06707)^2)=0,00069

m2=0,00233+0,0491*4=0,19875

m3=0,00161+0,00983*4=0,04092

m4=0,00069+0,0122*11=0,13484

щ2=0,00233/0,0491=0,04744

щ3=0,00161/0,00983=0,16367

щ4=0,00069/0,0122=0,05686

u2=0,19875/0,0491=4,04744

u3=0,04092/0,00983=4,16367

u4=0,13484/0,0122=11,05686



4. Имитационное моделирование системы в замкнутом режиме

4.1 Построение схемы GPSS-модели

Преобразуем исходную систему в сеть МО замкнутого типа и реализуем имитационную модель на языке GPSS. Полученная система представлена на рисунке 3:

Рисунок 3. Схема GPSS-ориентированной модели (замкнутый режим)

4.2 Построение GPSS-модели

Листинг 2. Текст GPSS-модели (замкнутого режима):

b_2 STORAGE 2

b_4 STORAGE 2

GENERATE ,,,1

Label_0 queue U_system

Label_2 queue w_b_2

queue u_b_2

ENTER b_2

depart w_b_2

ADVANCE (EXPONENTIAL(2,0,4))

LEAVE b_2

depart u_b_2

TRANSFER .55,,Label_2

TRANSFER .555556,,Label_4

queue w_b_3

queue u_b_3

SEIZE b_3

depart w_b_3

ADVANCE (EXPONENTIAL(3,0,1))

RELEASE b_3

depart u_b_3

TRANSFER ,Label_2

Label_4 queue w_b_4

queue u_b_4

ENTER b_4

depart w_b_4

ADVANCE (EXPONENTIAL(4,0,11))

LEAVE b_4

depart u_b_4

depart U_system

TRANSFER ,Label_0

GENERATE 100000

TERMINATE 1

start 1



4.3 Имитационное моделирование. Прогнозирование характеристик

Выполним серию моделирований, последовательно изменяя значения параметр оператора GENERATE.

Результаты моделирования представлены ниже в таблице 11 и на графике (рисунок 4).

Таблица 11. Результаты имитационного моделирования (замкнутый режим)

Характеристика	Значения характеристик при разных M = M0
Узел		1	4	8	13
2	с2	0,284	0,858	0,973	0,997
	l2	0	0,751	3,733	8,325
	m2	0,569	2,467	5,679	10,319
	щ2	0	1,752	7,67	16,687
	u2	4,019	5,757	11,668	20,683
3	с3	0,028	0,086	0,098	0,1
	l3	0	0,007	0,011	0,012
	m3	0,028	0,093	0,109	0,112
	щ3	0	0,085	0,114	0,119
	u3	1,017	1,095	1,127	1,13
4	с4	0,202	0,595	0,675	0,692
	l4	0	0,25	0,863	1,185
	m4	0,403	1,44	2,212	2,569
	щ4	0	2,349	7,128	9,563
	u4	11,416	13,533	18,276	20,731
Система
	L	0	1,008	4,607	9,522
	л0	0,0353	0,106451	0,1211	0,124060007
	W	0	4,186	14,912	26,369
	U	28,329	37,576	66,061	104,788



Рисунок 4. Зависимость пропускной способности сети л0 от М

Выводы: из полученных данных и графиков видно, что насыщение сети начинается при значениях M0 = M* в районе 4 заявок.

При этом причиной насыщения является наиболее загруженный 2 обслуживающий узел. Соответственно система работает в режиме до насыщения при значениях M₀<4 и работает в режиме насыщения при M₀>4.

Наблюдаемая при этом максимальная производительность (пропускная способность) системы л₀ = л_0,max составляет около 0.12 заявки в единицу времени. При этом дальнейший рост числа заявок в системе не приводит к улучшению ее производительности, а значение среднего времени пребывания в системе U начинает расти практически линейно с ростом значений М.

4.4 Оценка предельных характеристик системы

1. Вычислим неизвестные коэффициенты передач устройств бi, дающие среднее число посещений заявкой каждого устройства за время (цикл) полного обслуживания в системе.



б₂ = б_{0 *} p_0,2 + б_{1 *} p_2,2+ б_{3 *} p_3,2+ б_{4 *} p_4,2;

б₃ = б_{0 *} p_0,3 + б_{1 *} p_2,3 + б_{3 *} p_3,3+ б_{4 *} p_4,3;

б₄ = б_{0 *} p_0,4 + б_{1 *} p_2,4+ б_{3 *} p_3,4+ б_{4 *} p_4,4.

А после подстановки значений p_i,j из матрицы P система уравнений примет вид

б₂ = б_{0 *} 1 + б_{2 *} 0.55 + б_{3 *} 1 + б_{4 *}0_;

б₃ = б_{0 *} 0 + б_{2 *} 0.2 + б_{3 *} 0+ б_{4 *} 0_;

б₄ = б_{0 *} 0 + б_{2 *} 0.25 + б_{3 *} 0+ б_{4 *} 0_.

Решив систему, получим значения:

б₁ = 1 / (1-0.55-0.2) = 4;

б₃ = 4*0.2 = 0.8;

б₄ = 4*0.25 = 1.

Нанесем на схему коэффициенты передач, интенсивностей потоков, а также вероятности переходов, интенсивность входного потока, канальность узлов, трудоемкость обслуживания в узлах (см. рисунок 5).

Рисунок 5. Параметры системы.

2. Находим узкое место системы. Определяем коэффициенты загрузок устройств:

с2=б2*t2/K2=4*4/2=8



с3=б3*t3/K3=0,8*4/3=3,2

с4=б4*t4/K4=1*11/4=5,5

Соответственно сs = max (с2 ; с3 ; с4) и номер узкого места s = 2.

3. Рассчитываем точку насыщения сети M*.

=3,775 [заявки].

4. Рассчитываем характеристики системы до насыщения (при М ? M*).

Для системы при М ? 3,775

= 30,2 [ед. времени],

л0=M/30,2 [заявок в единицу времени].

5. Рассчитываем характеристики системы после насыщения (при М ? M*).

Для системы при М ? 30,2 получаем

л₀=M*/U0= 0,125 [заявок в единицу времени],

[ед. времени].

Отобразим полученные результаты на рисунке 6 и 7



Рисунок 6. Зависимость коэффициента передач сети л₀ от M

Рисунок 7. Зависимость среднего времени пребывания U₀ от M



Заключение

моделирование матрица математический имитационный

В ходе данной контрольной работы для исследования конкретного объекта была построена имитационная модель на языке моделирования GPSS.

Модель, построенная на языке GPSS играет роль эталона, т.е. характеристики, полученные на этой модели считаем характеристиками реального объекта. Было выяснено, что для данного объекта точные характеристики можно получить только путем экспериментов с имитационной моделью.

В ходе выполнения контрольной работы было выявлено, что наиболее подходящим средством для моделирования систем являются специализированные языки программирования, т.е. например GPSS.

Размещено на Allbest.ru

...