Параметрическая оптимизация с чебышевскими оценками целевых множеств в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет,

Параметрическая оптимизация с чебышевскими оценками целевых множеств в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами

Ю.Э. Плешивцева

Одной из основных проблем в теории оптимального управления динамическими системами до настоящего времени остается разработка конструктивных методик решения краевых задач (ЗОУ) по переводу управляемых объектов из заданного начального в требуемое конечное состояние. Решение таких ЗОУ связано с рядом известных трудностей [1-3], возрастающих с повышением порядка дифференциальных уравнений модели объекта и приобретающих принципиальный характер применительно к бесконечномерным системам с распределенными параметрами (СРП) [4]. В классической двухточечной формулировке ЗОУ типичные требования к конечным состояниям СРП, как правило, либо невыполнимы вследствие неуправляемости объекта относительно этих состояний, либо выполняются в классе технически нереализуемых управляющих воздействий [4, 5].

Известные приближенные методы поиска решений ЗОУ путем исходной дискретизации моделей распределенных объектов могут привести к существенным отклонениям от характеристик оптимального процесса или оказываются неприемлемыми при высоких требованиях к точности моделирования неуправляемой СРП [5].

Возможный способ преодоления указанных затруднений состоит в переходе к заведомо разрешимой с реализуемыми результатами задаче управления с заданным целевым множеством с непустой внутренностью в бесконечномерном фазовом пространстве СРП, которое отвечает достижимым значениям практически всегда существующих в прикладных задачах и оцениваемых в соответствующей метрике допусков на отклонение от номинальной точки, фиксируемой положением правого конца фазовой траектории в исходной двухточечной схеме [5].

Большое значение приобретает при этом проблема построения алгоритмически точных решений подобных бесконечномерных краевых задач. Эти задачи свободны от недостатков приближенных методов, связанных с дискретной аппроксимацией моделей СРП, которая, кроме всего прочего, может привести к потере сущностных физических свойств объекта, порождаемых пространственной распределенностью управляемых величин [4, 6].

В настоящей работе предлагается конструктивный метод точного решения подобных ЗОУ СРП с правым подвижным концом траектории путем построения с привлечением базовых закономерностей предметной области регулярной процедуры последовательной конечномерной параметризации искомых управляющих воздействий оптимальной структуры в пространственно-временной области их определения, выполняемой с помощью известных аналитических условий оптимальности. Тем самым обеспечивается точная редукция рассматриваемой ЗОУ ОРП к соответствующей задаче математического программирования, размерность которой определяется только величиной допусков на отклонение конечного состояния СРП от заданного в двухточечной схеме. Соответствующие формальные постановки сводят ЗОУ СРП без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей к специальным задачам полубесконечной оптимизации (ЗПО) на экстремум конечного числа переменных с бесконечным числом ограничений, порождаемых требованием принадлежности конца фазовой траектории оптимального процесса заданному целевому множеству [7]. Алгоритмически точные решения подобных задач применительно к оценкам целевых множеств в равномерной метрике могут быть получены альтернансным методом, распространяющим на ЗПО известные результаты теории нелинейных чебышевских приближений [7].

Постановка задачи

Пусть управляемая функция состояния распределенного объекта описывается в зависимости от пространственной координаты и времени типовым пространственно-одномерным линейным уравнением второго порядка в частных производных параболического типа с распределенным внутренним или (и) сосредоточенными граничными управляющими воздействиями, соответственно, , заданными начальными и граничными условиями при заданных постоянных () и в общем случае координатно-зависимых () коэффициентах [8]:

;

;

.

Управляющие воздействия должны быть подчинены ограничениям

За время процесса управления требуется обеспечить приближение к заданному пространственному распределению управляемой величины с допустимой абсолютной точностью согласно соотношению

,

определяющему целевое множество допустимых конечных состояний СРП с оценкой отклонений от в равномерной метрике.

Пусть качество процесса управления объектом (1) - (4) оценивается интегральным функционалом

где - заданные достаточно гладкие функции своих аргументов;

- заданное фиксированное значение пространственной координаты.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления. Среди стесненных ограничением (5) управляющих воздействий, переводящих объект управления (1) - (4) из заданного начального состояния в требуемое конечное, согласно (6), необходимо найти оптимальные управления и соответствующую им управляемую функцию состояния , для которых критерий оптимальности (7) принимает наименьшее значение.

Применение к уравнениям объекта (1) - (4) конечных интегральных преобразований по пространственному аргументу с ядром, равным его собственным функциям где собственные числа, приводит к представлению СРП в этих условиях бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для временных мод разложения в бесконечный ряд по [8]:

Здесь , известные постоянные коэффициенты, и , моды разложения и в ряд по :

.

При моделировании СРП системой уравнений (8) требование (6) представляется в виде

.

После подстановки разложений (9) в (7) критерий оптимальности (7) приводится к виду

с некоторой подынтегральной функцией переменных

Применительно к описанию СРП счетномерной системой уравнений (8) исходная задача сводится к отысканию оптимального управления и соответствующей ему оптимальной траектории , обеспечивающих выполнение требования (10) к конечному состоянию объекта при минимальном значении функционала качества (11) в условиях ограничений (5).

Специальная процедура последовательной параметризации оптимальных управлений на множестве граничных значений сопряженных переменных (-параметризация)

На сформулированную выше бесконечномерную задачу оптимизации распространяется принцип максимума Понтрягина [9]. Базовое условие достижения максимума функции Понтрягина на оптимальном управлении

совместно с уравнениями

,

описывающими вектор сопряженных переменных в оптимальном процессе, уравнениями объекта (8) и ограничениями (5), составляют П-систему [2], замыкаемую относительно всех неизвестных заданными требованиями (10) к конечному состоянию объекта. Решение П-системы формально определяет искомые экстремали с точностью до вектора начальных значений сопряженных функций, выступающих, таким образом, в роли параметрического представления оптимальных управляющих воздействий [1-3], однако для СРП такой подход оказывается неконструктивным, прежде всего, в силу бесконечной размерности этого вектора, совпадающей с порядком системы уравнений (8).

В условиях (10) можно предложить реализуемый в процессе решения П-системы специальный способ конечномерной параметризации управлений на множестве значений бесконечного числа сопряженных переменных в конце оптимального процесса с числом параметров, однозначно определяемым величиной .

На этом множестве формируется такая упорядоченная определенным образом последовательность конечного числа N параметров, однозначно характеризующих зависящую от выбора N структуру оптимального управления, которая с возрастанием N обеспечивает попадание под действием этого управления в сужающиеся к заданной номинальной точке целевые множества (10). Тем самым гарантируется возможность достижения уменьшающихся с ростом N отклонений от требуемого в идеале конечного состояния СРП.

В качестве указанной последовательности выбирается N-мерный вектор финишных значений первых N сопряженных функций (13), соответствующих первым N модам , , управляемой величины, при равных нулю всех остальных значениях , :

.

Равенства (14) представляют собой условия трансверсальности на правом конце траектории в бесконечномерном фазовом пространстве СРП с некоторыми (априори неизвестными для каждого вектора ) фиксированными конечными значениями первых N мод , и свободными величинами , , для остальных модальных переменных:

.

Поскольку при , так как при , , то в условиях (14) минимально достижимые в классе управлений, однозначно характеризуемых вектором , значения ошибки равномерного приближения к не возрастают (как правило, монотонно убывают [7]) с ростом :

,

как раз характеризуя сужающееся к семейство целевых множеств для , в (10). Здесь по определению представляет собой минимакс

где - зависимость управляемой функции состояния СРП в конце процесса управления от пространственной координаты х и вектора параметров , получаемая в форме явной функции своих аргументов путем интегрирования уравнений объекта (1) - (4) с -параметризованными управляющими воздействиями.

Точная нижняя грань достижимых по условию (10) значений в цепочке неравенств (16) оказывается равной минимаксу , где при и при соответственно для управляемых и неуправляемых относительно объектов [7].

Неравенства (16) создают потенциальные возможности обеспечения требуемой точности достижения при конечном числе N, принципиально упрощая тем самым краевую задачу оптимального управления СРП.

Принцип минимальной сложности -параметризованной структуры оптимальных программных управлений

Сложность структуры оптимальных управлений при их описании параметрическими зависимостями определяется соответствующей размерностью вектора в (14), нижняя граница которой отвечает неравенствам

, ,

по определению величин минимаксов , в (16).

Заменим требование (10) к конечному состоянию СРП в рассматриваемой задаче оптимального управления краевыми условиями (15) для заданных величин , при некотором фиксированном значении . Пусть решение соответствующей П-системы (8), (9), (11) - (14) с ограничениями (5), замыкаемой соотношениями (15), позволяет найти вектор искомых параметров, параметрические зависимости для искомого управления и отвечающие ему конечные значения для . множество граничный редукция программный

Предположим, что на некотором множестве всех возможных вариантов по набору величин , удовлетворяется условие (10):

,

и выделим такой из этих вариантов, для которого достигается наименьшее значение критерия оптимальности (11). В итоге оказывается решенной исходная ЗОУ (8) - (11), (5) в классе управлений .

Пусть далее таким же образом может быть получено решение той же задачи для того же значения в (10) при в классе управлений . Но тогда всегда выполняется неравенство , поскольку решение ЗОУ при учитывает все возможные в условиях (19) комбинации величин а все остальные, в том числе и значений , в силу свободы их выбора в (15) автоматически устанавливаются из условий минимизации функционала качества (11), Отсюда следует, что число совпадает со своей нижней границей в (18) и находится по правилу

,

в соответствии с которым -параметризуемые оптимальные управляющие воздействия в рассматриваемой ЗОУ характеризуются минимально возможной для заданного значения размерностью вектора параметров (14), определяя тем самым структуру оптимальных программных управлений минимальной сложности в условиях (10).

Согласно (20), определяется по месту заданного допуска в последовательности неравенств (16) для значений минимаксов , которые должны рассматриваться в качестве дополнительных неизвестных в процессе решения ЗОУ. Проблема их вычисления представляет собой самостоятельный интерес.

Редукция к задаче управления конечномерной подсистемой уравнений модели СРП

Для задачи оптимального управления (8) - (11), (5) с функцией Понтрягина

уравнения (13) сопряженной системы принимают следующий вид:

Если здесь из условий (14) следует, что все сопряженные переменные, начиная с -й, тождественно равны нулю:

,

а в качестве аргументов в (21) фигурируют не более N первых составляющих , , вектора :

,

то в таком случае будем иметь вместо (21):

Вместе с условием максимума

ограничениями (5) и первыми N уравнениями объекта (8):

соотношения (22) для и (25) образуют краевую задачу принципа максимума для управления конечномерной N-подсистемой (27) объекта (8) с распределенными параметрами для каждой совокупности фиксируемых величин , в (15).

Таким образом, при выполнении допущений (23), (24) оптимальное управление N первыми модами функции состояния СРП в задаче с закрепленными значениями их величин в конце оптимального процесса одновременно является решением исходной ЗОУ точной бесконечномерной моделью объекта с теми же краевыми условиями для учитываемых модальных переменных в (15). Подобная ситуация складывается, например, в типовых задачах быстродействия с в (11). Существенно, что величины в (15), связанные требованием (10), априори неизвестны, и зависящие от них конкретные значения параметров оптимальных программ в классе управляющих воздействий для N- подсистемы должны быть определены на последующем этапе решения -параметризованной краевой задачи для полной бесконечномерной модели объекта.

Отображения на множество параметров в пространственно-временной области определения управляющих воздействий (-параметризация)

Известные затруднения, возникающие при решении П-системы относительно вектора за счет сложности характера зависимости искомых управляющих воздействий от граничных значений сопряженных переменных [1-3], могут быть во многих случаях в значительной степени преодолены путем перехода от к соответствующему вектору параметров , , другой природы, непосредственно характеризующему управления оптимальной структуры в пространственно-временной области их определения [7, 10-14].

Условия максимума (12) или (26) в совокупности с дополнительной информацией о свойствах и закономерностях оптимизируемых процессов в конкретной предметной области в целом ряде модельных ситуаций вполне определяют характер оптимальных управляющих воздействий на участках их непрерывного изменения в пространственно-временной области и позволяют выявить, в зависимости от требуемой точности приближения к в (6) или (10), возможные варианты компоновки оптимальных программ из этих участков с конечным числом разрывов в точках их «сшивания». Эти точки вместе с длительностью или пространственной протяженностью программы чаще всего и выступают в роли параметров , приобретающих тем самым очевидный физический смысл. Последующее сопоставление - и -параметризованных структур с учетом общих свойств функции Понтрягина и особенностей конкретной задачи во многих случаях создают возможности построения однозначных отображений в форме соответствующей системы соотношений, связывающих компоненты векторов и . Важно также отметить, что во многих прикладных задачах требуется найти управляющие воздействия в изначально заданном классе -параметризуемых функций согласно исходным требованиям, диктуемым техническими возможностями их реализации [4, 10].

При выборе в виде упорядоченной определенным образом последовательности N параметров подобно , в (14), минимально достижимые значения в классе управлений, однозначно характеризуемых величиной N, монотонно убывают с возрастанием аналогично (16) [7]:

.

Здесь так же, как в (17), по определению представляет собой минимакс

где - множество допустимых значений в , - зависимость управляемой функции состояния СРП в конце процесса управления от пространственной координаты х и вектора параметров , получаемая в форме явной функции своих аргументов путем интегрирования уравнений объекта (1) - (4) при -параметризованном управлении.

При этом в широком классе задач -параметрической оптимизации сохраняется аналогичный (20) принцип минимальной сложности структуры оптимальных управлений, для которых размерность вектора находится по правилу [7]:

.

Редукция к задачам полубесконечной оптимизации

Интегрирование уравнений объекта (1) - (4) с -параметризованными управляющими воздействиями позволяет получить, наряду с , и значение критерия оптимальности (11) в виде явной функции вектора . В результате без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей осуществляется точная редукция исходной ЗОУ СРП к специальной задаче минимизации функции конечного числа N переменных , с бесконечным числом ограничений, порождаемых требованием (6) достижения заданной точности равномерного приближения к номинальному распределению управляемой величины в пределах всей области изменения ее пространственных аргументов (задача полубесконечной оптимизации (ЗПО) [5, 7]):

.

Решение достаточно широкого круга ЗПО вида (31) с учетом правила (30) относительно всех характеристик оптимального процесса, включая число и величины , составляющих вектора параметров , однозначно определяющего искомые управляющие воздействия, а также априори неизвестные значения минимаксов в (28) при , в (31), может быть получено в условиях малостеснительных ограничений альтернансным методом [7].

Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора оптимальных решений ЗПО (31), являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений, и дополнительной информации о конфигурации пространственного распределения результирующего состояния управляемой величины, диктуемого закономерностями предметной области конкретной рассматриваемой задачи.

Согласно альтернансным свойствам, равные допустимой величине одинаковые значения максимальных отклонений достигаются в некоторых точках на отрезке , общее число которых оказывается равным числу искомых неизвестных в ЗПО (31). Последующая редукция данных равенств на основании дополнительных сведений о форме кривых на к соответствующей системе уравнений относительно этих неизвестных, конструируемой по определенной совокупности правил, и последующее ее решение стандартными численными методами исчерпывают решение исходной ЗОУ СРП.

Описываемая схема алгоритмически точного решения краевых задач оптимального управления СРП апробирована при поиске -параметризованных сосредоточенных и пространственно-распределенных управляющих воздействий в различных задачах оптимизации процессов технологической теплофизики, представляющих самостоятельный интерес [10-14]. Полученные результаты в существенной степени опираются на фундаментальные закономерности нестационарных температурных и термодиффузионных полей применительно к реальным объектам промышленной технологии.

Библиографический список

1. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука, 1975.

2. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. - М.: Наука, 1978.

3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс, 2002.

4. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965.

5. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2009.

6. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977.

7. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000.

8. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.

9. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховом пространстве // Математ. сб. (новая серия). - 1964. - Т.64 (106). - №1.

10. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. CRC Press, Taylor & Francis Group, Вoca Raton, London, New York, 2007.

11. Плешивцева Ю.Э. Точная редукция к конечномерным моделям в одном классе задач оптимального управления системами с распределенными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - №7(88). - С. 9-13.

12. Плешивцева Ю.Э. Краевая задача минимизации эффекта термохимических взаимодействий при управлении нагревом металла под обработку давлением // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Сер. Технические науки. - 2008. - №3. - С. 28-32.

13. Плешивцева Ю.Э. Алгоритмы оптимального по быстродействию пространственно-временного управления объектами с распределенными параметрами параболического типа // Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер. Технические науки. - 2008. - №4. - С. 14-17.

14. Плешивцева Ю.Э., Афиногентов А.А. Оптимальное управление энерготехнологическими процессами в производственных комплексах // Известия вузов. Электромеханика. - 2008. - №3. - С. 51-55.

Аннотация

Предлагается точный метод последовательной параметризации управляющих воздействий на конечномерном множестве граничных значений сопряженных переменных с последующей редукцией к задачам полубесконечной оптимизации в целях построения программных алгоритмов оптимального управления системами с распределенными параметрами в условиях чебышевских оценок целевых множеств.

Ключевые слова: система с распределенными параметрами, краевая задача, целевое множество, равномерные приближения, параметризация, сопряженные переменные, полубесконечная оптимизация, альтернансный метод.

Exact method of subsequent parameterization of control action within a finite set of boundary values of conjugate variables is suggested. Further reduction to semi-infinite optimization problem should be carried out in order to develop algorithms of program optimal control of systems with distributed parameters under conditions of chebyshev' estimations of goal sets.

Key words: system with distributed parameters; boundary problem; goal set; uniform approximation; parameterization; conjugate variable; semi-infinite optimization; alternance method.

Размещено на Allbest.ru