Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача по множественной регрессии

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y ( тыс . руб .) от ввода в действие новых основных фондов x1 (% от стоимости фондов на конец года ) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x2 (%).

Номер пред- приятия	у	х1	х2	Номер пред- приятия	у	х1	х2
1	7,0	4,4	11,0	11	9,0	6,9	21,0
2	7,0	3,7	13,0	12	11,0	6,4	22,0
3	7,0	3,9	15,0	13	9,0	6,9	22,0
4	7,0	4,0	17,0	14	11,0	7,2	25,0
5	7,0	4,6	18,0	15	12,0	7,1	28,0
6	7,0	4,8	19,0	16	12,0	8,2	29,0
7	8,0	5,3	19,0	17	12,0	8,1	30,0
8	8,0	5,4	20,0	18	12,0	8,6	31,0
9	8,0	4,8	20,0	19	14,0	9,6	32,0
10	10,0	6,8	21,0	20	14,0	9,9	36,0

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии.

2. С помощью F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации оценить статистическую надежность уравнения регрессии.

3. С помощью t - критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

4. Исключить из наблюдений одну переменную X1. Составить уравнение парной линейной регрессии.

5. Оценить качество второго уравнения при помощи F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации, оценить его параметры при помощи t - критерия Стьюдента.

6. Исключить из наблюдений, наоборот, X2 и составить третье уравнение регрессии.

7. Оценить качество третьего уравнения при помощи F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации, оценить его параметры при помощи t - критерия Стьюдента.

8. Составить сравнительную таблицу:

	Уравнение множественной регресии	Уравнение парной линейной регрессии с X1	Уравнение парной линейной регрессии с X2
F - критерий Фишера
Коэффициента детерминации R2
Скорректированный коэффициент детеминации
t-критерий Стьюдента для углового параметра b1		-
t-критерий Стьюдента для углового параметра b2			-

Сделать выводы.

Решение

1) Построим линейную модель множественной регрессии.

Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

.

Вычислим ковариации и составим ковариационную матрицу.

Для вычисления ковариаций применим формулы:

,

.

Вычисления средних величин, входящих в эти формулы, организуем в форме следующей расчетной таблицы:

Таблица 1 Расчетная таблица

1	3,6	11,0	7,0	13,0	121,0	49,0	39,6	25,2	77
2	3,7	13,0	7,0	13,7	169,0	49,0	48,1	25,9	91
3	3,9	15,0	7,0	15,2	225,0	49,0	58,5	27,3	105
4	4,0	17,0	7,0	16,0	289,0	49,0	68	28	119
5	3,8	18,0	7,0	14,4	324,0	49,0	68,4	26,6	126
6	4,8	19,0	7,0	23,0	361,0	49,0	91,2	33,6	133
7	5,3	19,0	8,0	28,1	361,0	64,0	100,7	42,4	152
8	5,4	20,0	8,0	29,2	400,0	64,0	108	43,2	160
9	5,6	20,0	8,0	31,4	400,0	64,0	112	44,8	160
10	6,8	21,0	10,0	46,2	441,0	100,0	142,8	68	210
11	6,0	21,0	9,0	36,0	441,0	81,0	126	54	189
12	6,4	22,0	11,0	41,0	484,0	121,0	140,8	70,4	242
13	6,9	22,0	9,0	47,6	484,0	81,0	151,8	62,1	198
14	7,2	25,0	11,0	51,8	625,0	121,0	180	79,2	275
15	8,0	28,0	12,0	64,0	784,0	144,0	224	96	336
16	8,2	29,0	12,0	67,2	841,0	144,0	237,8	98,4	348
17	8,1	30,0	12,0	65,6	900,0	144,0	243	97,2	360
18	8,6	31,0	12,0	74,0	961,0	144,0	266,6	103,2	372
19	9,6	32,0	14,0	92,2	1024,0	196,0	307,2	134,4	448
20	9,0	36,0	14,0	81,0	1296,0	196,0	324	126	504
	124,9	449,0	192,0	850,6	10931,0	1958,0	3038,5	1285,9	4605,0
	6,2	22,5	9,6	42,5	546,6	97,9	151,9	64,3	230,3

Затем последовательно вычисляем ковариации:

,

,

,

,

, .

Далее составим ковариантную матрицу объясняющих переменных и вектор-столбец .

, .

Найдем оценки параметров множественной линейной регрессии и составим уравнение множественной линейной регрессии .

По статистическим данным найдем оценки параметров множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Применим известную матричную формулу:

,

где ; при этом

.

Развернутые формулы принимают вид:

, ,

.

По этим формулам находим:

;

;

.

Таким образом, уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

.

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение выработки продукции на одного работника за счет изменения соответствующего фактора при фиксированном уровне другого. Так, коэффициент при х1 показывает, что увеличение (или снижение) ввода в действие новых основных фондов 1 единицу ведет к повышению (или снижению) выработки продукции на одного работника на 0,954 тыс. руб . Соответственно коэффициент при х2 определяет меру зависимости выработки продукции на одного работника от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих.

2) С помощью F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации оценим статистическую надежность уравнения регрессии.

На уровне значимости проверим гипотезу о согласии линейной множественной регрессии с результатом наблюдений.

Это выполняется как решение следующей задачи проверки статистической гипотезы. Выдвигается гипотеза об отсутствии линейной регрессионной связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F .

В случае трехмерной линейной регрессии коэффициент детерминации и статистика Фишера выражается формулами:

, .

При условии справедливости гипотезы случайная величина F имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации :

.

Коэффициент множественной детерминации свидетельствует, что 93,6% изменения выработки продукции на одного работника связано с анализируемыми признаками.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

;

.

Наблюдаемое значение статистики Фишера :

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера , исходя из равенства

.

В рассматриваемом случае .

Так как, , то выдвинутая гипотеза Н0 решительно отвергается, что свидетельствует о согласии линейной множественной регрессии с результатами наблюдений.

3) С помощью t - критерия Стьюдента оценим статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

Для дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2 Вспомогательная таблица

1	3,6	11,0	3,600	11,000	6,760	6,996	131,103	6,123	30,285
2	3,7	13,0	3,700	13,000	6,760	6,477	89,303	6,385	24,050
3	3,9	15,0	3,900	15,000	6,760	5,499	55,503	6,742	17,470
4	4,0	17,0	4,000	17,000	6,760	5,040	29,703	7,004	12,235
5	3,8	18,0	3,800	18,000	6,760	5,978	19,803	6,897	10,880
6	4,8	19,0	4,800	19,000	6,760	2,088	11,903	7,934	4,985
7	5,3	19,0	5,300	19,000	2,560	0,893	11,903	8,411	3,260
8	5,4	20,0	5,400	20,000	2,560	0,714	6,003	8,590	2,070
9	5,6	20,0	5,600	20,000	2,560	0,416	6,003	8,781	1,580
10	6,8	21,0	6,800	21,000	0,160	0,308	2,103	10,009	-0,805
11	6,0	21,0	6,000	21,000	0,360	0,060	2,103	9,246	0,355
12	6,4	22,0	6,400	22,000	1,960	0,024	0,202	9,710	-0,070
13	6,9	22,0	6,900	22,000	0,360	0,429	0,202	10,188	-0,295
14	7,2	25,0	7,200	25,000	1,960	0,912	6,503	10,724	2,435
15	8,0	28,0	8,000	28,000	5,760	3,080	30,803	11,737	9,740
16	8,2	29,0	8,200	29,000	5,760	3,822	42,903	12,011	12,805
17	8,1	30,0	8,100	30,000	5,760	3,441	57,003	11,999	14,005
18	8,6	31,0	8,600	31,000	5,760	5,546	73,103	12,559	20,135
19	9,6	32,0	9,600	32,000	19,360	11,256	91,203	13,596	32,040
20	9,0	36,0	9,000	36,000	19,360	7,590	183,603	13,357	37,330
	124,9	449,0	124,90	449,000	114,800	70,570	850,95	192,00	234,495
	6,2	22,5	6,245	22,450	5,740	3,528	42,548	9,600	11,725

Определим дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов. При этом:

;

.

;

;

;



Стандартные ошибки коэффициентов:

;

;

.

Оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводим путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

.

Таким образом, значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается. Аналогично находим:

Значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.

Таким образом, значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается. регрессия детерминация корреляция фишер

4) Исключим из наблюдений одну переменную X1. Составим уравнение парной линейной регрессии.

Найдем линейную регрессионную зависимость:

Для оценки параметров и используем МНК (метод наименьших квадратов).

Формально критерий МНК можно записать так:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Данные для расчета берем из таблицы 1.

Для исходных данных система уравнений имеет вид:

Умножим первое уравнение системы на (-22,45), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения:

Получаем:

.

Откуда: .

Теперь определим коэффициент из первого уравнения:

;

; .

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

; .

Таким образом, уравнение линейной регрессии Y на Х2 имеет вид:

.

5) Оценим качество второго уравнения при помощи F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации, оценим его параметры при помощи t - критерия Стьюдента.

Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

где ? средняя сумма произведения признаков;

и ? средние квадратические отклонения по х и у.

;

;

.

Коэффициент корреляции rху = 0,943 свидетельствует, что связь между признаками заметная и прямая. Коэффициент детерминации показывает, что 88,9% изменений в выработке продукции на одного работника объясняется различием в уровне удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

;

.

Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение Fфакт с табличным (критическим) значением Fтабл.

Фактическое значение Fфакт рассчитаем по формуле:

.

Табличное значение Fтабл по таблице значений F-критерия Фишера при = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n - m - 1 = 20 ? 1? 1 = 18 равно 4,41 (m - число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи rху, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.

Для дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу (табл. 3).

Таблица 3 Вспомогательная таблица

1	11	7	5,636	6,76	1,861	0,195
2	13	7	6,328	6,76	0,451	0,0959
3	15	7	7,021	6,76	0,000433	0,00297
4	17	7	7,713	6,76	0,509	0,102
5	18	7	8,059	6,76	1,122	0,151
6	19	7	8,406	6,76	1,976	0,201
7	19	8	8,406	2,56	0,165	0,0507
8	20	8	8,752	2,56	0,565	0,094
9	20	8	8,752	2,56	0,565	0,094
10	21	10	9,098	0,16	0,814	0,0902
11	21	9	9,098	0,36	0,00961	0,0109
12	22	11	9,444	1,96	2,42	0,141
13	22	9	9,444	0,36	0,197	0,0494
14	25	11	10,483	1,96	0,267	0,047
15	28	12	11,521	5,76	0,229	0,0399
16	29	12	11,868	5,76	0,0175	0,011
17	30	12	12,214	5,76	0,0457	0,0178
18	31	12	12,56	5,76	0,314	0,0467
19	32	14	12,906	19,36	1,196	0,0781
20	36	14	14,291	19,36	0,0847	0,0208
	449,000	192,000	192,000	114,800	12,809	1,539
	22,450	9,600	9,600	5,740	0,640	0,077

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываем t-критерий Стьюдента. Выдвигаем гипотезу Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводим путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

.

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяем по формулам:

==.



Сравнивая полученный критерий с табличным значением , можно сделать вывод, что статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается, отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента, т.к. .

.

Сравнивая полученный критерий с табличным значением, можно сделать вывод, что статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается, отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента, т.к. .

6) Исключим из наблюдений, наоборот, X2 и составим третье уравнение регрессии.

Найдем линейную регрессионную зависимость:

Для оценки параметров и используем МНК (метод наименьших квадратов).

Данные для расчета берем из таблицы 1.

Для исходных данных система уравнений имеет вид:

Умножим первое уравнение системы на (-6,245), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения:

Получаем: .

Откуда: .

Теперь определим коэффициент из первого уравнения:

;

;

.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

; .

Таким образом, уравнение линейной регрессии Y на Х1 имеет вид:

.

7) Оценим качество третьего уравнения при помощи F - критерия Фишера, коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации, оценим его параметры при помощи t - критерия Стьюдента.

Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции.

;

;

.

Коэффициент корреляции rху = 0,965 свидетельствует, что связь между признаками заметная и прямая. Коэффициент детерминации показывает, что 93,1% изменений в выработке продукции на одного работника объясняется различием в вводе в действие новых основных фондов. Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

;

.

Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение Fфакт с табличным (критическим) значением Fтабл.

Фактическое значение Fфакт рассчитаем по формуле:

.

Табличное значение Fтабл по таблице значений F-критерия Фишера при = 0,05, k1 = m = 1 и k2 = n - m - 1 = 20 ? 1? 1 = 18 равно 4,41 (m - число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи rху, то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.

Для дальнейших расчетов составим вспомогательную таблицу (табл. 4).

Таблица 4 Вспомогательная таблица

1	3,6	7	6,344	6,76	0,43	0,0937
2	3,7	7	6,468	6,76	0,284	0,0761
3	3,9	7	6,714	6,76	0,082	0,0409
4	4	7	6,837	6,76	0,0266	0,0233
5	3,8	7	6,591	6,76	0,168	0,0585
6	4,8	7	7,821	6,76	0,675	0,117
7	5,3	8	8,437	2,56	0,191	0,0546
8	5,4	8	8,56	2,56	0,314	0,07
9	5,6	8	8,806	2,56	0,65	0,101
10	6,8	10	10,283	0,16	0,0802	0,0283
11	6	9	9,298	0,36	0,0891	0,0332
12	6,4	11	9,791	1,96	1,462	0,11
13	6,9	9	10,406	0,36	1,977	0,156
14	7,2	11	10,775	1,96	0,0504	0,0204
15	8	12	11,76	5,76	0,0575	0,02
16	8,2	12	12,006	5,76	0	0,000525
17	8,1	12	11,883	5,76	0,0136	0,00973
18	8,6	12	12,499	5,76	0,249	0,0416
19	9,6	14	13,729	19,36	0,0732	0,0193
20	9	14	12,991	19,36	1,018	0,0721
	124,900	192,000	191,999	114,800	7,891	1,146
	6,245	9,600	9,600	5,740	0,395	0,057

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии рассчитываем t-критерий Стьюдента. Выдвигаем гипотезу Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводим путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Сравнивая полученный критерий с табличным значением , можно сделать вывод, что статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается, отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента, т.к. .

.

Сравнивая полученный критерий с табличным значением, можно сделать вывод, что статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается, отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента, т.к. .

8) Составим сравнительную таблицу:

	Уравнение множественной регресии	Уравнение парной линейной регрессии с X1	Уравнение парной линейной регрессии с X2
F - критерий Фишера	123,514	243,94	143,311
Коэффициента детерминации R2	0,936	0,931	0,889
Скорректированный коэффициент детеминации	0,928	0,927	0,883
t-критерий Стьюдента для углового параметра b1	3,53	-	11,97
t-критерий Стьюдента для углового параметра b2	1,069	15,62	-

Таким образом, можем сделать вывод, что значимость всех трех рассмотренных уравнений регрессии была подтверждена, а это означает, что подтверждена и значимость коэффициентов детерминации всех рассмотренных уравнений регрессии.

В при анализе первого уравнения множественной регрессии значимость коэффициента регрессии b2 не подтвердилась. Можем отметить, что на значение выработки продукции большее влияние оказывает ввод в действие новых основных фондов.

В первом уравнении коэффициент множественной детерминации свидетельствует, что 93,6% изменения выработки продукции на одного работника связано с анализируемыми признаками. Во втором уравнении коэффициент детерминации показывает, что 88,9% изменений в выработке продукции на одного работника объясняется различием в уровне удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. В третьем уравнении коэффициент детерминации показывает, что 93,1% изменений в выработке продукции на одного работника объясняется различием в вводе в действие новых основных фондов.

Можем сделать вывод, что модель множественной регрессии более точно объясняет связь выработки продукции на одного работника с анализируемыми признаками.

Список использованной литературы

1. Густомесов В.А. Эконометрика: учеб. пособие/ В.А.Густомесов. Екатеринбург, Изд-во ГОУ ВПО «Рос. гос. Проф.-пед. ун-т», 2007.- 128 с.

2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике: учеб. пособие / И.И.Елисеева, С.В.Курышева, Н.М.Гордиенко [и др.]; под ред. И.И.Елисеевой.-2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 344 с.

3. Тимофеев, В.С. Эконометрика: учебник / В.С. Тимофеев, А.В. Фаддеенков, В.Ю. Щеколдин. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2013. - 340 с.

4. Уткин В. Б., Балдин К. В., Башлыков В. Н., Брызгалов Н. А., Мартынов В. В. Эконометрика. Учебник - М.: Дашков и Ко, 2012. - 562 c.

Размещено на Allbest.ru

...