Оптимизация в задачах аналитической логистики

Аннотация

Объектом аналитической логистики (эконометрии логистики) является разработка методов и средств моделирования, нахождения оптимальных решений по управлению логистическими системами. Представление о качестве решений характеризуется принципом оптимальности. Формирование практических методов оптимизации логистических моделей вытекает из двух фундаментальных положений: во первых, задача оптимизации может быть выражена в виде некоторого критерия эффективности, во вторых - достижимые значения такого критерия ограничены на множестве допустимых решений, что существенно влияет на получение высокого результата в определении этой эффективности. Поиску разрешения указанного противоречия посвящена настоящая работа.

Ключевые слова: логистика, модель, оптимизация, критерий, эффективность

Проблема выбора оптимального решения логистики в общем случае сводится к трём основным постулатам [4]:

- нахождение класса вариантов действий (планов, приемов и др.), выбор которых должен быть осуществлен в результате исследования или анализа;

- выбор множества состояний внешних условий (вариантов комплекса задач), одно из которых может появиться в процессе реализации избранного решения;

- определение показателя эффективности действия (целевая функция) , величина которого зависит от выбранного решения и состояния .

Если считать, что показатель эффективности соответствует выбранной цели поведения логистической системы, то логично принимать целевую функцию за "модель" цели [1,3].

Чтобы правильно постановить задачу оптимизации и выбрать математические методы ее решения, необходимо:

- составить математическую модель, описывающую внутреннюю

структуру исследуемой логистической системы;

- выбрать и обосновать оптимизируемый критерий;

- найти и формально представить ограничения и связи, присущие рассматриваемой системе (логистическому объекту).

Задача оптимизации при таком подходе может быть сформулирована следующим образом. Пусть состояние объекта задается в каждый момент времени числами , которые являются фазовыми координатами системы. Фазовые координаты - это то минимальное количество параметров, с помощью которого характеризуется состояние исследуемой системы. Фазовые координаты представляют собой обобщение понятия геометрических координат. Поэтому состояние системы можно изображать в виде точки с этими координатами в некотором условном фазовом пространстве. Движение объекта в фазовом пространстве происходит не самопроизвольно, им можно управлять. Для этого объект снабжен "органами управления", положение которых характеризуется в каждый момент времени числами - управляющими параметрами (управлениями).

Между фазовыми координатами, управлениями и независимой переменной (временем) существуют связи, которые выражаются математически через уравнения в принятой форме: дифференциальные, алгебраические и др. Обычно управляющие параметры, а в отдельных случаях и некоторые фазовые координаты, не могут принимать произвольные значения. Поэтому практически всегда выделяется область, ограничивающая управления (так называемая область управления), формулируются ограничения на фазовые координаты [4]. Задача оптимизации по логистической модели и состоит в том, чтобы по начальному фазовому состоянию системы найти такие управления, которые максимизируют критерий. В некоторых случаях, по условиям задачи, могут быть оговорены и конечные значения ряда фазовых координат.

В зависимости от вида ограничений, формы математической модели, описывающей внутреннюю структуру объекта и вида оптимизируемого критерия, применяются различные методы оптимизации. Поскольку форма математической модели логистической системы оказывает решающее влияние на выбор метода оптимизации, сами задачи оптимизации целесообразно разделить на две группы [2]:

1. Задачи оптимизации параметров и характеристик логистических систем (объектов, процессов), математическая модель которых включает в себя систему дифференциальных уравнений.

Они выражают производные от фазовых координат через сами фазовые координаты и управляющие параметры:

(1)

где - фазовые координаты объекта;

- управляющие воздействия;

или уравнений, описывающих многошаговые дискретные процессы:

(2)

где - оператор преобразования, в общем случае зависящий от ;

- задачи оптимизации параметров и характеристик логистической системы (объекта, процесса), математическая модель которых учитывает наличие связей между управлениями и фазовыми координатами в виде конечных соотношений (алгебраических уравнений, таблиц, графиков и т.п.)

. (3)

2. Вторая группа задач, несмотря на кажущуюся простоту связей между управлениями и фазовыми координатами, не является более легкой. Дело в том, что в этой группе в качестве оптимизируемых критериев (целевых функций) выступают показатели достаточно сложной структуры. Это объясняется следующими обстоятельствами: большинство элементарных процессов и явлений, из которых складывается логистичекая схема, по своей природе заключает в себе элемент случайности (стахостичности). Следовательно, их результаты являются так же случайными. Поэтому учет стохастичности процесса уже сам по себе значительно усложняет решение задачи. Кроме того, выбор критерия для второй группы задач является достаточно сложной проблемой, обычно требующей самостоятельного исследования [3,4]. математический модель логистический

К критерию (целевой функции, показателю эффективности) логистической системы предъявляется ряд противоречивых требований. С одной стороны, он должен быть представительным, критичным к исследуемым параметрам, существенно трансформироваться при сравнительно малом изменении исследуемых параметров и адекватно оценивать основную задачу оптимизации. С другой стороны, он должен быть по возможности простым и представляться расчетной формулой. Довольно часто во второй группе задач оптимальным считают такой результат, который обеспечивает выполнение поставленной задачи при минимуме материальных затрат (прямая постановка) и такое решение, которое даёт максимум эффективности (выполнение максимума задач) при фиксированных материальных затратах (обратная постановка). Отсюда общей формой критерия при прямой постановке задачи будет математическое ожидание материальных затрат при заданной эффективности. В случае обратной постановки задачи общей формой критерия будет показатель эффективности при заданных материальных затратах.

Известно, что методы оптимизации можно разделить на две группы: аналитические и численные. Для использования аналитических методов необходимо, чтобы расчетная формула критерия, ограничения и связи между координатами, управлениями и независимой переменной, а также начальные и конечные условия были представлены в форме функций. Они должны хотя бы один раз дифференцируемы, и иметь конечное число точек разрывов. При использовании аналитических методов легче найти решение, удовлетворяющее необходимым условиям существования экстремума, но значительно сложнее проверить их достаточность.

Для использования численных методов необходимо знать возможную область изменения управлений. Численные методы формально могут быть применены в любых случаях, однако их возможности ограничены трудоемкостью расчетов. При применении этих методов принципиальным является вопрос об отыскании глобального, а не локального экстремума.

Решение оптимизационных задач логистики довольно часто связано с необходимостью нахождения таких значений независимых переменных , для которых некоторая функция этих переменных достигает максимума либо минимума (экстремума).

Для отыскания экстремума функций необходимо найти корни системы уравнений

(4)

Точка, в которой функция имеет все частные производные по независимым переменным равным нулю, называется стационарной точкой. При этом, в логистических системах стационарная точка не обязательно представляет собой локальный экстремум, некоторые точки (стационарные) представляют собой, например, седло [3].

Непрерывная функция от независимых переменных достигает максимума или минимума внутри замкнутой области только при таких значениях переменных для которых частных производных (4) одновременно обращается в ноль (стационарная точка) либо одна или несколько таких производных перестают существовать (разрыв).

После того, как расположение стационарных точек или точек разрыва установлено, остается еще ответить на вопрос о том, содержаться ли среди них экстремальные точки. Ответ на этот вопрос может быть дан с помощью нескольких методов [2].

Для функции одной переменной исследуют поведение второй производной в стационарной точке. Существуют аналитические методы и для функции двух переменных. Аналитические условия существования экстремума для функций многих переменных сложны, поэтому в представлении логистической модели широко используется метод, состоящий в непосредственном сравнении значений функции в стационарных точках с её значениями в точках разрыва и их окрестностях.

Экстремумы могут оказаться и на границе замкнутой области существования функции. Если логистическая задача -мерная, то поиск экстремума на границе приведет к одной или нескольким задачам минимума в пространствах измерений. Однако, при большом числе переменных эта задача становится практически неразрешимой. Её решение возможно лишь при переходе на методы нелинейного программирования.

Довольно часто, особенно во второй группе задач, переменных подчинены дополнительным условиям

(5)

В этом случае число независимых переменных сокращается до . А если , то имеется одна или более независимых переменных, по отношению к которым можно искать экстремум функции при дополнительных условиях (связях) вида (5).

В простейших задачах эффективным может оказаться метод подстановки. Подстановка заключается в разрешении уравнений (5) относительно из переменных и приведения рассматриваемой экстремальной задачи к новой экстремальной задаче для функции

от переменных.

Однако метод подстановки оказывается неудовлетворительным, так как уравнений связи не могут быть решены относительно переменных. В этом случае целесообразно применить метод множителей Лагранжа. Необходимые условия стационарности функции с дополнительными условиями (5) можно искать путем составления расширенной функции

(6)

Тогда предлагаемая задача будет сведена к задаче без дополнительных условий. Параметры относятся к множителям Лагранжа. При решении задачи в такой постановке они должны быть исключены с помощью расширения дополнительных условий (5).