На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 12 представлены в табл. 2.1.

Таблица 1.2

С учетом средних значений, вычисленных и представленных в Таблице 1.2, составим определители.

Таблица 1.3

Для определения параметров линейной производственной модели необходимо решить систему алгебраических уравнений, которая в векторно-матричной форме имеет следующий вид:

Решение системы уравнений целесообразно выполнить методом Крамера, для чего необходимо вычислить четыре определителя.

Тогда параметры линейной производственной модели примут следующие величины:

a= b=;

c=.

Таким образом, линейная производственная модель путевой машинной станции имеет вид:

2. Построение производственной модели Кобба - Дугласа путевой машинной станции

Путевая машинная станция имеет статистические данные, которые представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

1.0. Приведение нелинейной производственной модели к линейной.

2.1 Алгоритм расчета параметров производственной модели Кобба - Дугласа путевой машинной станции

Производственная модель Кобба - Дугласа путевой машинной станции является степенной, нелинейной, мультипликативной. Она имеет вид:

,

где - результативный признак, характеризующий объем производства (ОП) путевой машинной станции;

- фактор (ресурсы), соответственно основные производственные фонды (ОПФ) и фонды оплаты труда (ФОТ);

- параметры производственной модели Кобба - Дугласа.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Оценка параметров осуществляется после линеаризации функции Кобба - Дугласа.

После обозначения

, тогда

.

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений будет минимальной. В этом случае для определения параметров A, б и влинейной регрессии необходимо по опытным значениям и вычислить следующие их средние значения и средние значения их произведений и квадратов по следующим соотношениям:

; ; ;

; ; ;

; ; .

После применения метода наименьших квадратов можно получить систему уравнений в векторно-матричной форме:

Решение системы, т.е. нахождение параметров модели, можно выполнить методом Крамера. Для его реализации необходимо вычислить четыре следующих определителя:

,

,

Тогда вычисление параметров модели можно осуществить по следующим формулам:

, , .

2.2 Расчет параметров производственной модели Кобба - Дугласа путевой машинной станции

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 12 представлены в табл. 2.1

С учетом средних значений, вычисленных и представленных в Таблице 1.2, составим определители.

=1·6.393·0.367 + 2.528·1.53·0.605 + 0.605·2.528·1.53 - 0.605·6.393·0.605-1·1.53·1.53 - 2.528·2.528·0.367 = 2.346231 + 2.3400432 + 2.3400432-2.339997825 - 2.3409- 2.345417728 = 0,011

=2.528·6.393·0.367 + 2.528·1.53·1.34 + 0.605·5.597·1.53 - 0.605·6.393·1.34-2.528·1.53·1.53-2.528·5.597·0.367 = 5.931271968 + 5.1829056 + 5.18086305 - 5.1828051 - 5.9177952 -5.192762272 = 0,001

=1·5.597·0.367 + 2.213·1.53·0.605 + 0.605·2.528·1.34 - 0.605·5.597·0.605 - 1·1.53·1.34 - 2.213·2.528·0.367 = 2.054099 + 2.04846345 + 2.0494496- 2.048641925 - 2.0502 - 2.053168288 =-0,0003

=1·6.393·1.34 + 2.528·1.53·0.605 + 2.213·2.528·1.53 - 2.213·6.393·0.605 - 1·1.53·1.53 - 2.528·2.528·1.34 = 8.56662 + 2.3400432 + 8.55952992-8.559363945 - 2.3409 - 8.56365056 = 0,0025

Тогда параметры нелинейной производственной модели примут следующие величины:

A=

=;

=.

Таким образом, выполнив потенцирование получим: А==1,233

Таким образом, нелинейная производственная модель путевой машинной станции имеет вид:

3. Выбор для практического использования производственной модели

3.1 Оценка погрешности аппроксимации уравнений регрессии производственных моделей

Погрешность аппроксимации представляет собой отличие опытного значения объема производства от теоретического значения, рассчитанного по одному из уравнений регрессии . Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели, а, следовательно, такую модель целесообразно рекомендовать к практическому использованию. Близость опытного и теоретического значений объема производства следует устанавливать с помощью нормы погрешности.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (-) для каждого опыта представляет собой погрешность аппроксимации функции опыта. В данном случае число таких опытов равно двенадцати. Различают локальную абсолютную и относительную погрешности. Кроме того, для оценки погрешности на всем промежутке изменения ресурсов - среднюю абсолютную и относительные погрешности, а также норму погрешности.

Модуль разность между теоретическим и опытным значением результирующего показателя, вычисленной при конкретном задании фактора и , называют абсолютной локальной погрешностью результирующего показателя и обозначают

.Наряду с абсолютной локальной погрешностью рассматривают также относительную локальную погрешность, как отношение абсолютной погрешности к модулю опытного значения результирующего показателя

.

Кроме локальной характеристики аппроксимации результирующего показателя рассматривают глобальную характеристику качества аппроксимации, под которой понимается средняя ошибка аппроксимации. Таким образом, для характеристики погрешности на всем промежутке изменения фактора рассматривают среднюю абсолютную и относительную погрешности. Их вычисляют по следующим соотношениям:

и .

В качестве нормы погрешности используют следующие:

- равномерная норма как максимальное значение погрешности

или ;

- квадратичная норма

или , ,

где - количество опытов.

3.2 Расчет погрешности аппроксимации уравнений регрессии производственных моделей. Выбор производственной модели

Расчет абсолютной и относительной погрешностей для построенных производственных моделей представлен в таблице 3.1.

Таблица 3.1

На рис. 3.1 представлены опытные и теоретические значения объемов продукции, вычисленные по линейной модели, а также величины абсолютной погрешности.

Рис. 3.1

На рис. 3.2 изменены линейные теоретические значения на теоретические значения, вычисленные по модели Кобба - Дугласа.

Рис. 3.2

В таблице 3.2 приведены глобальные погрешности и нормы для различных моделей.

Анализ погрешностей и норм показывает, что качество аппроксимации линейной и Кобба - Дугласа практически равное, несколько хуже модели Алена. Учитывая, что линейная модель более проста по сравнению с моделью Кобба - Дугласа для практического применения следует рекомендовать линейную модель.

4. Исследование по линейной производственной модели путевой машинной станции изменения объема продукции от ресурсов