Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 4

Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y - стоимость квартиры (тыс. у.е.), x - размер общей площади (м²)). Данные приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Данные по району города о рынке вторичного жилья

Месяц
1	22,5	29,0
2	25,8	36,2
3	20,8	28,9
4	15,2	32,4
5	25,8	49,7
6	19,4	38,1
7	18,2	30,0
8	21,0	32,6
9	16,4	27,5
10	23,5	39,0
11	18,8	27,5
12	17,5	31,2

Задание:

1) Рассчитайте параметры уравнений регрессий и .

2) Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3) Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4) Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5) С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6) Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для .

Решение:

1. Расчет параметров уравнения регрессии

1.1 Расчет параметров линейного уравнения регрессии

Для расчета параметров применяем метод наименьших квадратов (МНК). Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений:

Для расчета строим вспомогательную таблицу 1.2.

Таблица 1.2

Вспомогательная таблица для расчета параметров

Месяц
1	22,5	29,0	841,0	652,5
2	25,8	36,2	1310,4	934,0
3	20,8	28,9	835,2	601,1
4	15,2	32,4	1049,8	492,5
5	25,8	49,7	2470,1	1282,3
6	19,4	38,1	1451,6	739,1
7	18,2	30,0	900,0	546,0
8	21,0	32,6	1062,8	684,6
9	16,4	27,5	756,3	451,0
10	23,5	39,0	1521,0	916,5
11	18,8	27,5	756,3	517,0
12	17,5	31,2	973,4	546,0
Итого	244,9	402,1	13927,8	8362,6
Среднее	20,4	33,5	1160,7	696,9

Расчет параметров:

Получили линейное уравнение парной регрессии:

Вывод. Коэффициент линейного уравнения регрессии b = 0,344 показывает, что при увеличении общей площади квартиры на 1 м² стоимость квартиры в среднем увеличивается на 0,344 тыс. у.е.

1.2. Расчет параметров уравнения регрессии

Произведем замену переменной .

Тогда получим линейное уравнение регрессии, параметры которого можно оценить МНК:

Тогда система нормальных уравнений имеет вид:

Вспомогательные промежуточные расчеты приведены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

Вспомогательная таблица для определения параметров модели регрессии

Месяц
1	22,5	29,0	5,4	121,2
2	25,8	36,2	6,0	155,2
3	20,8	28,9	5,4	111,8
4	15,2	32,4	5,7	86,5
5	25,8	49,7	7,0	181,9
6	19,4	38,1	6,2	119,7
7	18,2	30,0	5,5	99,7
8	21,0	32,6	5,7	119,9
9	16,4	27,5	5,2	86,0
10	23,5	39,0	6,2	146,8
11	18,8	27,5	5,2	98,6
12	17,5	31,2	5,6	97,7
Итого	244,9	402,1	69,2	1425,1
Среднее	20,4	33,5	5,8	118,8

Рассчитываем параметры уравнения регрессии используя готовые формулы, которые вытекают из этой системы.:

Получили уравнение регрессии:

2. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации

2.1. Оценим тесноту связи для уравнения

Индекс корреляции оценивает тесноту связи между результативным признаком у и фактором х. Рассчитывается по формуле:



Вспомогательные расчеты представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4

Вспомогательные расчеты для оценки тесноты связи

Месяц
1	22,5	29,0	4,38	18,86	3,64	13,28	18,81	3,69	13,58
2	25,8	36,2	29,07	21,34	4,46	19,93	21,45	4,35	18,89
3	20,8	28,9	0,15	18,82	1,98	3,91	18,78	2,02	4,10
4	15,2	32,4	27,13	20,03	-4,83	23,30	20,10	-4,90	23,99
5	25,8	49,7	29,07	25,98	-0,18	0,03	25,77	0,03	0,00
6	19,4	38,1	1,02	21,99	-2,59	6,71	22,11	-2,71	7,32
7	18,2	30,0	4,88	19,20	-1,00	1,00	19,20	-1,00	1,00
8	21,0	32,6	0,35	20,10	0,90	0,82	20,17	0,83	0,69
9	16,4	27,5	16,07	18,34	-1,94	3,76	18,22	-1,82	3,33
10	23,5	39,0	9,56	22,30	1,20	1,44	22,41	1,09	1,19
11	18,8	27,5	2,59	18,34	0,46	0,21	18,22	0,58	0,33
12	17,5	31,2	8,46	19,61	-2,11	4,47	19,65	-2,15	4,63
Итого	244,9	402,1	132,71			78,86			79,05
Среднее	20,4

Расчет коэффициента корреляции:

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у, которая происходит под влиянием фактора х, включенного в модель:

Вывод. Связь между стоимостью квартиры и общей площадью квартиры оценивается как заметная. В линейной модели 40,6% вариации стоимости квартиры происходит под влиянием общей площади квартиры, остальные 59,4% вариации стоимости квартиры объясняется влиянием прочих факторов, неучтенных в модели.

2.2. Оценим тесноту связи для уравнения

Расчет коэффициента корреляции:

Расчет коэффициента детерминации:

Вывод. Связь между стоимостью квартиры и общей площадью квартиры оценивается как заметная. 40,4% вариации стоимости квартиры происходит под влиянием общей площади квартиры, остальные 59,6% вариации стоимости квартиры объясняется влиянием прочих факторов, неучтенных в модели.

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности и дадим сравнительную оценку силы связи фактора с результатом

В линейной модели коэффициент эластичности:

Коэффициент эластичности для квадратической модели:

Вывод. В линейной модели при увеличении общей площади квартиры на 1% стоимость квартиры в среднем возрастает на 0,565%; в квадратической - на 0,592%.

4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации и оценим качество моделей

Для линейной модели:

Для квадратической модели:

Таблица 1.5

Вспомогательная таблица для расчета средней относительной ошибки аппроксимации

Месяц			Линейная модель	Квадратическая модель
1	22,5	29,0	18,86	3,64	0,162	18,81	3,69	0,164
2	25,8	36,2	21,34	4,46	0,173	21,45	4,35	0,168
3	20,8	28,9	18,82	1,98	0,095	18,78	2,02	0,097
4	15,2	32,4	20,03	-4,83	0,318	20,10	-4,90	0,322
5	25,8	49,7	25,98	-0,18	0,007	25,77	0,03	0,001
6	19,4	38,1	21,99	-2,59	0,133	22,11	-2,71	0,139
7	18,2	30,0	19,20	-1,00	0,055	19,20	-1,00	0,055
8	21,0	32,6	20,10	0,90	0,043	20,17	0,83	0,039
9	16,4	27,5	18,34	-1,94	0,118	18,22	-1,82	0,111
10	23,5	39,0	22,30	1,20	0,051	22,41	1,09	0,046
11	18,8	27,5	18,34	0,46	0,024	18,22	0,58	0,031
12	17,5	31,2	19,61	-2,11	0,121	19,65	-2,15	0,123
Итого	244,9	402,1			1,301			1,298

Вывод. В линейной модели в среднем фактические значения стоимости квартиры отличаются от полученных по линейной модели на 10,8%; в квадратической - на 10,8%. Для обеих моделей ошибка больше 10%, модели не являются точными.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оценим надежность уравнения регрессии

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического , и критического (табличного) значений F-критерия Фишера.

определяется по формуле

, где

- число единиц совокупности;

- число параметров при совокупности .

Расчет фактического значения F-критерия Фишера:

- для линейной модели

- для квадратической модели

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости .

Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу.

По таблице значений статистики Фишера находим табличное значение на уровне значимости б = 0,05 при числе степеней свободы df₁ = m = 1 и df₂ = n - m - 1 = 12 - 1 - 1 = 10:

F_табл = 4,96.

Сравниваем фактическое значение с табличным:

F_факт = 6,83 > F_табл = 4,96

Вывод. Для обеих моделей фактические значения критерия Фишера больше табличного значения, т.е. модели являются статистически значимыми. Гипотезу о незначимости моделей отклоняем с вероятностью допустить ошибку в 5%.

6. Рассчитаем прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для

6.1. Прогноз для модели

Среднее значение фактора:

Расчет прогнозного значения:

Расчет точечного прогноза:

(тыс. у.е.)

Интервальный прогноз определяется по формуле:

, где

- ширина доверительного интервала.

- средняя квадратическая ошибка прогноза.

t_б - табличное значение критерия Стьюдента, которое с учетом числа степеней свободы n - 2 = 12 - 2 = 10 и уровнем значимости б = 0,01 будет равно 3,17.

Средняя квадратическая ошибка прогноза определяется по формуле:

, где

- стандартная ошибка отклонений.

Для расчета строим вспомогательную таблицу 1.6.

Таблица 1.6

Вспомогательная таблица суммы квадратов отклонений от среднего

Месяц	xi
1	29,0	20,33
2	36,2	7,25
3	28,9	21,24
4	32,4	1,23
5	49,7	262,17
6	38,1	21,08
7	30,0	12,31
8	32,6	0,83
9	27,5	36,10
10	39,0	30,16
11	27,5	36,10
12	31,2	5,33
Итого	402,1	454,11
Среднее	33,51

Расчет средней квадратической ошибка прогноза:

Расчет доверительного интервала:

Нижняя граница прогноза:

20,99 - 9,29 = 11,70 (тыс. у.е.)

Верхняя граница прогноза:

20,99 + 9,29 = 30,28 (тыс. у.е.)

Вывод: с вероятностью 99% цена на квартиру общей площадью 35,18 кв. м будет находиться в пределах от 11,70 до 30,28 тыс. у.е.

6.2. Прогноз для модели

Расчет точечного прогноза:

(тыс. у.е.)

Расчет стандартной ошибки отклонений:

Расчет средней квадратической ошибка прогноза:

Расчет доверительного интервала:

Нижняя граница интервала:

21,10 - 930 = 11,80 (тыс. у.е.)

Верхняя граница:

21,10 + 9,30 = 30,40 (тыс. у.е.)

Вывод: с вероятностью 99% цена на квартиру общей площадью 35,18 кв. м будет находиться в пределах от 11,8 до 30,4 тыс. у.е.

Задача 14

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 20__ года. Данные приведены в табл. 2.1.

Известны - чистый доход (у), оборот капитала (х₁), использованный капитал (х₂) в млрд. у.е.

Таблица 2.1

Месяц	у	х1	х2
1	1,5	5,9	5,9
2	5,5	53,1	27,1
3	2,4	18,8	11,2
4	3	35,3	16,4
5	4,2	71,9	32,5
6	2,7	93,6	25,4
7	1,6	10	6,4
8	2,4	31,5	12,5
9	3,3	36,7	14,3
10	1,8	13,8	6,5
11	2,4	64,8	22,7
12	1,6	30,4	15,8

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Расчет параметров линейного уравнения множественной регрессии

Общий вид модели двухфакторной регрессии имеет вид:

Коэффициенты регрессии b₁ и b₂ показывают, на сколько единиц в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении фактора на единицу измерения.

Для расчета параметров применяем МНК (метод наименьших квадратов). Необходимо решить систему нормальных уравнений:



Расчеты необходимых сумм представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Вспомогательная таблица для расчета параметров модели

№ п/п	у	х1	х2	х12	x1x2	x1y	x22	x2y
1	1,5	5,9	5,9	34,81	34,81	8,85	34,81	8,85
2	5,5	53,1	27,1	2819,61	1439,01	292,05	734,41	149,05
3	2,4	18,8	11,2	353,44	210,56	45,12	125,44	26,88
4	3	35,3	16,4	1246,09	578,92	105,90	268,96	49,20
5	4,2	71,9	32,5	5169,61	2336,75	301,98	1056,25	136,50
6	2,7	93,6	25,4	8760,96	2377,44	252,72	645,16	68,58
7	1,6	10	6,4	100,00	64,00	16,00	40,96	10,24
8	2,4	31,5	12,5	992,25	393,75	75,60	156,25	30,00
9	3,3	36,7	14,3	1346,89	524,81	121,11	204,49	47,19
10	1,8	13,8	6,5	190,44	89,70	24,84	42,25	11,70
11	2,4	64,8	22,7	4199,04	1470,96	155,52	515,29	54,48
12	1,6	30,4	15,8	924,16	480,32	48,64	249,64	25,28
Итого	32,4	465,8	196,7	26137,30	10001,03	1448,33	4073,91	617,95

Система нормальных уравнений:

Решим систему уравнений, используя метод Крамера. Находим определители матриц:

Находим параметры линейного уравнения регрессии:

Получили линейное уравнение регрессии:

Вывод. При увеличении оборотного капитала на 1 млрд. у.е. чистый доход в среднем снижается на 0,035 млрд. у.е. При увеличении использованного капитала на 1 млрд. у.е. чистый доход в среднем увеличивается на 0,199 млрд. у.е.

2. Дадим оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности

Рассчитываем средние значения признаков:

Расчет коэффициентов эластичности:

Вывод. При увеличении оборотного капитала на 1% чистых доход в среднем снижается на 0,501%. При увеличении использованного капитала на 1% чистый доход в среднем увеличивается на 1,209%.

Фактор х₂ (использованный капитал) оказывает более ильное влияние на результативный признак у (чистый доход), чем фактор х₁ (оборотный капитал).

3. Оценим статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (б=0,01)

3.1. Оценка статистической значимости параметров модели регрессии

Для оценки статистической значимости параметров используем t-критерий Стьюдента. Фактическое значение критерия определяется по формуле:

, где

S(b_j) - стандартная ошибка коэффициентов регрессии.

, где

b_jj - диагональный элемент матрицы ;

- стандартная ошибка модели.

Стандартная ошибка модели определяется по формуле:

, где

m - количество факторов в модели.

Для расчета строим вспомогательную таблицу 2.3.

Таблица 2.3

Вспомогательная таблица для расчета характеристик модели

№ п/п	у	х1	х2
1	1,5	5,9	5,9	1,76	-0,26	0,07	1,44	0,171
2	5,5	53,1	27,1	4,34	1,16	1,36	7,84	0,212
3	2,4	18,8	11,2	2,36	0,04	0,00	0,09	0,015
4	3	35,3	16,4	2,82	0,18	0,03	0,09	0,059
5	4,2	71,9	32,5	4,76	-0,56	0,31	2,25	0,133
6	2,7	93,6	25,4	2,59	0,11	0,01	0,00	0,042
7	1,6	10	6,4	1,71	-0,11	0,01	1,21	0,071
8	2,4	31,5	12,5	2,18	0,22	0,05	0,09	0,092
9	3,3	36,7	14,3	2,36	0,94	0,89	0,36	0,286
10	1,8	13,8	6,5	1,60	0,20	0,04	0,81	0,111
11	2,4	64,8	22,7	3,05	-0,65	0,42	0,09	0,272
12	1,6	30,4	15,8	2,88	-1,28	1,63	1,21	0,797
Итого	32,4	465,8	196,7			4,82	15,48	2,259

Расчет стандартной ошибки регрессии:

Рассчитываем обратную матрицу :

Диагональные коэффициенты матрицы:

b₁₁ = 0,431b₂₂ = 0,001b₃₃ = 0,006

Рассчитываем стандартные ошибки параметров:

Находим фактические значения критерия Стьюдента:

По таблице значений критерия Стьюдента находим табличное значение на уровне значимости б = 0,01 и с числом степеней свободы df = n - m - 1 = 12 - 2 - 1 = 9.

t_табл = 3,25

Вывод. - коэффициент регрессии b₁ является не значимым, следовательно, и фактор х₁ (оборотный капитал) при этом коэффициенте является не значимым и его не стоит включать в модель.

- коэффициент регрессии b₂ является значимым, следовательно, и фактор х₂ (использованный капитал) при этом коэффициенте является значимым.

3.2. Оценка статистической значимости уравнения регрессии

Фактическое значение критерия рассчитывается по формуле:

, где

R² - коэффициент детерминации;

n - количество наблюдений;

m - количество факторов.

Рассчитываем коэффициент детерминации:

Вывод. 68,9% вариации чистого дохода у происходит под влиянием факторов х₁ и х₂, включенных в модель.

Рассчитываем F-критерий Фишера:

По таблице значений статистики Фишера находим табличное значение на уровне значимости б = 0,01 при числе степеней свободы df₁ = m = 2 и df₂ = n - m - 1 = 12 - 2 - 1 = 9:

F_табл = 8,02.

Сравниваем фактическое значение с табличным:

F_факт = 9,96 > F_табл = 8,02

Вывод. F-критерий Фишера показывает, что вариация чистого дохода, вызванная влиянием факторов, включенных в модель в 9,96 раза больше вариации чистого дохода, вызванной влиянием прочих факторов. Фактическое значение больше табличного значения, т.е. построенное линейное уравнение регрессии является статистически значимым. Нулевую гипотезу отклоняем.

4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации

Вспомогательные расчеты приведены в последнем столбце таблицы 2.3.

Вывод. В среднем фактические значения чистого дохода отличаются от полученных по линейной модели на 18,8%. Ошибка больше 10%, модель не является точной.

5. Составим матрицу парных и частных коэффициентов корреляции и укажем информативные факторы

Парные коэффициенты корреляции определяются по формуле:

, где

- средние квадратические отклонения у и х.

Коэффициент показывает тесноту и направление связи между признаками.

Для расчета строим вспомогательную таблицу 2.4.

Таблица 2.4

Вспомогательная таблица для расчета парных коэффициентов корреляции

№ п/п	у	х1	х2	yx1	yx2	y2	x12	x22	х1х2
1	1,5	5,9	5,9	8,85	8,85	2,25	34,81	34,81	34,81
2	5,5	53,1	27,1	292,05	149,05	30,25	2819,61	734,41	1439,01
3	2,4	18,8	11,2	45,12	26,88	5,76	353,44	125,44	210,56
4	3	35,3	16,4	105,90	49,20	9,00	1246,09	268,96	578,92
5	4,2	71,9	32,5	301,98	136,50	17,64	5169,61	1056,25	2336,75
6	2,7	93,6	25,4	252,72	68,58	7,29	8760,96	645,16	2377,44
7	1,6	10	6,4	16,00	10,24	2,56	100,00	40,96	64,00
8	2,4	31,5	12,5	75,60	30,00	5,76	992,25	156,25	393,75
9	3,3	36,7	14,3	121,11	47,19	10,89	1346,89	204,49	524,81
10	1,8	13,8	6,5	24,84	11,70	3,24	190,44	42,25	89,70
11	2,4	64,8	22,7	155,52	54,48	5,76	4199,04	515,29	1470,96
12	1,6	30,4	15,8	48,64	25,28	2,56	924,16	249,64	480,32
Итого	32,4	465,8	196,7	1448,33	617,95	102,96	26137,30	4073,91	10001,03
Среднее	2,7	38,82	16,39	120,69	51,50	8,58	2178,11	339,49	833,42

Расчет средних квадратических отклонений:

Расчет коэффициентов парной корреляции:

- связь между у и х₁ является прямой и заметной.

- связь между у и х₂ является прямой и тесной.

- связь между х₁ и х₂ является прямой и очень тесной.

Получили матрицу парных коэффициентов корреляции:

Вывод. Связь между факторами, включаемыми в модель, должна быть слабой. Связь между оборотным капиталом (х₁) и использованным капиталом (х₂) является очень тесной. Вместе эти факторы включать в модель не следует. В модель следует включать тот фактор, который наиболее тесно связан с результативным признаком у, т.е. фактор х₂.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции:

Т.е. если устранить влияние фактора х₂, то связь между у и х₁ будет заметной и обратной.

Т.е. если устранить влияние фактора х₁, то связь между у и х₂ будет тесной и прямой.

Т.е. если устранить влияние результативного признака у, то связь между х₁ и х₂ будет тесной и прямой.

6. Оценим полученные результаты

Коэффициенты регрессии построенного уравнения регрессии показывают, что при увеличении оборотного капитала на 1 млрд. у.е. чистый доход в среднем снижается на 0,035 млрд. у.е., а при увеличении использованного капитала на 1 млрд. у.е. чистый доход в среднем увеличивается на 0,199 млрд. у.е.

Найденные коэффициенты эластичности говорят то том, что при увеличении оборотного капитала на 1% чистых доход в среднем снижается на 0,501%. При увеличении использованного капитала на 1% чистый доход в среднем увеличивается на 1,209%. Фактор х₂ (использованный капитал) оказывает более ильное влияние на результативный признак у (чистый доход), чем фактор х₁ (оборотный капитал).

Коэффициент регрессии при факторе х₁ является не значимым, следовательно, и фактор х₁ (оборотный капитал) при этом коэффициенте является не значимым и его не стоит включать в модель.

F-критерий Фишера показывает, что вариация чистого дохода, вызванная влиянием факторов, включенных в модель в 9,96 раза больше вариации чистого дохода, вызванной влиянием прочих факторов. Построенное линейное уравнение регрессии является статистически значимым.

Связь между факторами, включаемыми в модель, должна быть слабой. Связь между оборотным капиталом (х₁) и использованным капиталом (х₂) является очень тесной. Вместе эти факторы включать в модель не следует. В модель следует включать тот фактор, который наиболее тесно связан с результативным признаком у, т.е. фактор х₂.

Задача 24

Модель денежного и товарного рынков:

, где

R - процентные ставки;

Y - реальный ВВП;

М - денежная масса;

I - внутренние инвестиции;

G - реальные государственные расходы.

Задание:

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определить тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода;

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Решение:

При переходе от приведенной формы модели к структурной приходится сталкиваться с проблемой идентифицируемости модели. Идентифицируемость - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений, состоящую из трех уравнений, которые необходимо проверить на идентифицируемость для определения способа оценки параметров, и тождества, параметры которого известны, поэтому необходимости в проверке его на идентифицируемость.

Модель включает 3 эндогенные переменные () и 2 экзогенные переменные ().

Первое уравнение:

Необходимое условие

Н = 2 () - число эндогенных переменных в уравнении;

D = 1 (G_t )- число экзогенных (предопределенных) переменных, которые есть в системе, но не входят в данное уравнение.

D + 1 = H, т.е. уравнение точно идентифицируемо, необходимое условие выполняется.

Достаточное условие.

Определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, которые отсутствуют в исследуемом уравнении не равен нулю. И ранг этой матрицы должен быть на единицу меньше числа энлогенных переменных в системе.

Запишем матрицу коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), не входящих в уравнение (I, G_t):

Ее ранг равен 2, а определитель не равен нулю. Достаточное условие идентифицируемости выполняется.

Второе уравнение:

Необходимое условие

Н = 3 (Y_t, R_t, I_t) - число эндогенных переменных в уравнении;

D = 1 (М_t) - число экзогенных (предопределенных) переменных, которые есть в системе, но не входят в данное уравнение.

D + 1 > H, т.е. уравнение сверхидентифицируемо, необходимое условие выполняется.

Третье уравнение:

Необходимое условие

Н = 2 (R_t, I_t) - число эндогенных переменных в уравнении;

D = 2 (М_t, G_t) - число экзогенных (предопределенных) переменных, которые есть в системе, но не входят в данное уравнение.

D + 1 < H, т.е. уравнение не идентифицируемо, необходимое условие не выполняется.

Поскольку 3 уравнение системы неидентифицируемо, то и вся система является неидентифицируемой.

Поскольку модель неидентифицируема, то параметры модели не могут быть определены. Необходимы преобразования в системе.

.Приведенная форма модели:

Задача 34

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Динамика пациентов в глазном отделении

День	Глазное отделение
1	30
2	22
3	19
4	28
5	24
6	18
7	35
8	29
9	40
10	34
11	31
12	29
13	35
14	23
15	27

регрессия автокорреляция уравнение линейный

Требуется:

1) Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2) Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3) Сделать выводы.

4) Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение:

1. Определим коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка

Автокорреляцией уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда.

Коэффициент автокорреляции первого порядка рассчитывается по формуле:

, где

;

.

Коэффициент автокорреляции второго порядка рассчитывается по форм

уле:

, где

; .

Вспомогательные расчеты приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Вспомогательные расчеты для определения коэффициентов автокорреляции

День
1	30	-	-	-	-	-	-	-	-
2	22	30	-	-13,61	68,65	2,70	-
3	19	22	30	71,74	127,37	40,41	65,09	92,46	45,82
4	28	19	22	21,39	5,22	87,56	6,01	0,38	95,44
5	24	28	19	2,24	39,51	0,13	3,55	21,30	0,59
6	18	24	28	53,53	150,94	18,98	50,63	112,69	22,75
7	35	18	24	-48,83	22,22	107,27	-68,76	40,76	115,98
8	29	35	18	-8,54	1,65	44,13	2,40	0,15	38,82
9	40	29	35	6,24	94,37	0,41	2,63	129,61	0,05
10	34	40	29	43,24	13,80	135,56	60,47	28,99	126,13
11	31	34	40	4,03	0,51	31,84	12,47	5,69	27,36
12	29	31	34	-3,40	1,65	6,98	0,86	0,15	4,98
13	35	29	31	3,03	22,22	0,41	1,47	40,76	0,05
14	23	35	29	-48,40	53,08	44,13	-34,99	31,53	38,82
15	27	23	35	17,60	10,80	28,70	9,32	2,61	33,28
Итого	424	397	374	100,29	612,00	549,21	111,15	507,08	550,08

Рассчитываем коэффициент автокорреляции первого порядка:

Рассчитываем коэффициент автокорреляции второго порядка:

Вывод. Коэффициенты автокорреляции показывают, что уровня ряда динамики пациентов глазного отделения не зависят от предыдущего уровня. Тренд в ряду динамики отсутствует.

2. Построим уравнение тренда

Представим ряд динамики графически (рисунок 1).



Рисунок 1 Динамика пациентов глазного отделения

Вывод. График показывает, что динамика пациентов глазного отделения носит скачкообразный характер. Тенденция в ряду динамики не прослеживается.

Построим линейное уравнение тренда линейного вида:

Параметры линейного уравнения тренда найдем методом наименьших квадратов. Решим систему нормальных уравнений:

Строим вспомогательную таблицу 4.3.

Получаем систему нормальных уравнений:

Решая систему относительно неизвестных параметров получаем:

a = 24,638, b = 0,454.

Линейное уравнение тренда имеет вид:

Вывод. Коэффициент регрессии b = 0,454 показывает, что в среднем ежедневно количество пациентов глазного отделения возрастало на 0,454.

Таблица 4.3

Вспомогательная таблица для расчета параметров

№ п/п	День	yt	t2	ytt
1	1	30	1	30
2	2	22	4	44
3	3	19	9	57
4	4	28	16	112
5	5	24	25	120
6	6	18	36	108
7	7	35	49	245
8	8	29	64	232
9	9	40	81	360
10	10	34	100	340
11	11	31	121	341
12	12	29	144	348
13	13	35	169	455
14	14	23	196	322
15	15	27	225	405
Итого	120	424	1240	3519

Список использованных источников

1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М: ИНФРА-М, 2009. XIV, 402 с.

2. Елисеева И.И. Эконометрика: учебник для магистров / И.И. Елисеева [и др]; под ред. И.И. Елисеевой. М.: Издательство...