Нечіткі системи управління економікою

Размещено на http://www.allbest.ru/

МIНIСТЕРСТВО НАУКИ І ОСВIТИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЕКОНОМІКИ ТА БІЗНЕС-АДМІНІСТРУВАННЯ

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА

«НЕЧІТКІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІКОЮ»

Виконавець: студентка групи

КБ 110-м C.А. Жаб'як

Перевірив: д. т. н., професор

Т.І. Олешко

Київ 2020

1. Нечіткі множини як способи формалізації нечіткості. Основні визначення

Універсум - це множина, яка містить всі можливі елементи в рамках контексту визначеної предметної області. Універсум, зазвичай, позначається літерою Х.

Нечіткою множиною називається множина впорядкованих пар або кортежів вигляду , де х - елемент універсуму X, - функція належності, яка ставить у відповідність кожному елементу х?Х дійсне число з інтервалу [0,1], що характеризує ступінь належності елемента х до нечіткої множини . Чим більшим є значення функції належності , тим більше елемент універсальної множини х відповідає властивостям нечіткої множини .

Скінченну нечітку множину будемо записувати у вигляді ={<х1;m`А(х1)>,..., <хn;m`А(хn)>}, або ={<х;m`А(х)>}, де n - кількість елементів нечіткої множини . Крім даних позначень використовують такі форми запису: ={(m`А(х1);х1),...,(m`А(хn);хn)}, та .

При цьому горизонтальна (або похила) лінії є розділовими знаками, а знак “+” позначає теоретико-множинне об'єднання окремих елементів. Неперервні нечіткі множини, як правило, записують у вигляді: .

Порожня нечітка множина позначається символом ? і визначає нечітку множину, функція належності якої тотожньо дорівнює нулю (m??0).

Носієм нечіткої множини називається звичайна множина , яка містить ті елементи універсуму Х, значення функції належності яких не дорівнюють нулю, тобто .

Нечіткі множини задаються трьома способами:

1. У формі списку з переліком всіх елементів нечіткої множини та відповідних їм значень функції належності: ={<х1;m`А(х1))>,..., <хn;m`А(хn)>}. При цьому елементи з нульовими значеннями функції належності, зазвичай, не вказуються в даному списку. Цей спосіб застосовують для визначення нечітких множин, які мають скінченний дискретний носій.

Наприклад, розглянемо в якості універсума X множину натуральних чисел. Тоді нечітку множину , яка описує “невелике натуральне число”, можна визначити наступним чином: ={<1;1,0>, <2;1,0>, <3;0,9>, <4;0,8>, <5;0,6>, <6;0,5>, <7;0,4>, <8;0,2>, <9;0,1>}.

2. Аналітично - у формі математичного виразу для відповідної функції належності: ={<х;m`А(х)>} або ={х;m`А(х)}. Цей спосіб використовують для визначення нечітких множин як зі скінченним, так і з нескінченним носієм.

Наприклад, розглянемо в якості універсума X множину дійсних чисел. Тоді нечітку множину `А, яка описує “дійсне число, близьке до а”, де , можна визначити наступним чином:

А={х;}, де (або ).

3. Графічно - у формі деякої кривої або сукупності окремих точок у двовимірному просторі. При цьому одна координата відповідає елементам універсуму Х, а друга - значенням функції належності цих елементів.

Основні види функцій належності. Існує багато кривих для визначення функцій належності. Найбільш розповсюдженими функціями належності є трикутна, трапецієвидна, функція Гаусса та Z- (або S-) подібні.

Трикутна функція належності визначається трійкою чисел (а,b,c), а її значення в точці х обчислюється за формулою:

При (b-a)=(c-b) маємо симетричну трикутну функцію належності, яка однозначно задається двома параметрами з трійки (а,b,c).

Для визначення трапецієвидної функції належності потрібні чотири числа (a,b,c d), а її значення в точці х обчислюється за формулою:

При (b-a)=(d-c) ця функція належності приймає симетричний вигляд.

Функція належності Гаусса (рис. 1.1), зазвичай, описується формулою і визначається параметрами (с, s).

Z- і S-подібні функції належності одержали свою назву у зв'язку з виглядом кривих, які зображують їхні графіки (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Графік функції належності Гаусса при с=5, s =2

а) б)

Рис. 1.2 Графіки сигмоїдальної функції належності при (а) a=3, b=6; (б) a=-3, b=6

До типу Z- і S-подібних функцій належить сигмоїдальна функція належності, яка у загальному випадку описується формулою: , де a, b - деякі числові параметри, такі, що a<b. При цьому, якщо а>0 маємо S-подібну функцію належності, якщо a<0 - Z-подібну.

2. Класифікація задач нечіткого математичного програмування

Стандартна задача математичного програмування формулюється звичайно як задача максимізації (або мінімізації) заданої функції на даній множині допустимих альтернатив, яка описується системою нерівностей. Наприклад,

i = 1,..., m,

де Х - задана множина альтернатив, й - задані функції.

При моделюванні у такій формі реальних задач у розпорядженні дослідника часто можуть опинитися лише нечіткі описи функцій f і та параметрів, від яких ці функції залежать, нечітко може бути описана і множина альтернатив Х. Таке нечітке описування ситуації прийняття рішень може, наприклад, відображати неадекватність інформації про цю ситуацію або бути формою наближеного опису, який достатній для розв'язування даної задачі.

Більш того, у деяких випадках точно визначена множина обмежень (допустимих альтернатив) може виявитися лише наближеною до реальної у тому сенсі, що в реальній задачі, яка лежить в основі математичної моделі, альтернативи поза множиною обмежень можуть бути не недопустимими, а лише в тій чи іншій мірі менш бажаними для ОПР, нiж альтернативи цієї множини.

Прикладом такої ситуації може бути задача, де множина допустимих альтернатив являє собою сукупність всіляких способів розподілу ресурсів, які ОПР збирається вкласти в дану операцію. У цьому випадку, мабуть, недоцільно заздалегідь вводити чітку межу множини допустимих альтернатив (розподілів), оскільки може трапитися так, що розподіл ресурсів, який лежить за цією межею дасть ефект, який переважить “меншу” бажаність цього розподілу для ОПР. Таким чином, нечіткий опис може виявитися більш адекватним реальності, ніж в деякому сенсі довільно прийнятий чіткий опис.

Форми нечіткого опису інформації можуть бути різними, звідси й відмінність в математичних постановках відповідних задач нечіткого математичного програмування (НМП). Приведемо деякі з цих постановок.

Задача 1. “Максимізація” заданої звичайної функції на нечіткій множині альтернатив. Тобто задача виду:

де , .

Опишемо підходи до розв'язування цієї задачі.

1. Зведення до задачі нечітко визначеної цілі.

Для цього вихідна функція цілі нормується за формулою:

,

і отримана функція береться за функцію належності нечіткої множини цілі ОПР. При цьому значення вважаться ступенем досягнення цілі при обиранні альтернативи . Це дозволяє безпосередньо застосувати до розв'язування цієї задачі підхід Белмана-Заде. Раціональним вважається вибір альтернативи, що має максимальну степінь належності нечіткому розв'язку, тобто альтернативи, що реалізує величину

.

2. Зведення до задачі багатокритеріальної оптимізації.

В цьому підході враховується той факт, що потрібно досягти максимального значення функції і максимальної належності рішення множині допустимих альтернатив. Тобто розв'язується багатокритеріальна задача виду:

Такий підхід детальніше буде розглянуто далі.

Задача 2. Нечіткий варіант стандартної задачі математичного програмування.

Розглянемо таку задачу математичного програмування:

Нечіткий варіант цієї задачі отримуємо, якщо “пом'якшити” обмеження, тобто припустити можливість їх порушення в якійсь мірі. Крім того, замість максимізації функції f(x) можна прагнути досягнення деякого фіксованого значення цієї функції, причому різним відхиленням f(x) від цієї величини приписувати різні степені допустимості (наприклад, чим більше відхилення, тим менше степінь його допустимості). Задачу при цьому ми можемо записати так:

де знак означає нечіткість відповідних нерівностей.

Опишемо один із способів формалізації таких задач.

Нехай задана величина функції цілі f(x), досягнення якої вважається достатнім для виконання мети прийняття рішення, і нехай є (подані ОПР) два граничних рівня а та b такі, що нерівність означає сильне порушення умови й - сильне порушення нерівності . Тоді можна записати множини цілі та обмежень використовуючи функції належності виду:

де : та : - деякі функції, що описують міру виконання відповідних нерівностей з точки зору ОПР і конкретної задачі прийняття рішень.

Таким чином, вихідна задача буде сформульованою як задача досягнення нечітко визначеної цілі, до якої можна застосувати підхід Белмана-Заде, або можна звести її до задачі багатокритеріальної оптимізації виду:

Детальніше методи розв'язування цієї задачі будуть розглянуті у наступному параграфі.

Задача 3. Нечітко описана функція, яку необхідно “максимізувати”, тобто подане відображення , де Х - універсальна множина альтернатив, - числова вісь. У цьому випадку функція при кожному фіксованому є нечіткою оцінкою результату обирання альтернативи (нечіткою оцінкою альтернативи ) або нечіткою реакцією системи на управління . Задамо також нечітку множину допустимих альтернатив .

До такої постановки зводиться широкий клас задач нечіткого математичного програмування. Методи раціонального вибору альтернатив у цьому випадку розглянуто у [ ].

Задача 4. Подана звичайна максимізуєма функція та система обмежень вигляду , i = 1,..., m. Причому параметри в описанні функцій задані нечітко, у формі нечітких множин.

Наприклад, у лінійному випадку функції мають вигляд i = 1,..., m, а кожен з параметрів та b описані відповідною нечіткою множиною , .

Розроблено декілька способів розв'язування таких задач.

Одним з них є метод модальних значень. Згідно цього методу, кожен нечіткий параметр замінюється своїм модальним значенням і потім розв'язується отримана скалярна задача. Степінь належності отриманого рішення обчислюється як мінімум серед степенів належності модальних значень параметрів. Однак цей метод можна застосовувати, якщо функції належності параметрів унімодальні, тобто кожна функція досягає свого максимального значення тільки для одного значення параметру. Якщо ж ця вимога не виконується, то питання про те, яке саме із значень параметрів, що мають найвищу степінь належності треба обирати залишається відкритим.

Інший спосіб полягає у зведенні вихідної задачі до задачі І.

Існують також методи, засновані на зведенні вихідної задачі до задачі багатокритеріальної оптимізації.

Задача 5. Нечітко описані як параметри функцій обмежень задачі так і параметри цільової функції.

Одним з підходів до розв'язування цієї задачі є зведення її до задачі типу 3.

Задача 1

Розв'язати задачу досягнення нечітко визначеної мети, коли мета й обмеження подано такими функціями належності:

Розв'язування

Щоб розв'язати цю задачу, використаємо підхід Белмана - Заде, тобто

Для зручності зобразимо графіки функцій належності мети й обмежень:

Рис. 1.1 Графічна інтерпретація розв'язування задачі досягнення нечітко визначеної мети

нечіткість множина належність математичний

Тут товстою лінією показано функцію належності нечіткого розв'язку D.

Опишемо її аналітично. Для цього знайдемо точки перетину функцій належності мети й обмеження.

Складемо рівняння:

Розв'язавши його, отримаємо координати двох точок перетину: x1 = 0 та

x2 = 4,5. Тепер можемо записати функцію належності розв'язку в аналітичному вигляді, тобто

Максимізуючим розв'язком буде альтернатива: x2 = 4,5, а ступінь її належності до нечіткого розв'язку м D (x) = 0,75.

Задача 2

Розв'язати таку задачу нечіткого математичного програмування:

Будемо вважати, що нечіткі обмеження описуються такою функцією належності:

Розв'язування

Використаємо метод розкладання на множини рівня. Враховуючи

вигляд функції належності обмежень, необхідно розв'язувати задачі на таких множинах рівня: л

1 = 1; л

2 = 0,7; та л

3 = 0,5.

На рівні: л1 = 1, задача набуває такого вигляду:

Коли л2 = 0,7, то маємо таку задачу:

І на рівні: л3 = 0,5, задачу буде записано в такому вигляді:

Отримані задачі являють собою задачі лінійного програмування і для їх розв'язування можна застосовувати, наприклад, симплекс-метод, або, оскільки кожна з них має лише дві змінні, розв'язати їх графічно. З цією метою зобразимо на координатній площині множини рівня нечіткої множини допустимих альтернатив:

Рис. 1.2 Графічна інтерпретація розв'язування задачі нечіткого математичного програмування

Тут багатокутник ABCDE відповідає множині рівня: л 1 = 1; A1 DCDE1 -множині рівня: л2 = 0,7; A2 BCDE2 - множині рівня: л3 = 0,5.

Розв'язком задачі на множині рівня 1 буде точка А. Знайдемо її координати з такої системи рівнянь:

Отримуємо, що

Значення цільової функції в цій точці:

Аналогічно знаходимо розв'язки задач на множинах рівня 0,7 та 0,5. Це

точки А1, яка має координати:

та А2 (її координати:

Відповідні значення цільової функції:

Звівши одержані результати в таблицю, маємо нечіткий розв'язок задачі.

Список використаних джерел

1. Акоф, Р. Основы исследования операций [Текст] / Р. Акоф, М. Сасиени. М.: Мир, 1971. 534 с.

2. Грешилов, А. А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях? /А. А. Грешилов. М.: Радио и связь, 1991. 317 с.

3. Дороднов, А. А. Теория принятия решений [Текст]: учеб. пособие / А. А. Дороднов. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1981. 112 с.

4. Зайченко, Ю. П. Исследование операций [Текст] / Ю. П. Зайченко. К.: Вища шк., 1988. 552 с.

5. Зайченко, Ю. П. Исследование операций [Текст]: сб. задач / Ю. П. Зайченко, С. А. Шумилова. К.: Вища шк., 1984. 220 с.

6. Исследование операций. Т. 1. Методологические основы и математические методы [Текст]: пер. с англ. / под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. М.: Мир, 1981. 712 с.

7. Исследование операций. Т. 2. Модели и применения [Текст]: пер. с англ./ под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. М.: Мир, 1981. 677 с.

8. Кини, Р. Принятие решений при многих критериях, предпочтениях и замещениях [Текст] пер. с англ. / Р. Кини, Х. Райфа. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

9. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств [Текст] / А. Кофман. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

Размещено на Allbest.ru