Стохастические модели прогнозирования

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Стохастические модели прогнозирования

Аннотация: в статье анализируются основные стохастические модели для прогнозирования динамики курса акций. Рассматриваются различия моделей с непрерывным и дискретным временем. Классификация основных стохастических моделей. Приводятся основные преимущества и недостатки по наиболее распространенным стохастическим моделям прогнозирования курса акций. Делается вывод о наиболее перспективных моделях прогнозирования будущего курса акций, торгующихся на фондовом рынке.

Ключевые слова: курс акций, дискретное время, непрерывное время, теория случайных блужданий, стохастические методы прогнозирования.

Annotation: The article analyzes the main stochastic models to predict the dynamics of stock prices. The differences of models with continuous and discrete time are considered. Classification of the main stochastic models. The main advantages and disadvantages of the most common stochastic stock price forecasting models are presented. Forecast of the future price of stocks traded on the stock market.

Key words: stock price, discrete time, continuous time, random walk theory, stochastic forecasting methods.

Исторически первыми стохастическими моделями, используемыми для описания процессов изменения цен акций, были модели с дискретным временем. Среди большого многообразия моделей с дискретным временем чаще всего используются регрессионные модели. В основе данных моделей лежит регрессионный анализ, целью которого является определение зависимости между исходной переменной и множеством внешних факторов (регрессоров). При этом коэффициенты регрессии могут определяться по методу наименьших квадратов или методу максимального правдоподобия.

Наиболее часто выделяют следующие модели с дискретным временем:

Линейные стохастические модели: Модели авторегрессионные(AR) и скользящего среднего (модели Бокса -- Дженкинса): модель временных рядов, в которой значения временного ряда в данный момент линейно зависят от предыдущих значений этого же ряда, в которой в качестве независимых переменных содержатся лаговые значения зависимой переменной. В основу авторегрессионных моделей заложено предположение о том, что значение процесса линейно зависит от некоторого количества предыдущих значений того же процесса.

Интегрированная модель авторегрессии -- скользящего среднего (ARIMA) и ее модификации: частный случай модели Бокса--Дженкинса: интегрированная модель авторегрессии -- скользящего среднего для стационарных временных рядов (многие временные ряды могут быть приведены к стационарному состоянию после выявления тренда, сезонной компоненты или взятия разности). Объясняет поведение временного ряда исходя из его значений в предыдущие моменты времени. После подтверждения стационарности ряда (приведения его к стационарному состоянию) с помощью визуальных методов анализа на стационарность строятся гипотезы о возможных порядках авторегрессии и скользящего среднего. Для объяснения поведения ряда выбирается простейшая из построенных моделей ARIMA.

Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели:

- ARCH: модель авторегрессионной условной гетероскедастичности для анализа временных рядов (в первую очередь финансовых), у которых условная (по прошлым значениям ряда) дисперсия ряда зависит от прошлых значений ряда, прошлых значений этих дисперсий и иных факторов. Данные модели предназначены для «объяснения» кластеризации волатильности на финансовых рынках, когда периоды высокой волатильности длятся некоторое время, сменяясь затем периодами низкой волатильности, причем среднюю (долгосрочную, безусловную) волатильность можно считать относительно стабильной.

- GARCH: generalized ARCH-- Обобщенная модель авторегрессионной условной гетероскедастичности.

- EGARCH: кроме учета асимметрии (GARCH) также решается проблема положительной определенности модели, так как вместо условных дисперсий в модели участвуют их логарифмы.

Нобелевские лауреаты Самюэльсон и Мертон впервые предложили динамическую модель эволюции цен в непрерывном времени, используя для описания динамики стохастические дифференциальные уравнения И то. После публикации их пионерских статей непрерывно-временные методы стали неотъемлемой частью финансовой экономики. В некоторых основных областях финансов (например, таких как описание цены актива, определение стоимости финансовых производных, теория временной структуры, выбор оптимального портфеля) непрерывно-временные методы оказались самым удобным способом проведения исследований. Непрерывно-временной подход в этих областях стимулировал появление разнообразных моделей, допускающих получение аналитических решений.

Наиболее часто выделяют следующие модели с непрерывным временем:

1. Негауссовские модели распределений и процессов: чаще всего выделяют процессы Леви, которые можно рассматривать как непрерывный аналог случайного блуждания. Это процессы с траекториями непрерывными справа и имеющими пределы слева. Разрывы траекторий происходят в случайные моменты времени, число которых конечное на любом конечном временном интервале и не более чем счетное на бесконечном интервале. Важное место в теории процессов Леви занимают устойчивые и умеренно устойчивые процессы.

2. Модели со свойствами самоподобия (автомодельности). Фрактальность.

3. Модели, основанные на броуновском движении: чаще всего в стохастическом финансовом анализе используются диффузионные процессы, являющиеся важным классом марковских процессов. Дело в том, что для процессов этого типа можно выписать уравнение для переходной плотности вероятностей, знание которой в явном виде фактически решает многие проблемы, стоящие перед финансовым аналитиком. Чаще всего для этого используется уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова.

Такое уравнение относится к классу уравнений с частными производными второго порядка параболического типа и имеет явное аналитическое решение в очень редких случаях. Чаще удается получить такие решения для однородных по времени случайных процессов, для которых функции дрейфа и диффузии явно не зависят от времени. В этом случае применение метода разделения переменных позволяет свести задачу решения уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений, к так называемой задаче Штурма - Лиувилля, когда решение краевой задачи представляется в виде разложения по собственным функциям, соответствующим требованиям выполнения условий на границах области изменения случайного процесса. Когда однородный процесс допускает стационарное решение, условиями на границах области являются равенства нулю потоков вероятности через эти границы. В этом случае, если множество собственных чисел является счетным, решение представляется в виде ряда по собственным функциям, которые обычно выбираются в виде подходящих ортогональных полиномов, не имеющих какой-либо финансовой или вероятностной интерпретации.

Первой моделью для описания эволюции стоимостей акций была линейная модель Л. Башелье (1900 г.). Хотя с принципиальной точки зрения это был решительный шаг в применении к анализу финансового рынка концепций теории вероятностей, с самого начала было ясно, что модель страдает многими недостатками и, прежде всего, тем, что стоимость акций принимает отрицательные значения.

В этом отношении важен был следующий шаг, сделанный П. Самуэльсоном, который предложил описывать стоимости акций геометрическим (или, как он также говорил, экономическим) броуновским движением. Иначе говоря, П. Самуэльсон предлагал считать, что не стоимости, а логарифмы этих стоимостей подчиняются линейной модели типа Л. Башелье.

Основываясь на данной модели в 1973 году Ф. Блэком и М. Шоулсом, и Р. Мертоном была разработана стандартная диффузионная (В,Б)-модель (Блэка-Мертона-Шоулса). И именно с этой моделью связана знаменитая формула Блэка и Шоулса для рациональной (справедливой) стоимости опционов-колл Европейского типа.

Довольно-таки очевидно, что стандартная модель основана на не слишком реалистических предположениях. В самом деле, в ней предполагается, что процентная ставка г банковского счета является постоянной (на самом деле, она флуктуирует), коэффициенты изменчивости (волатильности) и роста постоянны (в действительности, они меняются со временем). При выводе формулы Блэка и Шоулса предполагается также, что (В)-рынок является рынком “без трения” (отсутствуют операционные издержки, нет выплаты дивидендов, нет запаздывания в получении данных и принятии решений и т.п.), имеется возможность как брать с банковского счета, так и на него помещать любую сумму, а также покупать и продавать акции в любом количестве.

Все это говорит о том, что стандартная диффузионная модель (В) - рынка сильно упрощает действительность, оставаясь, однако, одной из самых популярных моделей.

Усложнение стандартной диффузионной модели в идейном плане весьма схоже с тем, как усложнялись простейшие модели в случае дискретного времени.

Надо отметить, что случай непрерывного времени является (по сравнению с дискретным временем) более деликатным, что во многом связано как с техническими сложностями соответствующего аппарата стохастического исчисления, так и с принципиальными различиями в возможностях непрерывного и дискретного трейдинга.

Литература

1. Миркин Я.М. Международная практика прогнозирования мировых цен на финансовых рынках (сырье, акции, курсы валют). // Москва: Магистр, 2014, 456 с.

2. Цацулин А.Н. Экономический анализ: Учебник для вузов. 2-е изд. // СПб: Питер, 2014, 704 с.

3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. Т. 1: Факты, модели. // Москва: МЦНМО, 2016. 440 с.

Размещено на Allbest.ru