Практическое применение математико-экономических методов на предприятиях сервисаетодов на предприятиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса»

Практическое применение математико-экономических методов на предприятиях сервиса

Белов Б.А., доцент, канд. физ.-мат. наук

Ермаков С.А., преподаватель

Щиканов А.Ю., канд. техн. наук

Москва

Работа посвящена рассмотрению рекомендаций по применению некоторых математических методов с целью оптимизации работы производственной коммерческой организации. Предложены решения по планированию производства продукции методами параметрического линейного программирования, оптимизация процесса управления трудовыми ресурсами с использованием задачи о назначениях, оптимизация маршрута доставки продукта в торговые организации с применением решения задачи коммивояжёра, принятие решения в условиях неопределенности с использованием теории игр.

Ключевые слова: моделирование, оптимизация, экономико-математические методы.

This study examines the application of mathematical techniques for business efficiency, including production planning using the parametric linear programming; labor resources management with the help of the assignment problem; product delivery by means of traveling salesman' problem solving, and making decisions under uncertain conditions applying the game theory.

Key Words: modeling, optimization, efficiency, economic and mathematical methods.

Решение современных экономических проблем и анализ экономической ситуации невозможен без использования математических моделей, а также методов оптимизации для получения конкретных практических решений. Отсутствие опыта применения экономико-математических методов связано со сложностью формализации экономических процессов производства и представления их в виде моделей, а также методов решения задач от условия задач. В данной работе рассмотрены несколько типовых задач, возникающих на производстве, а именно: рациональное планирование работы производства методами параметрического линейного программирования, оптимизация процесса производства как задачи о назначениях, оптимизация маршрута доставки продукта в торговые организации, принятие решения в условиях неопределенности с использованием теории игр.

К задачам планирования производства продукции относят задачи, в которых требуется составить план производства продукции, изготавливаемой из разных m ингредиентов, n сортов, обеспечивающий максимум прибыль от их реализации или минимум издержек.

В качестве переменных …принимают вид определяемой продукции в плане.

Прибыль от реализации зависит от времени t и прибыли от реализации единицы продукции (постоянной с' и переменной c” её части) .

В перечисленных задачах указывается ограничения на использование сырья, ресурсов с учетом расходов ингредиентов в продукции.

Тогда получим задачу параметрического линейного программирования, потому что значения коэффициентов целевой функции не постоянны, а изменяются в некотором диапазоне .

Ограничения на ингредиенты сырья - i =1..k,

ограничения на продукцию -i=k+1..m,

естественные ограничения - i=1..n.

Итак, ограничения:

Целевая функция:

Преобразуем неравенства, добавляя к левой части базисные переменные: математический коммерческий параметрический

(1)

Уравнение (1) преобразуется в симплекс-таблицу.

Используя симплекс-метод, находим решение, при котором целевая функция L(x) максимальна, а варьируемые параметры принимают оптимальные значения.

Пусть изготовление продукта производится с помощью пяти последовательных операций, время (в мин.) выполнения работы представлено таблицей.

Исполнитель Б не может выполнять 5-ю операцию, а исполнитель Г - 1-ю.

Постановка задачи: требуется распределить m исполнителей (рабочих) по n операциям. Заданная матрица С, элементы которой характеризуют эффективность выполнения i - м рабочим j - ю операцию. Рабочий i (i=1,...,m), выполняет операцию j (j=1,...,n), на которую затрачивается время. Задача состоит в таком распределении рабочих по операциям, чтобы найти минимальное суммарное время выполнения операций.

Причем 1) Каждый рабочий может выполнять только одну операцию.

2) Каждая операция может выполняться только одним рабочим.

Решение. Задача нахождения оптимального процесса производства, т.е. нахождения минимального времени выполнения операций, будет выполнена венгерским методом.

1. Редукция строк и столбцов. Цель указанного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

2. После преобразований решение, состоящее из нулей и удовлетворяющее условие, не найдено, тогда проведем минимальное число прямых, вычеркивающих все нули в матрице С. Выбираем наименьший невычеркнутый элемент, вычитаем его из всех невычеркнутых элементов и прибавляем его к элементам, стоящим на пересечении прямых.

Получаем:

Выбираем строки, содержащие «ноль» один раз: 1, 3, 4 строки. Затем выбираем оставшиеся: 2-ю и 5-ю строки. Получаем оптимальное решение:

Исполнитель А выполняет 3-ю операцию, затрачивая на её выполнение 3 минуты;

Исполнитель Б выполняет 1-ю, затрачивая на её выполнение 3 минуты;

Исполнитель В- 5-ю, тоже затрачивая на её выполнение 3 минуты;

Исполнитель Г - 2-ю, затрачивая на её выполнение 5 минут;

Исполнитель Д - 4-ю, затрачивая на её выполнение 6 минут.

Минимальное суммарное время, затраченное на выполнение операций: минут.

Другим видом задачи, возникающим в практической деятельности предприятий, является доставка продукта в торговые организации. В качестве примера рассмотрим город N, пересеченный 18 улицами и 13 переулками (авеню и стрит), расстояние между которыми 1 км. Положение фирмы МП МАТЭК и торговых организаций показано на схеме (рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения фирмы МП МАТЭК и торговых организаций (работа выполнена при участии Семёновой Н. Ю.)

Постановка задачи: имеется 5 + 1 пункт с заданными расстояниями (рис. 2) между i-м и j-м пунктами. Составить оптимальный маршрут из условия минимизации суммарного пробега для машины, выходящей из «нулевого» пункта - МП МАТЭК, причем машина должна побывать в каждом пункте по одному и только одному разу и вернуться в «нулевой» пункт, т.е. обратно в МП МАТЭК. В задаче необходимо обеспечить «непрерывность» маршрута, т.е. чтобы набор «звеньев» (i, j), которые входят в маршрут, образовывал единую цепочку. И еще , т.е. машина не может ехать в тот пункт, из которого только что выехала.

Рис. 2. Матрица расстояний между пунктами

Решение. Задача нахождения оптимального маршрута доставки продукта в торговые организации - задача коммивояжёра - разъездного представителя частной фирмы, заключающего торговые сделки.

Составим графическую модель (рис. 3) и решим задачу коммивояжера в MathCAD`e.

Рис. 3. Граф связи между пунктами назначений

Каждому участку дороги от одного пункта до другого сопоставляем свою булеву переменную, значение которой равно 1, если этот участок входит в кратчайший путь, и равно 0, если не входит. В программе каждому x_i по возрастанию порядкового номера сопоставлена буква латинского алфавита по порядку. Получаем: x₁=a, x₂=b, x₃=c, x₄=d, x₅=e, x₆=f, x₇=g, x₈=h, x₉=i, x₁₀=j, x₁₁=k, x₁₂=l, x₁₃=m, x₁₄=n, x₁₅=o.

Решение задачи в MathCAD`e выполняется с использованием стандартных функций (блок Given..Find, minimize и др.).

Для организаций сервиса и торговли важно решить задачу определения сортности продукции и обеспечение эффективного функционирования фирмы на потребительском рынке.

Пусть фирма назначила следующие цены за единицу продукта по сортам:

S₁=2,7 у.е. - за первый сорт.

S₂=2,16 у.е. - за второй сорт.

При продаже продукта представитель фирмы называет его сорт и соответствующую цену, при этом допускается ошибка или сознательная выдача одного сорта за другой (низшего за более высокий).

В случае, когда торговая организация не проверяет соответствие названного сорта продукту реальному, она платит за продукт соответствующую этому сорту цену.

Если же торговая организация подвергает продукт проверке, то при обнаружении названного сорта продукта она платит сумму на 20% большую соответствующей цены - бонус (премия =), а в случае установления более низкого сорта платит на 70% меньше его цены (штраф =).

Постановка задачи: требуется найти такую позицию для фирмы при продаже продукта по отношению к торговой организации, чтобы фирма получала максимальную прибыль. Это задача, в которой необходимо принять решение в условиях неопределенности, т.е. возникла ситуация, в которой две стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такая ситуация называется конфликтной. В этом случае результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель - выигрыш одного из партнеров (фирмы). Для решения задач с конфликтными ситуациями применяются методы, которые носят название теория игр.

Решение. Фирма продает продукцию первого и второго сортов.

Её стратегии:

1. А - продавать продукт честно, т.е. при продаже названный сорт соответствует реальному (первый сорт соответствует первому сорту, либо второй сорт соответствует второму);

2. - обманывать, т.е. реальный сорт оказывается ниже названного (если представитель фирмы называет первый сорт, то в реальности сорт оказывается вторым).

В свою очередь стратегии торговой организации:

1. В - не проверять сорт продукта;

2. - проверять сорт продукта.

Оптимальное количество продукции, которую продает фирма, найдено в первой задаче.

1) Пусть 2 единицы - S₁ - количество продукции 1-го сорта и 10 единиц - S₂ -количество продукции 2-го сорта. Тогда получим следующую модель (рис. 4):

Рис. 4. Дерево решений

Платежная матрица имеет вид:

В этом случае нижняя цена игры - и верхняя цена игры - не совпадают: - нет седловой точки. Если нет седловой точки, то решением игры является смешанная стратегия , т.е. применение стратегии фирма обеспечит получение выигрыша (прибыли) V при любых стратегиях торговой организации.

- цена игры.

Таким образом, фирма получит гарантированную прибыль, продавая продукцию одной торговой организации, равную 28,1739 у.е., если в 18-ти случаях из 23-х будет продавать продукт честно, а в остальных 5-ти случаях обманывать.

2) Пусть 7 единиц - S₁ - количество продукции 1-го сорта и 2 единицы - S₂ - количество продукции 2-го сорта. Тогда получим следующую модель:

Платежная матрица будет иметь следующий вид:

Смешанные стратегии имеют следующий вид:

3) Пусть 7 единиц - S₁ - количество продукции 1-го сорта и 0 единиц - S₂ - количество продукции 2-го сорта. Тогда получим следующую модель:

Платежная матрица имеет вид:

Матрица H удовлетворяет условию седловой точки, т.е.

max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам).

Следовательно, мы получили чистую цену игры, т.е. .

В итоге мы получили, что фирма будет получать максимальную прибыль в первом случае. Это зависит от того, что фирма в этом случае изготовила наибольшее количество продаваемого продукта 1-го и 2-го сорта (в сумме 12 единиц).

Предложенные методы могут быть применены для получения эффективных решений по управлению и организации работы предприятия сервиса.

Литература

1. Васин А.А. Исследование операций: Учебное пособие для студентов вузов/А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов. М.: Изд. центр «Академия», 2008.

2. Сдвижков О.А. Excel-VBA. Словарь-справочник пользователя/ О.А. Сдвижков. М.: Эксмо, 2008.

3. Сдвижков О.А. MathCAD-2000: Введение в компьютерную математику. Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2002.

Размещено на Allbest.ru