Прогноз объема продаж. Эконометрическое моделирование стоимости квартир

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Исследуйте динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Зафиксирован объем продаж Y(t) (тыс. шт.) одного из продуктов фирмы за одиннадцать месяцев. Временной ряд данного показателя представлен в таблице.

Номер		Номер наблюдения (t= 1, 2, …, 11)
варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
10	33	35	40	41	45	47	45	51	55	59	63

Задания:

1. Постройте график временного ряда, сделайте вывод о наличии и виде тренда.

2. Постройте линейную модель Y(t) = a_о + а₁ t, оценив ее параметры с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

3. Оцените адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t).

4. Оцените точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Осуществите прогноз объема продаж на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представьте графически.

7. Используя MS Excel и ППП VSTAT, подберите для данных своего варианта наилучшую трендовую модель и выполните прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие распечатки с комментариями.

Решение:

1) Построим график временного ряда.

Рис.1.Динамика объема продаж

Вывод: график имеет тенденцию к росту, модель близка к линейной.

2) Построим линейную модель Y(t) = а₀ + а₁t.

Оценим параметры линейной модели с помощью МНК.

Составим дополнительную таблицу 2

Таблица 2

	t	Y(t)	t-tcp	(t-tcp)2	Y-Ycp	(t-tcp)•(Y-Ycp)	Ytp
	1	33	-5	25	-13,73	68,64	32,59
	2	35	-4	16	-11,73	46,91	35,42
	3	40	-3	9	-6,73	20,18	38,25
	4	41	-2	4	-5,73	11,45	41,07
	5	45	-1	1	-1,73	1,73	43,90
	6	47	0	0	0,27	0,00	46,73
	7	45	1	1	-1,73	-1,73	49,55
	8	51	2	4	4,27	8,55	52,38
	9	55	3	9	8,27	24,82	55,21
	10	59	4	16	12,27	49,09	58,04
	11	63	5	25	16,27	81,36	60,86
сумма	66	514	0	110	0,00	311	514
средняя	6	46,73	0,00	-	0,00	-

Линейная модель Y(t) = 29,76+ 2,83•t.

Коэффициент регрессии b=2,83 показывает, что с каждым годом объем продаж увеличивается на 2,83.

3. Оценим адекватность построенной модели, используя свойства остаточной компоненты e(t).

Добавим в таблицу столбцы для расчета Y расчетного и e(t).

e_t = Yt - Ytp

Таблица 3

t	Y(t)	Ytp	et = Yt - Ytp
1	33	32,59	0,41
2	35	35,42	-0,42
3	40	38,25	1,75
4	41	41,07	-0,07
5	45	43,90	1,10
6	47	46,73	0,27
7	45	49,55	-4,55
8	51	52,38	-1,38
9	55	55,21	-0,21
10	59	58,04	0,96
11	63	60,86	2,14

Определим пиковые точки на графике.

Рис.2.График остатков

Количество пиков р = 5.

По формуле:

при n=11 вычислим критическое значение:

5 > 3,50,количество пиков достаточно, ряд остатков имеет случайные значения.

4. Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:

Таблица 4

	t	Y(t)	Ytp	et = Yt - Ytp	Еотн
	1	33	32,59	0,41	1,24
	2	35	35,42	-0,42	1,19
	3	40	38,25	1,75	4,39
	4	41	41,07	-0,07	0,18
	5	45	43,90	1,10	2,44
	6	47	46,73	0,27	0,58
	7	45	49,55	-4,55	10,12
	8	51	52,38	-1,38	2,71
	9	55	55,21	-0,21	0,38
	10	59	58,04	0,96	1,63
	11	63	60,86	2,14	3,39
сумма	66	514	514		28,26
средняя	6	46,73	46,73		2,57

Т.к. Е_отн. <15% -точность модели удовлетворительная.

5. Осуществим прогноз объема продаж на следующие два месяца (доверительный интервал прогноза рассчитайте при доверительной вероятности P = 75%).

к₁=1 t*(1)=n+k₁=12 к₂=2 t*(2)=n+k₂=13

Согласно уравнению модели у=9,62+ 4,65•t, получим точечные прогнозные оценки

у₁₂=29,76+ 2,83•12=63,69 у₁₃=29,76+ 2,83•13=66,52

Таким образом ,объем продаж в следующие 2 месяца будут составлять около 63,69 млн.руб. и 66,52 млн.руб. соответственно.

Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозных интервалов для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность р=75%) t_kp=1,23

Вычислим размах прогнозного интервала для индивидуальных значений, используя формулу

u_нижн(12)= 63,69 - 2,42=61,27 u_верх(12)=63,69+2,42=66,12

u_нижн(13)= 66,52 - 2,52=64,00 u_верх(13)=66,52+2,52=69,04

Таким образом, с надежностью 75% можно утверждать, что ожидаемый объем продаж в следующий месяц будет составлять от 61,27 млн.руб. до 66,12 млн.руб., а через месяц - от 64 млн.руб. до 69,04 млн.руб.

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически.

Рис.3. Результаты моделирования и прогнозирования

7. Используя MS Excel, подберем для данных наилучшую трендовую модель и выполним прогнозирование по лучшей модели на два ближайших периода. Представьте в отчете соответствующие распечатки с комментариями.

Уравнение модели тренда	R2
y = 31,786e0,061x	0,9698
y = 11,749ln(x) + 28,033	0,8402
y = 0,0897x2 + 1,7503x + 32,097	0,9715
y = 30,239x0,2615	0,8986

Наилучшая трендовая модель является y = 31,786e^0,061x.

Выполним прогнозирование на два ближайших периода

у₁₂= 31,786e^0,061•12=66,09 у₁₃= 31,786e^0,061•13=70,25

Таким образом, объем продаж в следующие 2 месяца будут составлять около 66,09 млн.руб. и 70,25 млн.руб. соответственно.

Вычислим размах прогнозного интервала для индивидуальных значений, используя формулу

u_нижн(12)=66,09 - 2,42=63,67 u_верх(12)=66,09+2,42=68,51

u_нижн(13)= 70,25 - 2,52=67,72 u_верх(13)=70,25+2,52=72,77

Таким образом, с надежностью 75% можно утверждать , что ожидаемый объем продаж в следующий месяц будет составлять от 63,67 млн.руб. до 68,51 млн.руб., а через месяц - от 67,72 млн.руб. до 68,51 млн.руб.

Комплексная задача типа кейс - стади

временной ряд прогнозирование эконометрический

Выполните эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области.

Таблица 1

Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

№ наблюдения	Цена квартиры, тыс.долл.	Город области, 1 - Подольск, 0 - Люберцы	Число комнат в квартире	Площадь кухни, кв. м
	Y	X1	X2	X6
41	38,00	1	1	9,5
42	62,20	1	2	10
43	125,00	2	3	8
44	61,10	1	2	10,6
45	67	2	1	6
46	93	2	2	11,3
47	118	1	3	13
48	132	2	3	11
49	92,50	2	3	12
50	105	1	4	12
51	42	1	1	8
52	125	1	3	9
53	170	2	4	8,5
54	38	2	1	7
55	130,50	2	4	9,8
56	85	2	2	12
57	98	2	4	7
58	128	2	4	13
59	85	2	3	13
60	160	1	3	10
61	60	2	1	13
62	41	1	1	10
63	90	1	4	12
64	83	2	4	7
65	45	2	1	5,8
66	39	2	1	6,5
67	86,90	2	3	14
68	40	2	1	12
69	80	2	2	10
70	227	2	4	20,5
71	235	2	4	18
72	40	1	1	11
73	67	1	1	12
74	123	1	4	7,5
75	100	2	3	7,5
76	105	1	3	12
77	70,30	1	2	10,6
78	82	1	3	10
79	280	1	4	21
80	200	1	4	10

Задания:

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции. Оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с каждым из факторов.

2. Постройте поле корреляции результативного признака Y и наиболее тесно связанного с ним фактора.

3. Рассчитайте параметры парной линейной регрессии для фактора, наиболее связанного с Y.

4. Оцените качество полученной модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

5. По модели п. 3 осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические, модельные значения и точки прогноза.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов (). Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью?

8. Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, коэффициентов.

Решение:

1. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции. Оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с каждым из факторов.

Используя сервис/анализ данных/КОРРЕЛЯЦИЯ

Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющими переменными

	Y	X1	X2	X6
Y	1
X1	0,011259267	1
X2	0,75106074	0,034098478	1
X6	0,61619407	-0,062832223	0,331904016	1

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции начнем с анализа первого столбца матрицы, в котором расположены коэффициенты корреляции, отражающие тесноту связи, зависимой переменной цена квартиры с включенными в анализ факторами. Анализ показывает, что зависимая переменная, то есть цена квартиры, имеет прямую, тесную связь с числом комнат в квартире (ryx₂ = 0,751) и с площадью кухни (ryx₆ = 0,616). С фактором Х₁ - город области (Подольск, Люберцы) связь отсутствует с зависимой переменной и его не рекомендуется включать в модель регрессии.

На 5%-ом уровне оценим значимость найденных коэффициентов. Для каждого коэффициента корреляции вычислим t-статистику по формуле: и занесем в результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы

	Y	X1	X2	X6	t-статистика
Y	1
X1	0,011259267	1			0,069411185
X2	0,75106074	0,034098478	1		7,012446419
X6	0,61619407	-0,062832223	0,331904016	1	4,822882909

По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости : б=0,05 k=38 t_kp=2,024

t(r(Y,X₁)) 0,069 <t_kp 2,024- следовательно, коэффициент r(Y,X₁) не является значимым. На основании выборочных данных нет оснований утверждать, что зависимость между ценой квартиры Y и города области Х₁ достоверна.

t(r(Y,X₂)) 7,012 >t_kp 2,024 - следовательно, коэффициент r(Y,X₂) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии корреляционной связи между признаками Y и Х₂ , что зависимость между ценой квартиры Y и числом комнат в квартире Х₂ является достоверна

t(r(Y,X₆)) 4,823 >t_kp 2,024 - следовательно, коэффициент r(Y,X₆) значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии корреляционной связи между признаками Y и Х₆, что зависимость между ценой квартиры Y и площадь кухни Х₆ является достоверна.

Таким образом факторы х₂ и х₆ значимы, фактор х₁ не значим в данной модели.

Таким образом, на основе анализа только корреляционной матрицы остаются два фактора - Число комнат в квартире и Площадь кухни (n = 40, k =2).

2. Построим поле корреляции результативного признака Y и наиболее тесно связанного с ним фактора.

В данном случае зависимость между ценой квартиры Y и числом комнат в квартире Х₂

Рис.1.Поле корреляции

3. Рассчитаем параметры парной линейной регрессии для фактора, наиболее связанного с Y.

Для построения модели используем программу РЕГРЕССИЯ

Рис.2. Регрессионный анализ

Таким образом, модель построена, ее уравнение имеет вид:

у= 7,539+36,038•х₂

Коэффициент регрессии b=36,038, следовательно, с увеличением числа комнат в квартире на 1 цена квартиры увеличивается на 36,04 тыс.долл.

4. Оценим качество полученной модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Из регрессионной таблицы видим, что R²=0,564 ,т.е. вариация цены квартиры Y на 56,4% объясняется по уравнению вариацией фактора число комнат в квартире Х₂

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу столбцом относительных погрешностей ,которые выичслим по формуле:

Т.к. Е_отн. >15% -точность модели не удовлетворительная.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F-критерия Фишера

Из регрессионной таблицы видим, что F=49,17,

Критическое значение F_кр=4,98 найденного для уровня значимости а=5% и чисел степеней свободы k₁=1, k₂=38

F=49,17 >F_kp (0,05;1;38)=4,098 следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывает включенной в модель факторной переменной Х₃.

Эту модель целесообразно использовать для прогнозирования в реальных условиях.

5. По модели п. 3 осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х₃ составит Х*=3,2.

Х_max=4 X*=4*0,8=3,2

Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y

у= 7,539+36,038•3,2=122,86 тыс.долл.

Таким образом, если прогнозное значение фактора Х₂ составит 80% от его максимального значения и составит 3,2, то ожидаемая цена квартиры составит 122,86 тыс.долл.

Рассчитаем стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака по формуле:

Предварительно подготовим:

S_e=38,32

=2,6

=55,6

t(10%;38)=1,686

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет

Размах доверительного интервала для среднего значения:

Границы прогнозного интервала будут:

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если Х₂ составит 80% от его максимального значения и составит 3,2, то ожидаемая цена квартиры будет находиться в интервале от 57,25 тыс.долл. до 188,5 тыс.долл.

Представим на графике фактические, модельные значения и точки прогноза.

Рис.3. Результаты моделирования и прогнозирования

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов (). Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Значимые факторы являются Х₂ и Х₆.

Методом включения простроим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор - Х₂

В качестве "Входного интервала Х" укажем значения факторов Х₂ и Х₆, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Рис.4. Регрессионный анализ

Таким образом, модель (2) зависимости цены квартиры Y от фактора Х₂ и Х₆ построена, ее уравнение имеет вид:

Y= - 50,1396 + 29,471Х₂+6,936Х₆

С изменением числа комнат в квартире на 1 ед. цена квартиры увеличивается на 29,47 тыс.долл., при неизменной площади кухни; с увеличением на 1 м.кв. площади кухни цена квартиры увеличивается на 6,94 тыс.долл., при неизменном числе комнат в квартире.

Расчетные значения Y определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, или из последней таблицы регрессионного анализа Вывод остатка (столбец Предсказанное Y).

7. Оценим качество построенной модели.

Для оценки качества выбранной множественной модели аналогично п.4. данной задачи используем коэффициент детерминации R- квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика (см. таб.2) или вычислить по формулам:

а) коэффициент детерминации:

R² = 0,715

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 71,5% вариации цены квартиры объясняется учтенными в модели факторами: число комнат в квартире и площадь кухни.

б) коэффициент множественной корреляции: R = 0,846.

Коэффициент множественной корреляции показывает высокую тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

Из регрессионной таблицы видим, что R²=0,715,т.е. вариация цены квартиры Y на 71,5% объясняется по уравнению вариацией факторов Х₂ и Х₆

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу столбцом относительных погрешностей ,которые вычислим по формуле:

Т.к. Е_отн. >15% -точность модели неудовлетворительная.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F-критерия Фишера

Из регрессионной таблицы видим, что F=46,5,

Критическое значение F_кр=3,25 найденного для уровня значимости б=5% и чисел степеней свободы k₁=2, k₂=37

F=46,5 >F_kp (0,05;2;37)=3,25 следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывает включенные в модель факторные переменные.

Эту модель целесообразно использовать для прогнозирования в реальных условиях.

Для сравнения качества парной модели и выбранной множественной модели используем нормированные коэффициенты детерминации

Модель	Нормированный R-квадрат
у= 7,539+36,038•х2	0,564
Y= - 50,1396 + 29,471Х2+6,936Х6	0,715

R^{^2}(1)<R^{^2}(2), таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора Х₆ качество модели улучшилось, что говорит в пользу сохранения фактора Х₂ в модели

8. Дадим оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, коэффициентов.

Коэффициент эластичности определим по формуле:

Следовательно, при увеличении Х₂ на 1% и неизменном Х₆ цена квартиры увеличится в среднем на 0,757%. При увеличении Х₆ на 1% и неизменном Х₂ цена квартиры увеличивается в среднем на 0,738%.

Бета-коэффициенты определим по формуле:

Таким образом, при увеличении только фактора Х₂ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,614 от своего стандартного отклонения Sy, а при увеличении только фактора Х₆ на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,412 от своего стандартного отклонения Sy.

Дельта-коэффициенты определим по формуле:

Вывод: на цену квартиры более сильное влияние оказывает фактор число комнат в квартире.

Размещено на Allbest.ru

...