Имитационное моделирование Монте-Карло

В процессе управления различными процессами постоянно возникает необходимость прогнозирования результатов в тех или иных условиях. В следствие стохастического характера результатов принимаемых хозяйственных решений или совершаемых действий возникают экономические риски. Поэтому одним из важных направлений является проблема управления рисками, решение которой является необходимым условием обеспечения долгосрочной устойчивости компаний. Для того, чтобы количественно оценить риск, нужно знать и учитывать все возможные последствия от принимаемых решений. Для ускорения принятия решения о выборе оптимального варианта управления и экономии средств на эксперимент используется моделирование процессов. Моделирование - метод решения задач, при использовании которого исследуемая система заменяется более простым объектом, описывающим реальную систему и называемым моделью. Моделирование применяется в случаях, когда проведение экспериментов над реальной системой невозможно или нецелесообразно, например, из-за высокой стоимости или длительности проведения эксперимента в реальном масштабе времени.

Для оценки экономических рисков проектов применяют различные методы имитационного моделирования, наиболее распространенным из которых является метод Монте-Карло. Данный метод необходим для исследования влияния на результаты проекта случайных комбинаций исходных факторов. Имитационное моделирование по методу Монте-Карло дает возможность спроектировать математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров. Учитывая вероятностное распределение параметров проекта, а также корреляцию параметров можно получить распределение доходности проекта. Метод Монте-Карло создает дополнительную возможность при оценке риска за счет того, что делает возможным создание случайных сценариев.

Суть метода Монте Карло

Рождение метода Монте Карло относят к не очень уж и далекому 1949 году. В 1949-ом появляется статья Станислава Улама и Николаса Метрополиса с коротким и емким заголовком «Метод Монте Карло». В ней описывалась математическая методика имитационного моделирования, применявшая генератор случайных чисел (ГСЧ). Лучшим естественным ГСЧ была рулетка казино. Метод имитационного моделирования «Монте-Карло» получил свое название от города Монте-Карло, Монако, известного своими игорными домами. Успех в таких играх как рулетка, кости и слот-машины целиком зависит от удачи, а результаты ходов представляют собой разброс случайных величин. Отсюда и название статьи, и название метода.

Имитационное моделирование методом Монте-Карло позволяет осуществлять оценивание воздействия неопределенности на системы в широком диапазоне ситуаций. Обычно данный метод применяется для оценивания диапазона возможных результатов и соответствующей частоты значений в данном диапазоне для количественных величин, таких как затраты, длительность, производительность, спрос и тому подобных.

Входными данными для моделирования методом Монте-Карло являются детально проработанная модель системы и информация о типах входных данных, источниках неопределенности, которые необходимо учесть, и требуемые выходные данные. Входные данные с неопределенностью представляются как случайные переменные с распределениями с большим или меньшим рассеянием в соответствии с уровнем неопределенностей. С этой целью обычно используют равномерное, треугольное, нормальное и логарифмически нормальное распределение.

Выходными данными может быть отдельное значение, как указано в примере выше, или результат может быть выражен как вероятность или распределение частот, или выходными данными может быть выявление основных функций в модели, которая имеет наибольшее воздействие на результат.

Метод Монте-Карло создает дополнительную возможность при оценке риска за счет того, что делает возможным создание случайных сценариев. Применение анализа риска использует все составляющие информации, а также ее формы. Информация может быть представлена в следующих формах: объективных данных и экспертных оценок.

Информация используется для количественного описания неопределенности, существующей в отношении основных переменных проекта, а также расчетов возможного воздействия неопределенности на различные параметры эффективности инвестиционного проекта. Результат анализа риска выражается не только значением чистой текущей стоимости (NPV), но и в виде вероятностного распределения всех возможных значений этого показателя. Показатель чистой текущей стоимости рассчитывается по формуле:

где n, t ? количество временных периодов;

CF ? денежный поток;

R ? стоимость капитала (ставка дисконтирования).

В общем случае имитационное моделирование Монте-Карло ? это процедура, при помощи которой математическая модель нахождения финансового показателя, к примеру, чистой текущей стоимости подвергается ряду имитационных прогонов с помощью компьютера. Процесс имитации реализуется таким образом, чтобы случайный выбор значений из определенных вероятностных распределений не нарушал существования известных или предполагаемых отношений корреляции среди переменных. Результаты имитации сводится и анализируются статистически, для того чтобы оценить меру риска. Применение метода имитации состоит в определении функции распределения между каждой переменной. Как только функция распределения будет определена, то можно использовать метод Монте-Карло.

Алгоритм метода имитации Монте-Карло состоит из следующих этапов:

1. После применения статистического пакета в состав, которого входят: средства деловой графики, дисперсионного анализа, регрессионного анализа, анализа временных рядов и пр., производится выбор случайным образом, основываясь только на вероятностной функции распределения значение переменной. Функция распределения также выступает одним из параметров определения потока наличных денежных средств.

2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных используется для расчета чистой приведенной стоимости проекта. Если значение чистой приведенной стоимости положительно, то инвестиции считаются эффективными.

3. Первый и второй этап необходимо повторить большое количество раз, к примеру, для того, чтобы увеличить точность значений чистой приведенной стоимости проекта. Чистая приведенная стоимость проекта применяется для создания плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

4. Необходимо определить минимальное и максимальное значение критической переменной. Границы изменения переменной рассчитываются, исходя из всего спектра допустимых значений.

Используя опыт прошлых наблюдений за переменной можно установить частоту, с которой та принимает соответствующие значения. В границах модели вероятностного анализа рисков осуществляется большое число различных повторений некоторых математических операций или действий (итерация). Итерации позволяют выявить, как может повести себя результативный показатель, определить границы его колебаний и определить каким образом он будет распределен при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с установленным распределением.

Пример решения практической задачи

имитационный монте карло экономический риск

Требуется изучить функционирование простой системы массового обслуживания - магазина с одним продавцом. Известно, что интервалы времени между приходом покупателей составляет 1-10 мин, причем длительность интервала на этом отрезке подчинена закону равномерной плотности. Случайное время обслуживания покупателя продавцом составляет 1-6 мин, распределено равномерно. Требуется определить среднее время ожидания покупателем обслуживания и загрузку продавца.

Решение задачи осуществляется в следующей последовательности:

1. С помощью генератора случайных чисел получаем с точностью до минуты реализацию случайного времени обслуживания первого покупателя

2. С помощью генератора случайных чисел получаем с точностью до минуты реализацию случайного интервала между приходом первого и второго покупателя

3. Определяем разницу между этими величинами, которая представляет собой время ожидания в очереди второго покупателя, если она положительна, или время простоя продавца, если она отрицательна. В общем случае:

Зная эти величины, можно определить среднее время ожидания обслуживания покупателями и процент простоя продавца:

Рисунок 1

Итоги имитационного эксперимента в виде таблицы

Рисунок 2. Итоги имитационного эксперимента в графика

При каждой новой серии испытаний результаты будут несколько изменяться. С увеличением числа испытаний в серии результаты будут более стабилизироваться, стремясь к постоянным величинам, равным математическим ожиданиям определяемых величин. В рассмотренном примере функционирование системы «продавец-покупатель» определяется двумя случайными величинами - интервалом между приходами покупателей и временем обслуживания покупателя, принятые распределенными равномерно. Можно рассматривать любое количество случайных факторов, подчиненных любым законам распределения. В каждом из испытаний происходят или не происходят некоторые учитываемые события, вероятности которых заданы, а также реализуются какие-то значения учитываемых случайных величин, законы распределения которых должны быть известны.

Заключение

Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Несомненно, моделирование методом Монте-Карло обладает рядом преимуществ, дает хорошо приближенную к реальности картину, а значит, позволяет более правильно оценить риск. Кроме того, метод Монте-Карло позволяет получить графическое изображение вероятностного распределения ожидаемых NPV и провести дальнейший эконометрический анализ полученных результатов с целью определения риска.

К преимуществам этого метода Монте-Карло следует, прежде всего, отнести простоту использования и наглядность при планировании прибыли, а также:

1. Корреляция моделируется разными методами и учитывается в модели;

2. Появляется возможность одновременно моделировать случайные изменения нескольких составляющих проекта с учетом условий коррелированности;

3. Сценарии случайны и формируются автоматически при реализации алгоритма метода Монте-Карло;

4. Сценарии формируются исходя из диапазонов возможных изменений случайных величин и подобранных законов распределения;

5. Число случайных сценариев может быть сколь угодно велико, так как процесс имитации реализован в виде компьютерной программы, существует метод выбора необходимого числа сценариев, гарантирующего с определенной вероятностью (надежностью) точность результатов моделирования.

Но в то же время следует учесть и недостатки данного метода:

1. Точность решений зависит от количества итераций, которые могут быть выполнены (недостаток становится менее значимым с увеличением быстродействия компьютера).

2. Метод предполагает, что неопределенность данных можно описать известным распределением.

3. Большие и сложные модели могут представлять трудности для специалистов по моделированию и затруднять вовлечение заинтересованных сторон.

4. Метод не может адекватно моделировать события с очень высокой или очень низкой вероятностью появления, что ограничивает его применение при анализе риска.

Методом Монте-Карло можно найти решения таких задач, как:

· оценка неопределенности финансовых прогнозов

· оценка результатов инвестиционных проектов

· прогнозирование стоимости и графика выполнения проекта

· оценка нарушений бизнес-процесса и др.

С появлением ЭВМ, в том числе и электронных генераторов случайных чисел, метод получил широкое распространение в таких областях, как математика, химия, физика, экономика и других. Информационные технологии упростили работу с данным методом и значительно сократили время поиска решений.

Таким образом, метод Монте-Карло вновь набирает популярность там, где нельзя обойтись применением аналитического метода

Список используемой литературы