Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по дисциплине “Моделирование и оптимизация процессов”

на тему: “Распределение ресурсов сырья лесозаготовок и деревообработки, оптимизации объемов производства и конечной продукции”

План

Введение

1. Содержательная формулировка задачи

2. Эвристическое решение задачи

3. Разработка математической модели и постановка задачи оптимизации

4. Геометрическое решение поставленной задачи

5. Вывод эффективных решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен

5.1 Первая задача на чувствительность

5.2 Вторая задача на чувствительность

5.3 Третья задача на чувствительность

6. Алгебраическое решение поставленной задачи

6.1 Первый шаг симплекс метода

6.2 Второй шаг симплекс метода

7. Компьютерное решение

Заключение

Список используемой литературы

Введение

В деятельности инженера и управляющего определяющими являются задачи выбора более эффективных и менее капиталоемких экологически чистых технологий и повышение качества функционирования существующих. Высокие потребительские свойства и качество продукции обеспечивается при необходимом минимуме затрат посредством развития и повышения эффективности производства на основе предваряющего рационального выбора. Основополагающий принцип процветания предприятия, высокое качество и эффективность производства в условиях рыночной экономики, может быть осуществлен посредством моделирования и оптимизации лесопромышленных производств, обеспечивающих инженерное и научное обоснование эффективного выбора. В условиях действующего производства подобные инженерные задачи включаются в процесс его совершенствования на одном из конечных этапов после постановки учетных, контрольных и организационных задач на соответствующий уровень. Тогда для равноконкурентных предприятий с одинаковыми уровнями организации более конкурентным будет то, где действуют высококвалифицированные инженеры, решающие проблемы лесного предприятия не только посредством инженерной интуиции, но и на основе результатов адекватного моделирования и оптимизации.

В этой курсовой рабою рассматривается выбор эффективного распределения ресурсов древесного сырья и принятию обоснованных проектных и управленческих решений в условиях изменения внешней (цены, спрос) и внутренней (объемы производства сырья) ситуации. Эти задачи решаются на основе линейного программирования.

1. Содержательная формулировка задачи

На лесопромышленном складе низкокачественной древесина перерабатывается на технологическую щепу и тарную дощечку, они поставляются потребителю по рыночным ценам.

Известно, что и тарная дощечка, и технологическая щепа изготавливается из двух видов сырья: технологических дров и отходов лесопиления. То есть для производства технологической щепы подается часть технологических дров и часть отходов лесопиления. Для тарной дощечки также. Максимально возможные объемы производства сырья: Технологических дров составляет 80 м³ и отходов лесопиления 35 м³.

На производство 1 м³ тарной дощечки расходуется 3 м³ технологических дров и 0,5 м³ отходов лесопиления.

На производство 1м³тарной дощечки расходуется 1,5 м³ технологических дров и 0,15 м³ отходов лесопиления.

Объем реализации тарной дощечки не превышает 20 м³ в смену.

Цена реализации: технологической щепы - 520руб/м³, а тарной дощечки - 1000руб/м³

Для наглядности представим данные в виде таблицы:

Таблица 1

Сырье	Расход сырья	Объем производства м3/см
	Технологическая щепа	Тарная дощечка
Технологические дрова	1,5	3	80
Отходы лесопиления	0,15	0,5	35
Цены руб./м3	520	1000

2. Эвристическое решение задачи

Эвристическое решение нужно будет сопоставить со всеми полученными в ходе курсовой работы решениями: геометрическим, алгебраическим - симплекс таблица, компьютерный.

Поскольку тарная дощечка имеет большую цену реализации, то имеет смысл выпускать ее в полном объеме, то есть 20 м³. Расход сырья на производство 20 м³ тарной дощечки составит:

Технологические дрова: 203=60 м³

Отходы лесопиления: 200,5=10 м³

Остаток не использованного сырья составит:

1) По технологическим дровам: 80-60=20 м³

2) По отходам лесопиления: 35-10=25 м³

Остаток сырья используем для производства технологической щепы. Объем производства технологической щепы из оставшихся технологических дров (20 м³), произведем 20/1,5 =13,334 м³ технологической щепы.

Поскольку щепа производится из двух видов сырья, то проверим достаточность объема отходов лесопиления на производство принятых 13,3 м³ щепы.

Есть 13,334 м³ технологической щепы0,2 =2,7м³ отходов лесопиления.

На складе остаются:25-2,667=22,333м³.

Доход от продажи 20 м³ технологической щепы и 13,3 м³ технологических дров составит:

3. Разработка математической модели и постановка задачи оптимизации

Определение цели. Цель: найти объемы производства каждого из видов продукции - тарной дощечки и технологической щепы, максимизирующие доход в рублях от реализации продукции с учетом ограничений на поставки и расход технологических дров с отходами лесопиления.

Построение математической модели.

1) Обозначим переменные: Х_щ - Это объем производства технологической щепы в смену; Х_д - это объем производства тарной дощечки в смену;

2) Целевая функция разрабатывается исходя из того, что сменный доход от реализации технологической щепы равняется: 520 Х_щ (520 рублей - цена реализации 1 м³ технологической щепы); аналогично - доход от реализации тарной дощечки 1000 Х_д; общий доход (целевая функция) равняется сумме двух доходов у=520 Х_щ +1000 Х_д;

3) построение ограничений производится на основе содержательной сущности задачи, в которой отражены:

а) ограничения на расход сырья, представленные в словесной и символьной форме:

,

;

б) ограничения на объем реализации (поставок)

, ;

в) ограничения на неотрицательность переменных управления Х_щ и Х_д, поскольку объемы производства не могут быть отрицательными:

, ;

Итак, на основании изложенного, математическая модель сформирована, и задача оптимизации ставится следующим образом: определить сменные объемы производства технологической щепы Х_щ и тарной дощечки Х_д, такие, при которых функция цели достигает максимума у= 520 Х_щ +1000 Х_д > max;

Математическая модель имеет вид.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Геометрическое решение поставленной задачи

При наличии ограничений 2-7 возможные решения могут быть определены при нанесении их на плоскость.

Построим линии всех уравнений 2-7, заменив знаки неравенств на равно и обнуляем (приравниваем к нулю) одной из переменных уравнения.

(2)

Рис.1.

Укажем на графике направление действий ограничения.

Треугольник ABC являться областью допустимых решений (ОДР), где выполняются все имеющиеся в задаче ограничения, любые решения допустимы.

Поиск оптимального решения производится по средствам определения направления возрастания функции цели. Направление возрастания находят по средствам последовательного построения линии уравнения (1) при конкретных значениях y. Построим линию (1) для значений 8, 16, 32 тыс. руб.

Построим линию 1

1) 8000= 520 Х_щ +1000 Х_д

Х_щ =15,38 Х_д =0

Х_щ =0 Х_д =8

2) 16000= 520 Х_щ +1000 Х_д

Х_щ =30,77 Х_д =0

Х_щ =0 Х_д =16

3) 32000= 520 Х_щ +1000 Х_д

Х_щ =61,54 Х_д =0

Х_щ =0 Х_д =32

Произведем перемещение прямой у в направление ее возрастания до момента перехода из ОДР в области недопустимых решений. Нас интересует точка которая останется последней при переходе из ОДР в область недопустимых решений. Этой границей является точка пересечения прямых (2) и (7) точка С.

Значения объемов X_щ и X_д найдем, решив систему уравнений (2) и (7).

Доход от реализации: руб./смену

Значения Х_щ и Х_д y для геометрического решения полученные для оптимальной точки С называется оптимальным решением.

Далее необходимо сопоставить эвристическое и геометрическое решение и сделать вывод наиболее выгодным.

5. Вывод эффективных решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен

5.1 Первая задача на чувствительность

Задача решает на сколько можно сократить или увеличить сменный объем производства технологических дров и отходов лесопиления и ресурсы спроса технологической щепы и тарной дощечки.

Ограничения называют связывающим если их линии проходят через оптимальную точку, а ресурсы, описываемые связывающими ограничениями, называются дефицитными.

Например, линии (2) и (7), описывающие ресурсы технологических дров и отходов лесопиления будут являться дефицитными.

Ограничения, которые не проходят через оптимальную точку - не связывающие, а ресурсы не дефицитные.

В соответствии с этим сформулируем под задачу А: на сколько можно увеличить объем производства технологических дров и отходов лесопиления для улучшения полученного оптимального значения у.

Под задачей B: на сколько можно снизить объемы реализации технологической щепы и тарной дощечки без ухудшения полученного оптимального решения в точке С.

Решения подзадачи А.

Определим объем увеличения ресурсов технологических дров.

Линию 2 перемещаем (увеличиваем) вверх параллельно самой себе до точки пересечений линий (3), (5) точка К.

При таком перемещении ограничение (3), (5) будут связывающее, а точка K оптимальной, треугольник ABC становиться областью оптимальных решений. Поднимать линию 2 выше точки K нерационально - проблема утилизации избыток запаса.

Предельный уровень запаса технологических дров определяем: найдем координаты точки К из системы уравнений, описывающий эту точку - это линии (3), (5).

Подставив координаты точки К в уравнение (2) определим максимально допустимый запас технологических дров:

Величина допустимого увеличения объема технологических дров равна 230.

Решение подзадачи B.

Аналогично определим объем изменения ресурсов отходов лесопиления.

Перемещаем линию 3 в направление убывания до перехода из не дефицитного в дефицитное - до точки B.

Решая систему уравнений, описывающий точку B линии (2), (4).

Поскольку перемещали линию 3, то подставим полученный результат в уравнение (3):

Объем допустимого решения составит м³ отходов лесопиления.

Заключается в проверке на чувствительность не дефицитных ресурсов, то есть уменьшении правых частей ограничений (4) и (5).

Ограничение (5) фиксирует предельное значение тарной дощечки: то есть если производить более 20 м³, то произойдет затоваривание.

Линию (5) будем снижать до точки С, координаты которой уже известны Х_щ =53,33 и Х_д =0

Величина снижения объема продаж составит

Ограничение (4) характеризует соответствие между объемами технологической щепы и тарной дощечки.

Правую часть ограничения можно уменьшить до тех пор, пока линия (4) - (в точке С)

Может достигать разность между объемами щепы и дощечки без ущерба для дохода.

Сведём результаты под задачи A и B в таблицу 2:

Таблица 2

№	Наименование ресурса	Тип ресурса	Изменение объема, м3	Максимальное изменение дохода, руб.
1	Технологические дрова	дефицитная	310-80=230	106668,4-27733,33=78935,07
2	Отходы лесопиления	Недефицитная	11,57-35=-18,43	0
3	Тарная дощечка	Недефицитная	20-0=20	0
4	Технологическая щепа	дефицитная	53,33-0=53,33	0

Получение 106668,4: перемещение линии 2 дефицитного ресурса до точки K мы можем получить доход в этой точке, подставив координаты точки K в уравнение дохода, получим

Значение 27733,33 - это доход в точке С.

5.2 Вторая задача на чувствительность

В процессе решения задачи, принимающее решение, получаем ответ на вопрос: увеличение объема какого из ресурса наиболее выгодного, то есть какому ресурсу нужно будет отдать предпочтение для вложения средств.

Ведем характеристику ценности дополнительной единицы і которое обозначим через Z_i. Величина Z_i равна отношению максимального превращения значенияк максимальному приросту объема і ресурса.

Например, для ресурса технологических дров получится:

Полученный данные позволяют сказать, что 1м³технологических дров трансформируются технологическую щепу и тарную дощечку принесет предприятию 343,195 рублей.

5.3 Третья задача на чувствительность

Изменение коэффициента целевой функции оказывает влияние на угол наклона прямой или линии 1. Данная задача отвечает на вопросы:

1) Каков может быть диапазон изменения цен на тарную дощечку и технологическую щепу, при котором не измениться оптимальный объем производства Х_щ и Х_д

2) Насколько следует изменить цену на щепу и дощечку, чтобы сделать дефицитные ресурсы не дефицитными и наоборот.

Для решения данной задачи линию 1 на графике необходимо разместить проходящую через точку С.

Точка С будет являться оптимальной до тех пор, пока линия 1 не выйдет за пределы наклонов линий, ограничивающие ее, то есть линий 2 и7.

Для нахождения интервалов изменения цен (коэффициент функций), при котором точка C остается оптимальной, оставив значение С_д=1000, где С_д - стоимость дощечки.

Значение цены на щепу С_щ можно увеличивать до тех пор, пока линия y совпадет с линией (4) или уменьшать до совпадения с линией (2). Углы линий (2) и (4) определяют углы изменения наклона линий y.

Приравниваем данное выражение к отношению соответствующие коэффициентам.

Подобное отношение можно построить для коэффициента цен.

Где и это цена на дощечку и щепу.

Для нахождения мы оставим значение неизменным.

- максимальное.

Для нахождения минимального

- минимальное.

Таким же образом найдем цену на дощечку:

Где и это цена на дощечку и щепу.

Для нахождения мы оставим значение неизменным.

- максимальное.

Для нахождения минимального



- минимальное.

Следовательно, интервал изменения цен на щепу от 300 до 500 рублей, при этом точка C будет так же оставаться оптимальной, а интервал изменения цен на дощечку от 156 до 260 рублей от сюда следует, что точка C будет так же являться оптимальной.

Например, из данного диапазона можно сделать вывод о том, что в пределах указанных цен на щепу необходимо будет сохранить объёмы выпуска щепы и дощечки.

6. Алгебраическое решение поставленной задачи

При геометрическом решении мы установили, что оптимальному решению соответствует одна из угловых точек АВС из ОДР.

Нахождение оптимального решения начинается с исходной угловой точки и осуществляется по средствам перебора всех имеющихся угловых точек. В нашем случае исходной точкой будет точка A, смежные ей точки Bи C. Приведем модель распределения ресурсов к стандартной форме. Для записи ограничений в виде равенств в их левую часть вводиться дополнительные избыточные переменные S_i, которые увеличивают левую часть до величины, позволяющий поставить знак равно “=” вместо меньше равно “?”. Коэффициент S_i примем равным нулю. С учетом сказанного задача примет вид.

6.1 Первый шаг симплекс метода

Приравниваем к нулю переменные Х_щ и Х_д, получим выражения: S₁=80; S₂=35; S₃=0; S₄=20;

Это начальное допустимое решение соответствующие доходу в точке А, значение дохода в этой точке равно нулю.

Все остальные шаги симплекса метода представим в виде таблицы:

6.2 Второй шаг симплекс метода

При переносе правой части функции цели в левые коэффициенты отражающие цены (520 и 1000) становятся отрицательными.

Для определения начало движения, выбирается переменные Х_щ и Х_д с наибольшим абсолютным значением коэффициентом при ней.

Определим включающую в решение или в базисную переменную.

Определение: ведущий столбец - тот, который содержит включаемую в решение переменную (то есть с наибольшим абсолютным коэффициентом при ней).

Руководствоваться данным правилом необходимо, выбрать переменную Х_д, так как коэффициент при ней имеет наибольшее значение. Однако меньшее число итераций (итерация - это каждая угловая точка) будет выполнена на оси Х_щ.

Ведущая строка - строка в которой содержится наименьшее отношение, она же определяет исключаемую переменную.

Ведущий элемент - находиться на пересечении ведущей строки и ведущего столбца.

Отношение равно решению деленное на коэффициент в ведущем столбце.

Ведущей строкой является строка с переменной S_i.

Правило формирования и расчета последующих итераций.

1) Формирование нового ведущего уравнения (новой ведущей строки).

СВС - старая ведущая строка.

НВС =

2) Формирование остальных уравнений.

Новая строка НС = старая строка - коэффициент этой строки * НВС

Процедура расчета: в первой имеющейся итерации необходимо будет определить ведущий столбец, ведущую строку и ведущий элемент.

Для второй итерации сформируем новую ведущую строку.

После формирования НВС необходимо будет рассчитать все остальные строки по формуле НС.

Расчет прекращается тогда, когда все коэффициенты при уравнении y будут положительны.

По симплекс таблица необходимо будет сделать вывод, то есть отметить элементы, имеющие значение для расчета: 1) Значение дохода в строке y в столбце решения. 2) Значение Х_щ - производимый объём щепы должен получиться в столбце решении, значение Х_д - величина объема производимой дощечки, так же будет определено в столбце решений.

Таблица 3.

Базисные переменные	y	Xщ	Хд	S1	S2	S3	S4	Решение	Отношение
y	1	-520	-1000	0	0	0	0	0
S1	0	1,5	3	1	0	0	0	80	53,33
S2	0	0,15	0,5	0	1	0	0	35	233,33
S3	0	-1	1	0	0	1	0	0	0,00
S4	0	0	1	0	0	0	1	20	#ДЕЛ/0!
y	1	0	40	346,6667	0	0	0	27733,33
	0	1	2	0,666667	0	0	0	53,33333
S2	0	0	0,2	-0,1	1	0	0	27
S3	0	0	3	0,666667	0	1	0	53,33333
S4	0	0	1	0	0	0	1	20

7. Компьютерное решение

Решение будет осуществляться в среде Excel

Возможность решения заключается в реализации процедуры (поиск решения) надстройки Excel, находящаяся в группе команд: «Файл» - «Надстройки». В нижней части экрана кнопка «Перейти» - «Поиск решения». Данная команда появится на вкладке «Данные».

Ячейки C3-C4 и D3-D4:

; ; ; ;

Ячейки B3 и B4 содержат начальные значения Х_щ и Х_д = 1. Ячейки C5 и D5 содержат сумму значений столбца C и столбца D соответственно. Ячейки C6; D6; E6 и F6 - содержаться значения ограничений по сырью и производством продукции.

Ячейки G3 и G4 будут содержать рассчитанные значения дохода G3. Ячейка G5 - целевая функция, содержит формулу: G3 + G4.

Таблица 4. Рациональное распределение ресурсов технологических дров и отходов лесопиления

Ресурсы	Производство в смену	Технологические дрова	Отходы лесопиления	Спрос на ТД	Соотношение Хщ и Хд	Доход
Технологическая щепа	1	1,5	3	0	-1	520
Тарная дощечка	1	0,15	0,5	1	1	1000
Текущее значение		1,65	3,5	1	0	1520
Ограничение		80	35	20	0

После заполнения таблицы, необходимо перейти к диалоговому окну «Поиск решения» на вкладке «Данные». Перед вызовом данного диалогового окна выделим ячейку G5.

Порядок работы в окне поиск решения:

1) Установить целевую ячейку - $G$5;

2) Установить равной максимальному значению;

3) Изменяя ячейки переменных $B$3 и $B$4;

4) В графе ограничения вводим: $C$5:$F$5?$C$6:$F$6;

$B$3:$B$4?0;

Рис.3:Заполнение диалогового окна « Поиск решения».

5) Нажимаем кнопку «Выполнить» - появится результат в виде еще одного диалогового окна, где нужно будет указать опцию «Сохранить найденное решение» и тип отчета «Результаты».



Рис.4: Настройка диалогового окна «Результаты поиска решения» с целью получения результатов анализа на чувствительность.

Рис.5:Отчет о результатах.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были получены навыки решения задач линейного программирования различными методами: на основе инженерной интуиции (эвристическое решение), графическим методом (геометрическое решение), с применением математического аппарата (алгебраическое решение) и с использованием средств Microsoft Excel, Math Cad. Также научился разрабатывать линейные математические модели, проводить наблюдения и обрабатывать полученные результаты, овладел основами технологии, сбыта и организации производства (т.е. внешней и внутренней средой функционирования предприятия).

ресурс щепа отходы цена

Список используемой литературы

1. Редькин А.К. “Математическое моделирование и оптимизация технологий лесозаготовок: учебник для вузов/А.К. Редькин, С.Б. Якимович.- М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2005. - 504с.: ил.

Размещено на Allbest.ru

...