Производная функции и ее применение в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа на тему: «Производная функции и ее применение в экономике»

Содержание

Введение

1. Производная функции

1.1 Исторические сведения

1.2 Понятие производной

1.3 Геометрический смысл производной

2. Дифференциальное исчисление в экономике

2.1 Экономическое приложение производной

2.2 Применение производной в экономической теории

2.3 Использование производной для решения задач по экономической теории

2.4 Предельный анализ в экономике. Эластичность функций

2.5 Ценовая эластичность спроса

2.6 Ценовая эластичность предложения

2.7 Примеры задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Экономика - неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но даже не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.

Основная проблема, рассмотренная в моей работе, - использование производной в экономических целях и её роль.

Цель работы: анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.

Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес у меня вызвали такие разделы, как:

· Предельный анализ в экономике. Это совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

· Исследование производственных функций в экономике (задачи). А именно различные производственные задачи.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики.

Мы часто упоминаем понятие производной в физике, геометрии и даже в экономике. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.

Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной.

1. Производная функции

1.1 Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

1.2 Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции ?y = f(x+?x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а ?x 0, находим, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y'=f '(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом

или .

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при ?x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

1.3 Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x

0

Рис. 1

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у; tgв=?y/?x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = в (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgв = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tgв =?y/?x, то получим

или tg =f '(x₀), так как - угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.



2. Дифференциальное исчисление в экономике

2.1 Экономическое приложение производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции

Где MC - предельные издержки (marginal costs);

TC - общие издержки (total costs);

Q - количество.

Другой пример: категория предельной выручки (MR-- marginal revenue) -- это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную

от выручки:

При этом R=PQ, где R - выручка (revenue); P - цена (price).

Таким образом, MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

2.2 Применение производной в экономической теории

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если

MC(Qo)=MR(Qo),

где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) -- C(Q),

где R - прибыль, а C - общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П'(Q) = 0. Но П'(Q)=R'(Q) - C'(Q), поэтому R'(Qo) = C'(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

2.3 Использование производной для решения задач по экономической теории

Задача 1

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x³+600x-1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

2.4 Предельный анализ в экономике. Эластичность функций

Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора.

Анализ состояния и изменения экономического объекта или процесса - это проблема, стоящая перед специалистами в этой области.

Цель этого исследования - проанализировать и рассмотреть примеры применения предельных характеристик экономических процессов с помощью производной.

Рассмотрим понятия, применяемые в данном исследовании.

Эластичность функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y' = . Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают

E_x (y) = x / y = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1 %. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Производственные издержки - это денежное выражение затрат производственных факторов, используемых в производстве и реализации. Они бывают постоянные - не зависимые от объема и структуры производства. Переменные - такие, как заработная плата, издержки на сырье, топливо и т. д., то есть, которые зависят от объема производства. Средние или удельные - на единицу продукции. Предельные или маржинальные - это отношение прироста переменных издержек к вызванному ими приросту продукции. Можно ли произвольно увеличивать количество переменных факторов, например нанимать дополнительных рабочих, на единицу постоянного фактора? Нет, т. к. начинает действовать закон убывающей доходности или возрастающих затрат. Он проявляется в том, что если фирма наращивает объем использования только некоторых или только одного из факторов производства, то прирост выпуска, приносимый дополнительными объемами этих факторов, в конце концов начнет снижаться. Эти задачи решаются только с помощью математики. И сегодня вы самостоятельно применяете свои знания к решению некоторых экономических задач с помощью производной.

Хочу заметить, что такое понятие как эластичность очень распространено в экономике, а именно: ценовая эластичность спроса и предложения, эластичность спроса по доходу (перекрестная эластичность), ценовая эластичность предложения.

2.5 Ценовая эластичность спроса

Реакция величины спроса на изменение цены товара называется ценовой эластичностью спроса.

Спрос эластичен по цене, если процентное изменение объема спроса превышает процентное изменение цены. Если процентное изменение объема спроса отстает от процентного изменения цены, то спрос по цене неэластичен. Например, если все сорта растительного масла подорожают на 49 %, а объем спроса снизится только на 19%, можно будет сделать вывод, что спрос на растительное масло неэластичен по цене.

При эластичном относительно цены спросе доход продавца и цена товара изменяются в противоположных направления. Например, если при подорожании велосипедов на 10 % величина спроса повысится на 40 %, говорят, что спрос на этот товар окажется эластичным по цене.

Если спрос на товар неэластичен, цены и доход изменяются в одном направлении. Данные величины измеряются формулой:

где Е_р^D - эластичность спроса по цене;

ДQd - относительное изменение спроса (в процентах);

ДP - относительное изменение цены (в процентах).

где Q₁ , Q₀ - величина спроса до и после изменения цены;

P₁ , P₀ - цена до и после изменения.

С увеличением цены объем спроса, как правило, снижается. Чтобы избежать отрицательных чисел, значение Е_р^D берут по модулю или вводят знак минус.

Рис. 2 Абсолютно эластичный и абсолютно неэластичный спрос

Информация о эластичности или неэластичности спроса на товар очень важна для предпринимателей, целью которых является увеличение дохода, или выручки от продажи товара, которую можно подсчитать, умножив цену одной единицы товара на количество реализованных товаров

Y = P*Q

Где Y - доход, или выручка от продажи товаров, P - цена единицы товара, Q - количество проданного товара.

Отсюда следует, производители велосипедов для увеличения доходов должны снизить цены на них, а производители растительного масла, наоборот, повысить.

В доказательство своих слов, я попыталась проиллюстрировать эластичность спроса по цене с помощью кривых спроса. Рисунок показывает нам, что в результате снижения цены на 1/3 - с 6 р. До 4 р. - объем спроса вырос в 2 раза - с 3 единиц товара до 6 единиц, что привело к росту дохода с 18 р. До 24 р. Следовательно, спрос на данный товар оказался эластичным.

Рис. 3

На рисунке 4 мы имеем пример неэластичного спроса, т.к. снижение цены в 2 раза привело к незначительному увеличению спроса - всего на 1/3, поэтому общий доход производителей уменьшился с18 до 12 р.

Рис. 4

Я свела выводы, сделанные мной на основании анализа рисунков в таблицу. Она дает основание сделать вывод о том, что когда цены и доход изменяются в противоположных направлениях, следует говорить об эластичном относительно цены спросе. Если же доход и цены изменяются в одном направлении, спрос относительно цены неэластичен.

Тип эластичности	Изменение цены	Изменение дохода	Взаимное изменение цен и доходов
Спрос эластичный	Рост, снижение	Снижение, рост	Противоположное
Спрос неэластичный	Рост, снижение	Рост, снижение	Одинаковое



2.6 Ценовая эластичность предложения

Если ценовая эластичность спроса - это реакция покупателей на изменение цены, то ценовая эластичность предложения- это реакция на изменение цены со стороны производителей. Эластичность предложения позволяет определить степень реагирования производителей различной продукции на цены.

Ценовая эластичность предложение показывает, на сколько изменится в Зпроцентом соотношении величина предложения при изменении цены товара (услуги) на 1%.

Предложение эластично, если при изменении цены на 1% его объем изменится более чем на 1%

Например, если при повышении цены на мороженое на 10 % величина предложения его вырастет на 15 % или, наоборот при снижении цены на него на 20 % объем предложения сократится на 27 %, следует заключить, что предложение мороженого эластично по цене.

Предложение неэластично, если при изменении цены товара на 1 % объем его предложения изменится менее чем на 1 %.

Например, если цена на нефть вырастет на 40 % , а объем предложения увеличится на 32 %, или при снижении цены на 30 % объем поставок уменьшится на 27 %, это свидетельствует, что предложение нефти неэластично.

Коэффициент ценовой эластичности предложения можно рассчитать по формуле:

Где E_PS - коэффициент ценовой эластичности предложения, Q - изменение объема предложения, P - изменение цены.

Например, при изменении цены на тюльпаны с 0,7 до 1,2 гульденов за штуку величина их предложения увеличилась с 200 тысяч шт. до 280 тысяч шт. Эластично или неэластично по цене предложения тульпанов?

Рассчитаем это, воспользовавшись формулой, приведенной выше:

Отсюда вывод, что предложение тюльпанов неэластично по цене.

2.7 Примеры задач

I. О финансовых накоплениях.

Завод производит х автомобилей в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений завода от объема выпуска выражается формулой f(x) = -0,02x³ + 600x - 1 000. Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления завода растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х = 100 они достигают максимума и объем накопления равен 39 000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

II. О зависимости спроса от цены.

Вспомним, что такое спрос? Это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене за определенный период времени и при прочих равных условиях. геометрический производная экономика

Зависимость спроса от цены выражается формулой D(p) = E^_2p2(p >= 0). Данная функция исследуется с помощью производной D'(p) = -4p·E^-2p2. Анализируя график функции, получаем данный вывод. Данная модель задачи предполагает, что в анализе спроса мы абстрагируемся от влияния на него других факторов, предполагая их неизменными, что было отражено в определении спроса. Уметь решать такие задачи - это уже хорошо, будет у фирмы возможность подстраховаться хотя бы в ценовом факторе.

Хотя в реальной жизни оказывают существенные воздействия на спрос потребителя еще и доходы потребителя, и вкусы в сочетании с модой. Поэтому количество покупаемого товара в общем виде является не одной переменной (цены), а нескольких переменных, и решение задачи о спросе естественно усложнится. Но математика приходит на помощь и в этом случае. Выручка от реализации товара по цене p составляет: денежных единиц, где D(p) = E^-2p2(p >= 0). Исследуем эту функцию с помощью производной. Производная этой функции: положительна, если , и отрицательна для , это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и в достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т. к. оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной .

- темп положительный, - темп отрицательный. На промежутке (0; 1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным, и для P > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. Для наглядной демонстрации сказанного выше составим таблицу и построим график.

p
U'(p)	+	0	_	_0,47	_
U''(p)	_		_	0	+
U(p)	Возрастает выпукла	0,3 max	Убывает выпукла	0,2 точка перегиба	Убывает вогнута

Вывод. На промежутке функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом (для ), а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается (рис.).

Рис. 5

Таким образом мы пришли к тому, что очень важной производственной задачей является умение определить при каком объеме производства удельные затраты будут минимальными и до каких пределов можно расширять производство.

Заключение

В ходе своей работы я рассмотрела различные производственные задачи, функции, анализы и доказала, что производная действительно помогает решать экономические задачи и показала её роль в экономике.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Список использованной литературы

1. Воронов М. В., Мещерякова Г. П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. -- Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

2. Малыхин В. Л. Математика в экономике. -- М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. -- М.: Книжный дом «Университет». Высш. шк., 2002

4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. В 2-х ч. -- М.: Финансы и статистика, 2001

5. Иванов С.И.Экономика. Основы экономической теории. Учебник для 10-11клВ2-х ч. - «Вита-Пресс», 1999.

6. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике 3-е изд., М.: Дело и Сервис, 2001.

Размещено на Allbest.ru

...