Математична модель роботи з багатофакторним індексом програмно-орієнтованого підходу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗВО «Львівський університет бізнесу і права»

Математична модель роботи з багатофакторним індексом програмно-орієнтованого підходу

Філяк М.С.

кандидат економічних наук, докторант



Анотація

інтерпретація масив економічний дані

У науковій статті запропоновано розробку моделі обробки та інтерпретації великих масивів соціально-економічних даних у рамках програмно-орієнтованого підходу. Модель використовує обчислення кутів і площі багатокутника, щоб відобразити об'єм індексу та створити тривимірну фігуру динаміки індексу під час переміщення багатокутника вздовж осі координат. Отриманий малюнок наочно відображає коридор збалансованого розвитку соціально-економічного явища, що дозволяє оперативно аналізувати та реагувати на вихідні значення малюнка за межами збалансованого розвитку. Ця запропонована модель має потенціал стати цінним інструментом для політиків, аналітиків і дослідників, які працюють із соціально-економічними даними.

Ключові слова: аналіз соціально-економічних даних, правильна та усічена піраміди, зірчастий індекс.



Annotation

The scientific article proposes the development of a model to process and interpret large arrays of socio-economic data within the framework of program-oriented approach. The model uses the calculation of angles and the area of a polygon to reflect the volume of the index and create a three-dimensional figure of the dynamics of the index as the polygon moves along the coordinate axis. The resulting figure provides a visual representation of the corridor of balanced development of the socio-economic phenomenon, enabling prompt analysis and response to the initial values of the figure beyond the limits of balanced development. This proposed model has the potential to be a valuable tool for policymakers, analysts, and researchers working with socio-economic data. The ability to visualize and interpret data in a three-dimensional figure can provide insights into the dynamics of socioeconomic phenomena and inform decision-making processes. Additionally, the software-oriented approach can enable the processing of large arrays of data, which would otherwise be time-consuming and challenging to analyze manually. Overall, the proposed model represents an innovative and potentially powerful approach to socio-economic data analysis, offering the potential to enhance understanding and inform policy decisions. Further development and testing of the model are needed to determine its full capabilities and limitations. However, the model presents a promising avenue for future research in the field of socio-economic data analysis.

Keywords: socio-economic data analysis, regular and truncated pyramids, diamond index.



Вступ

Постановка проблеми. Для того, щоб зробити можливим обробку та інтерпретацію великих масивів соціо-економічних даних у складі зіркових індексів в рамках програмно-орієнтованого підходу, необхідно розробити модель, яка базується на розрахунку кутів та площі багатокутника, який відображає обсяг індексу, щоб у заданий період виміру мати можливість розрахувати площу. При русі багатокутника за координатою (вісь ординат) часу модель має дозволяти побудову об'ємної фігури динаміки індексу, що є суттєвим при виставленні у замірах коридору збалансованого розвитку соціо-економічного явища чи залежності, яка даним індексом описується. Зазвичай користувач такої моделі зможе бачити захід значення фігури понад кордони збалансованого розвитку, що надасть можливість оперативного аналізу та реагування.

Аналіз попередніх досліджень і публікацій. Об'єми правильних і усічених пірамід були предметом математичних досліджень протягом кількох десятиліть. Об'єм правильної піраміди з правильною багатокутною основою визначається формулою (1/3) Bh, де B -- площа основи, а h -- висота. Ang, Toh і Chua [2] надають комплексне дослідження об'ємів правильних пірамід і конусів з правильними багатокутними основами. Виводять формули об'єму правильної піраміди та правильного конуса та наводять приклади їх застосування.

Навпаки, дослідженню об'ємів усічених пірамід з правильними багатокутними основами приділялося менше уваги. Saini, Goyal та Aggarwal [3] досліджують об'єми зрізаних пірамід із правильними багатокутниками як основами. Виводять формули для об'єму зрізаної піраміди та наводять приклади їх застосування. Вони також поширюють свій аналіз на об'єм усіченої піраміди.

Багга та Вашішта [4] досліджують об'єм усіченої прямої правильної піраміди та призми. Вони виводять формулу об'єму всіченої прямої правильної піраміди та наводять приклади її застосування. Вони також виводять формулу для об'єму усіченої прямої призми та наводять приклади її застосування.

Дош і Гудман [5] досліджують об'єм усіченої правильної піраміди та призми. Виводять формулу об'єму зрізаної правильної піраміди та наводять приклади її застосування. Вони також поширюють свій аналіз на об'єм усіченої правильної піраміди та наводять приклади їх застосування.

Стаття Сінгха [6] зосереджена на об'ємах усічених правильних пірамід. Автор виводить формулу для об'єму усіченої кістки та наводить приклади розрахунків для усіченої кістки з різною формою основи та висотою зрізу. Сінгх також обговорює взаємозв'язок між об'ємами правильних пірамід і їх скоченими точками.

Цілі статті полягають у побудові основного аналітичного та обчислювального інструментарію моделі для роботи ПЗ, що дозволяє слідкувати за зміною показників 6-вимірникового зірчатого багатофакторного індексу при русі значень вимірників у т.ч. за координатою часу.



Результати

Аналогом перерозподілу часток, що складають залежність, досліджувану лише одним вимірником індексу (назвою вимірника може бути "співвідношення часток споживання енергії за її джерелами") у двомірній системі координат є результати дослідження, що ілюструються графіком у двомірній системі координат [1]. Представлений вимірник є аналітичним та не заведений у шкалу із границями максимум та мінімум, але він цікаво ілюструє розгортання явища за координатою часу. Графічно він зображений приблизно так (Рис. 1).

Рис. 1. Розподіл часток споживання енергії у США за основними джерелами енергії.

Джерело: [1]

Якби ми помістили основі види енергії у зірчастий індекс, запровадили границі та показали би динаміку змін значення у кожному , то даний індекс мав би наступний вигляд у об'ємному просторі (Рис. 2).



Рис. 2. Інтерпретація вибраних даних у формі зірчастого індексу з 5 вимірювачами (що позначають різні джерела енергії) у трьох точках вимірювання (1908, 1926, 1946 рр.).

Побудовано автором на основі [1]

Наші вимірники будуть зазвичай простішими, так щоб з назви було зрозуміло, про що йдеться і відповідно, графічно стало одразу зрозуміло, до в яку сторону змінюється ситуація. Для цілей наочності та зручності користування кількість вимірників коливатиметься від 4 до 9, із максимум 4 логічними квадрантами.

У нашому випадку модель із 6 вимірників у об'ємній системі координат матиме приблизно такий вигляд (Рис. 3).



Рис. 3. Графічне відображення значень 6-вимірного індексу в 3 точках вимірювання часу (приклад)

Побудовано автором.

На попередньому малюнку, на якому показники індексів позначені відповідно a, b, c, d, e, f, зеленими замкненими шестикутними контурами позначені границі max і min, тобто границі значень, за якими оператор моделі робить висновок, що явище, описане оцінка дисбалансу стану (необхідно буде вжити швидких заходів для подолання дисбалансу). Синій колір позначає межі фактичних значень індексу, а сині тонкі лінії відповідають значенням одного і того ж показника, нібито пов'язаного між собою в часі, так що весь індекс у динаміці створює своєрідну «трубу» за координатою часу. При цьому всередині цієї шестикутної «труби» знаходиться коридор «границі min», а назовні - коридор «границі max».

Для формування математичного інструментарію моделі ми оперуватимемо елементами тригонометрії, що надасть можливість визначити формули для розрахунку площі багатокутника (зірчастого індексу), площі коридора його згармонізованої зміни, а також об'єму фігури індекса, розгорнутого уздовж координати часу. В той час як перша та друга формули потрібні для задання параметрів моделі, третя необхідна здебільшого для аналітичних цілей - зокрема, для визначення міри "розжареності інвестицій" у явище, описуване індексом, або міри занепаду даного явища у часі.

Для розрахунку обсягу об'ємної фігури ключовою математичною задачею є визначення обсягу скошеної нерівнобедреної піраміди, з шестикутником в основі. При цьому кути в 60 град., шо визначають напрями променів шекстикутників в основі та на верхівці піраміди, а також висота піраміди (у нашому випадку це довжина одного періоду координатної осі часу), будуть мати фіксовані значення, тоді як всі інші довжини є змінними.

Висота піраміди прийметься нами за 1, тому що саме 1 період виміру є ключовим у визначенні зміни форми та обсягу цієї піраміди.

Очевидно, площа шестикутника із нерівними сторонами обчислюється за формулою, що складається із площ окремих 6 трикутників із окремими спільними сторонами, значення яких нам відомі та в яких, в нашому випадку, один з кутів дорівнює 60 град.

Розрахуємо площу на основі площ окремих трикутників, які позначимо K, L, M,N, O, P.

Формула для обчислення площі правильного шестикутника (шестикутника, у якого всі сторони та кути рівні), є наступною:

A = (3v3/2) x sA2

де A -- площа, а s -- довжина однієї сторони шестикутника.

Однак для шестикутника, у якого всі зовнішні кути різні, ми не можемо використовувати цю формулу безпосередньо. Натомість ми можемо розділити шестикутник на шість трикутників, а потім додати площі цих трикутників, щоб знайти загальну площу шестикутника.

Формула площі трикутника:

A = 1/2 x b x h



де A -- площа, b -- основа, h -- висота.

Щоб знайти висоту кожного трикутника в шестикутнику, ми можемо провести висоту від кожної вершини шестикутника до протилежної сторони. Це розділить кожен трикутник на два менших трикутника, кожен з яких є прямокутним.

Довжину висоти кожного трикутника можна знайти за такою формулою:

h = s x v3/2

де s -- довжина однієї сторони шестикутника.

Отримавши висоту кожного трикутника, ми можемо використовувати формулу для площі трикутника, щоб обчислити площу кожного трикутника. Нарешті, ми складаємо площі всіх шести трикутників, щоб знайти загальну площу шестикутника.

Отже, формула для обчислення площі шестикутника, у якого всі зовнішні кути різні, є наступною:

A = 6 x (1/2 x s x h)

де A -- площа, s -- довжина однієї сторони шестикутника, а h -- висота кожного трикутника, яка дорівнює s x V3/2.

Наступною задачею є розрахунок об'єму піраміди. Врахуйте, що довжини сторін основи та верхівки можуть бути різними, так що верх може частково утворюватися площинами з від'ємними кутами. Для цього розглянемо ситуацію 1), де верх піраміди утворює скісну фігуру, та 2) де верх піраміди подекуди створює борти, поставлені під від'ємними кутами щодо основи. Обидві ситуації зображені нижче (Рис. 4, Рис 5).



Рис. 4. Ситуація, де верх піраміди утворює скісну фігуру. Побудовано автором.

Рис 5. Ситуація, де верх піраміди подекуди створює борти, поставлені під від'ємними кутами щодо основи (кути c, d).

Як видно на рисунку 3, наша піраміда створена замікненою фігурою значень індексу на 2 точках вимірювання. Одна фігура (сегмент 1) обмежена кутами a, b, c, d, e, f, тоді як наступна (сегмент 2) - кутами a1, b1, cl, d1, el, f1 які відповідно позначають значення тих самих вимірників, але в два різних періоди вимірювання.

Далі ми можемо побудувати формулу для обчислення площі неправильного шестикутника за заданами нами параметрами, тобто: у кожного з трикутників, які творять шестикутник, одна сторона є спільною: один з кутів кожного трикутника є однаковим (60 градусів).

Щоб обчислити площу неправильного шестикутника з заданими параметрами, ми можемо розділити його на шість рівносторонніх трикутників, оскільки кожен трикутник має одну спільну сторону та один спільний кут 60 градусів. Тоді ми можемо використати формулу для площі рівностороннього трикутника, яка дорівнює:

A = (sqrt(3) / 4) * sA2

де А -- площа рівностороннього трикутника, а s -- довжина його сторони.

Припустімо, що довжина спільної сторони кожного трикутника дорівнює «а» одиниць. Таким чином, довжина кожної сторони шестикутника буде «2a», оскільки є два рівносторонніх трикутника, які мають спільні вершини шестикутника.

Тоді площу неправильного шестикутника можна обчислити, додавши площі шести рівносторонніх трикутників:

Площа = 6 * ((sqrt(3) / 4) * (2а)Л2)

Спрощення рівняння дає:

Площа = 3 * sqrt(3) * аЛ2

Таким чином, формула для обчислення площі неправильного шестикутника із заданими параметрами має вигляд:



Площа = 3 * sqrt(3) * аЛ2

де «а» -- довжина спільної сторони кожного рівностороннього трикутника.

Об'єм правильної піраміди можна обчислити, знайшовши об'єм циліндра з основою, що дорівнює основі піраміди, і висотою, що дорівнює висоті піраміди. Правильну усічену піраміду з правильним шестикутником в основі можна розкласти на кілька геометричних фігур, включаючи меншу правильну піраміду вгорі, більший усічений конус (зрізаний конус) унизу та декілька паралелепіпедів (прямокутних призм) між ними.

Щоб знайти об'єм правильної усіченої піраміди з правильним шестикутником в основі, можна скористатися такою формулою:

V = (1/3)h(A1 + A2 + sqrt(A1A2))

де V -- об'єм усіченої піраміди, h -- висота усіченої піраміди, A1 -- площа меншого шестикутника (верхня основа), A2 -- площа більшого шестикутника (нижня основа).

Площа неправильного шестикутника розраховується на основі розбивання фігури на декілька трикутників (в нашому випадку шість) та обчислення площі кожного з них. Для обчислення обсягу секції нам необхідно звести отриману нами фігуру до правильної, нескісної шестигранної піраміди, а потім додати до та відняти від неї все інше, тобто відняти об'єми, створені фігурами, які у нашому випадку матимуть від'ємні кути, і додати фігури, які у нашому випадку матимуть додатні кути.

Правильна зрізана піраміда з правильними шестикутниками в основі -- це піраміда, вершина якої відсічена площиною, паралельною основі, в результаті чого утворюється усічена шестикутна основа. Щоб обчислити об'єм такої піраміди, можна скористатися формулою:



V = (1/3) * h * (A_top + A_base + sqrt(A_top * A_base))

де V -- об'єм усіченої піраміди, h -- висота усіченої точки, A_top -- площа верхнього (меншого) шестикутника, а A_base -- площа основи (більшого) шестикутника.

Площа правильного шестикутника зі стороною s визначається за формулою:

A_hex = (3 * sqrt(3) * sA2) / 2

Щоб знайти площі верхнього та основного шестикутників, нам потрібно знати довжини їхніх сторін. Нехай s1 і s2 -- довжини сторін верхнього та основного шестикутників відповідно. Тоді ми можемо виразити висоту усіченої точки, h, через s1, s2, і відстань між верхнім і базовим шестикутниками, d:

h = (s2 - s1) / 2 + d

де d- відстань між центрами верхнього та нижнього шестикутників. Оскільки усічена правильна, d дорівнює апофемі основного шестикутника.

Апофема правильного шестикутника зі стороною s задається так:

a = s * sqrt(3) / 2

Використовуючи ці формули, ми можемо обчислити об'єм усіченої піраміди наступним чином:

V = (1/3) * ((s2 - s1) / 2 + d) * ((3 * sqrt(3) * s1A2) / 2 + (3 * sqrt(3) * s2A2) / 2 + sqrt((3 * sqrt(3) * s1A2) / 2 * (3 * sqrt(3) * s2A2) / 2)))



Спрощення цього рівняння дає наступне:

V = (sqrt(3) / 2) * ((s2 - s1) / 3) * (s1A2 + s2A2 + s1 * s2)

Отже, формула для обчислення об'єму правильної усіченої піраміди з правильними шестикутниками в основі має такий вигляд:

V = (sqrt(3) / 2) * ((s2 - s1) / 3) * (s1A2 + s2A2 + s1 * s2)

де s1 і s2 -- довжини сторін верхнього та основного шестикутників відповідно.

Далі, як розвиток даної моделі, нам необхідно знайти формулу розрахунку обсягу зрізаної піраміди, у якої в нижній основі лежить правильний шестикутник, а у верхній основі лежить шестикутник, у якого всі кути відрізняються. Приймемо, що висота піраміди дорівнює 1.

Позначимо довжину сторони меншого шестикутника (верхньої основи) як «а», довжину сторони більшого шестикутника (нижньої основи) як «Ь», а висоту усіченої піраміди як «h». Щоб знайти об' єм усіченої піраміди, можна скористатися такою формулою:

V = (1/3)h(A1 + A2 + sqrt(A1A2))

де A1 -- площа меншого шестикутника, а A2 -- площа більшого шестикутника.

Щоб знайти A1, ми можемо скористатися формулою для площі правильного шестикутника:

A1 = (3sqrt(3)aA2)/2

Щоб знайти A2, ми можемо використати ту саму формулу для площі правильного шестикутника, але з «Ь» замість «а»:



A2 = (3sqrt(3)bA2)/2

Нам також потрібно знайти висоту 'h' усіченої піраміди. Для цього ми можемо використати теорему Піфагора. Позначимо довжину однієї зі сторін меншого шестикутника (верхньої основи) як «с». Тоді висота повної піраміди (без відрізаної верхньої частини) дорівнює:

H = sqrt(1A2 - еЛ2/4)

Щоб знайти висоту зрізаної піраміди 'h', нам потрібно від висоти повної піраміди відняти висоту верхньої піраміди:

h = H - c/2

Таким чином, на основі викладених вище розрахунків ми отримаємо остаточну формулу об'єму усіченої піраміди:

V = (1/3)(H - c/2)((3sqrt(3K2)/2 + (3sqrt(3^2)/2 + sqrt((3sqrt(3^2) /2 * (3sqrt(3)^2)/2))

Користувач моделі може оцінити різні параметри динаміки тривимірної фігури, такі як причини перекосу фігури протягом кількох періодів і кроки, вжиті для її балансування. Також можна оцінити близькість цифри до її максимальної межі та потенційні надмірні інвестиції у пов'язане явище. Можна проаналізувати причини, через які окремі промені перетинають максимальну межу, і їх потенційний вплив, а також кореляцію поведінки фігури з іншими фігурами. Безпеку соціально- економічного явища та відповідних показників можна оцінити, якщо показник залишається близьким до мінімальної межі. Нарешті, якщо показник перевищив межі збалансованого коридору зростання протягом кількох періодів, може знадобитися визначення нового коридору.



Висновки

Запропонована модель має значні наслідки для аналізу соціально-економічної інформації, який може обробляти та аналізувати великі масиви даних у рамках програмно-орієнтованого підходу. Візуальне зображення коридору збалансованого розвитку соціально-економічного явища на тривимірному малюнку дозволяє оперативно аналізувати та реагувати на вихідні значення малюнка за межами збалансованого розвитку. Це критично важлива здатність, яка дозволяє політикам, аналітикам і дослідникам отримати уявлення про динаміку соціально-економічних явищ і інформувати процеси прийняття рішень.

Якщо програма відслідковує кожну зміну об'єму узятої нами для прикладу секції фігури піраміди, то в ній також можуть бути зафіксовані певні значення екстремумів, що дозволяє сигналізувати користувачу при досягненні цим обсягом (при черговому вимірюванні) певних критичних значень та співвідношень. Тож потенційним розвитком моделі є розробка системи контрольного інформування, що виводить дані користувачу тоді, коли різниця значень індексу починає різко відхилятися від звичайних даних шкали вимірювання - або від середньої, або від прийнятної. Як додаток, до кожного значення у моделі може бути розроблений паспорт ситуації з рекомендаціями по керівних діях, а також аналіз кореляції з іншими змінними на момент виходу даних за межі порогового значення вимірника та в його околі.

Додатковим потенційним розвитком досліджень моделі є знаходження різниці площ перерізу індексу та коридору, що на певному періоді дозволяє побачити міру наближення індексу до максимуму.



Список використаних джерел

1. U.S. Energy Information Administration (Monthly Energy Review, April 2017). Available at: https://www.eia.gov/.

2. "Volumes of Regular Pyramids and Cones with Regular Polygonal Bases," by D.D. Ang, H.L. Toh, and K.H. Chua, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 33, no. 4, pp. 573-579, 2002.

3. "Volumes of Truncated Pyramids with Regular Polygons as Bases," by A.S. Saini, V.K. Goyal, and S. K. Aggarwal, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 2011, Article ID 464527, 9 pages, 2011.

4. "Volumes of Frustums of Regular Pyramids and Prisms," by R.K. Bagga and P.C. Vashishta, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 14, no. 6, pp. 737-742, 1983.

5. "Volumes of Truncated Regular Pyramids and Prisms," by J.A. Dosch and J.E. Goodman, Mathematics Magazine, vol. 70, no. 4, pp. 271-276, 1997.

6. "Volumes of Frustums of Regular Pyramids," by R.N. Singh, Indian Journal of Mathematics, vol. 46, no. 3, pp. 217-223, 2004.

Размещено на Allbest.ru

...