Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса. Расчет скорости изменения цен

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	33	42	50	33	36	46	56	34	39	50	59	37	44	54	65	40

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁=0,3;б₂=0,6; б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид:

Y_p(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k+L),

Для решения данного задания используем предоставленный шаблон (лист «Модель Хольта-Уинтерса»)

В первую очередь необходимо определить значения коэффициентов а(0) и b(0), которые определяются как параметры уравнения линейной регрессии

.

Для определения значений данных коэффициентов воспользуемся специальными возможностями Excel («Анализ данных»- «Регрессия»)

Значения коэффициентов а(0)=37,61 и b(0)=0,81, соответственно линейная модель имеет вид Y(t)рег=37,61+0,81* t

Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями Y(t).

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	33	42	50	33	36	46	56	34
Yp(t)	38,42	39,23	40,04	40,84	41,65	42,46	43,27	44,08

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1),F(2),F(3),F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

В результате расчетов поучили следующие данные:

F(-3)=0,86

F(-2)=1,08

F(-1)=1,27

F(0)=0,79

Оценив полученные значения можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса по формуле

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются б1=0,3 ;б2=0,6; б3=0,3

Тогда для момента времени t=0, k=1 имеем:

Полагая, что t=1, находим:

Для t=1, k=1 имеем:

Аналогично рассчитаем значения всех коэффициентов модели и модулируемые значения экономического показателя



Проверка точности модели

Для оценки точности необходимо рассчитать значения относительных погрешностей

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%, так как дает среднюю величину 1,57%.



Проведем проверку модели на адекватность.

1) проверка случайности уровней:

Оценка случайности остаточной компоненты проводится по критерию поворотных точек.

Гипотеза подтверждается, если , где . Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. Тогда рассчитав, получим q= int (2/3*(16-2) -2*) = 6.

Из таблицы (5) Р = 10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена, т.к. Р(10) > q(6).



Проверка независимости уровней ряда остатков.

Проверку независимости уровней ряда остатков проведемпо d-критерию Дарбина-Уотсона (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении .

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция, т.к. d >2. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d₁ и d₂, в данном случае d₁=1,1 и d₂=1,37.

Так как d2 < 1.42 < 2, то уровни ряда остатков являются независимыми, а модель адекватной.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Найдем первый коэффициент автокорреляции по формуле

Так как r(1)=-0,31<, следовательно ряд остатков независим а модель адекватна.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию.

Проверку ряда остатков на нормальность распределения выполним по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21

Так как полученное значение больше 4,21, то ряд модель по этому критерию не адекватна.

Построим точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год

с t=17 по t=20. Зная значения а(16) и b(16) ,(L = 4), определим прогнозные значения по формуле:

Y_p(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k-L),



Y(17)	46,7109
Y(18)	58,1411
Y(19)	69,508
Y(20)	43,1686

Отобразим на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Вывод: На вышеприведённом рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения данных о кредитах на 1 год вперед.

Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2

мультипликативный аппроксимация цена хольт

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755
6	776	661	765
7	756	715	720
8	745	685	739
9	758	725	740
10	730	673	678

Решение:

1. Экспоненциальная скользящая средняя.

а) Найдем простую скользящую среднюю (МА) по формуле: (табл 1)

где C_t - цена закрытия t-го дня.

б) Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) рассчитывается по формуле: (табл 1)

где , (n=5).

K=2/5+1=0,333

- цена закрытия t дня.

= EMA5.

EMA6 = C6 k + EMA5 (1-k) =765*1/3+737,6*(1-1/3)= 746,7

EMA7 = C7 k + EMA6 (1-k) =720*1/3+746,7*(1-1/3)=737,8

EMA8 = C8 k + EMA7 (1-k) =739*1/3+737,8*(1-1/3)=738,2

EMA9 = C9 k + EMA8 (1-k) =740*1/3+738,2*(1-1/3)=738,8

EMA10 = C10 k + EMA9 (1-k) =678*1/3+738,8*(1-1/3)=718,5



Вывод: в нашем случае отсутствие явно выраженного, устойчивого, тренда подаёт ложные сигналы, что приводит к потерям. С 5 по 6, 7по 9 дни наблюдается тенденция повышения цен; с 6 по 7 и с 9 по 10 дни наблюдается тенденция понижения цен. Для скользящей средней (МА) и для взвешенной скользящей средней вывод будет таким же, так как на графике прослеживаются приближённые значения экспоненциальной скользящей средней.

2. Находим момент

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня И цены nдней тому назад

В итоге получим следующие значения момента:

МОМ₆ = С₆ - С₁ = 765 - 709 = 56

МОМ₇ = С₇ - С₂ = 720 - 738 = -18

МОМ₈ = С₈ - С₃ = 739 - 735 = 4

МОМ₉ = С₉ - С₄ = 740 - 751 = -11

МОМ₁₀ = С₁₀ -С₅ = 678 - 755 = -77

Движение графика МОМ вниз из зоны положительных значений в зону отрицательных значений в районе 6-9 дня, свидетельствует о том, что это является сигналом к покупке.

3. Найдем скорость изменения цен:

Рассчитаем скорость изменения цен по следующей формуле:



где - значение скорости изменения цен текущего дня t, - цена закрытия t-го дня, - цена закрытия n дней назад.

В итоге получим следующие значения:



Вывод: ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100 %. На графике видно, что происходит пересечение уровня 100% сверху вниз; наблюдается падение, что свидетельствует о продаже финансового инструмента.

4. Индекс относительной силы

Рассчитаем индекс относительной силы по следующей формуле:

Где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней, AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

В итоге получим следующие значения:



Рассчитываем пониженные и повышенные цены:

2-й день: С₂ - С₁ = 738 - 709 = 29 в гр. I

3-й день: С₃ - С₂ = 735 - 738 = -3 в гр.J

4-й день: С₄ - С₃ = 751 - 735 = 16 в гр. I

5-й день: С₅ - С₄ = 755 - 751 = 4 в гр. I

6-й день: С₆ - С₅ = 765 - 755 = 10 в гр. I

7-й день: С₇ - С₆ =720 - 765 = -45 в гр. J

8-й день: С₈ - С₇ = 739 - 720 = 19 в гр. I

9-й день: С₉ - С₈ = 740 - 739 = 1 в гр.I

10-й день: С₁₀ - С₉ = 678 - 740 = -62 в гр. J

Графа K

6-й день: 29+16+4+10 = 59

7-й день: 29+16+4+10+0 = 59

8-й день: 29+16+4+10+0+19 = 78

9-й день: 29+16+4+10+0+19+1 = 79

10-й день: 29+16+4+10+0+19+1+0 = 79

Графа L

6-й день: 0+3+0+0+0=3

7-й день: 3+45 = 48

8-й день: 48

9-й день: 48

10-й день: 48+62 = 110.

Рассчитываем с помощью следующей формулы:



;

;

;

;

Вывод: Из графика RSI видно, что индекс относительной силы входит в «зону перепроданности» (от 60 до 70) на 2-4-й дни. Значит, цены упали слишком низко, надо ждать их роста и подготовиться к покупке. Сигналом к покупке будет служить момент выхода графика RSI из «зоны перепроданности».

5. Найдем стохастические линии.

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена ,а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

1) Значение индекса текущего дня t %R рассчитывается по формуле:

,

где % Rt - значение индекса текущего дня t;

Ct - цена закрытия текущего дня t;

L5 и H5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий. Порядок расчета %R

Дни	Цены	Н5	L5	Н5 - Ct	Н5-L5	%R
	макс.(H)	мин.(L)	закр.(C)
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755	770	675	15	95	15,789
6	776	661	765	776	661	11	115	9,5652
7	756	715	720	776	661	56	115	48,696
8	745	685	739	776	661	37	115	32,174
9	758	725	740	776	661	36	115	31,304
10	730	673	678	776	661	98	115	85,217



2) %К рассчитывается по формуле:

.

где % Kt - значение индекса текущего дня t;

C_t - цена закрытия текущего дня t;

L5 и H5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Дни	Цены	Н5	L5	Н5 - Ct	Н5-L5	%R	Ct-L5	%K
	макс.(H)	мин.(L)	закр.(C)
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755	770	675	15	95	16	80	84,211
6	776	661	765	776	661	11	115	9,6	104	90,435
7	756	715	720	776	661	56	115	49	59	51,304
8	745	685	739	776	661	37	115	32	78	67,826
9	758	725	740	776	661	36	115	31	79	68,696
10	730	673	678	776	661	98	115	85	17	14,783



3) Индекс %D

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу % K, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct -L5) и (H5-C5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Н5-L5	%R	Ct-L5	%K	Сум за 3 дня(Ct-L5)	Сум за 3 дня(Н5-L5)	%D
95	16	80	84,21
115	9,6	104	90,43
115	49	59	51,3	243	325	74,76923
115	32	78	67,83	241	345	69,85507
115	31	79	68,7	216	345	62,6087
115	85	17	14,78	174	345	50,43478



В итоге получим следующие значения:

Вывод: В 1-2 дни стохастическая линия % К находится в верхней критической зоне (а %R в нижней критической зоне , что свидетельствует о перекупленности (перепроданности); рекомендуется воздержаться от покупки в течение 1 и 2 дня (продажи). Выход с 3 по 5 дни %К и %R из критической зоны является сигналом к продаже (покупке). И в 6-ой день %К и %R опять попадают в критическую зону; рекомендуется остановить операции.

Список литературы

Данная работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 39759

1. Финансовая математика: Методические указания по выполнению лабораторной работы на ПЭВМ для самостоятельной работы студентов IV курса специальности 060400 «Финансы и кредит» - М.: ВЗФЭИ., 2008.

2. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания. Для студентов IV курса специальности 060400 «Финансы и кредит» / ВЗФЭИ. - М.: Финстатинформ, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...