Способы модуляции, спектры, оптимальный прием по Котельникову

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способы модуляции, спектры, оптимальный прием по Котельникову

Содержание

1. Способы модуляции

2. Внутриимпульсная частотная модуляция

3. Импульсно-модулированные сигналы

4. Спектры

5. Оптимальный прием по Котельникову

Используемая литература

1. Способы модуляции

Сигналы от измерительных датчиков и любых других источников информации передаются по линиям связи к приемникам - измерительным приборам, в измерительно-вычислительные системы регистрации и обработки данных, в любые другие центры накопления и хранения данных. Как правило, информационные сигналы являются низкочастотными и ограниченными по ширине спектра, в отличие от широкополосных высокочастотных каналов связи, рассчитанных на передачу сигналов от множества источников одновременно с частотным разделением каналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции.

Модуляция представляет собой преобразование первичного сигнала в сигнал, пригодный для передачи по данной линии связи. При этом происходит согласование источника с каналом. Первичный сигнал в этом случае называется модулирующим сигналом. Устройство модуляции называется модулятором.

Рассмотрим все возможные виды модуляции гармонического переносчика f(t) = U•cos(щt + ц). При отсутствии модуляции несущее колебание определяется своими постоянными тремя параметрами: U(t) = U₀ - амплитуда; щ(t) = щ₀ - мгновенная частота; ц(t) = ц₀ - начальная фаза. Изменять в соответствии с изменением модулирующего сигнала можно любой из этих параметров.

В связи с этим выделяют несколько видов модуляции:

амплитудную (АМ),

частотную (ЧМ),

фазовую (ФМ),

Широтно-импульсная (ШИМ),

Амплитудно-импульсная (АИМ),

Внутриимпульсная частотная модуляция (ЛЧМ),

Квадратурная,

Временная импульсная модуляция (ВИМ),

Кодово-импульсная модуляция.

В каждом из перечисленных случаев, неискаженная модуляция заключается в том, что соответствующий параметр получает приращение, пропорциональное модулирующему сигналу b(t).

Амплитудная модуляция (amplitude modulation, АМ) исторически была первым видом модуляции, освоенным на практике. В настоящее время АМ применяется в основном только для радиовещания на сравнительно низких частотах (не выше коротких волн) и для передачи изображения в телевизионном вещании. Это обусловлено низким КПД использования энергии модулированных сигналов.

АМ соответствует переносу информации s(t) U(t) при постоянных значениях параметров несущей частоты. АМ - сигнал представляет собой произведение информационной огибающей U(t) и гармонического колебания ее заполнения с более высокими частотами. Форма записи амплитудно-модулированного сигнала:

u(t) = U(t)cos(щ_ot + щ_o), U(t) = U_m[1 + Ms(t)],

где U_m - постоянная амплитуда несущего колебания при отсутствии входного (модулирующего) сигнала s(t), М - коэффициент амплитудной модуляции.

Значение М характеризует глубину амплитудной модуляции. В простейшем случае, если модулирующий сигнал представлен одночастотным гармоническим колебанием с амплитудой S_o, то коэффициент модуляции равен отношению амплитуд модулирующего и несущего колебания М=S_o/U_m. Значение М должно находиться в пределах от 0 до 1 для всех гармоник модулирующего сигнала. При значении М<1 форма огибающей несущего колебания полностью повторяет форму модулирующего сигнала s(t), что можно видеть на рисунке 1а (сигнал s(t) = sin(щ_st)). Малую глубину модуляции для основных гармоник модулирующего сигнала (М<<1) применять нецелесообразно, т.к. при этом мощность передаваемого информационного сигнала будет много меньше мощности несущего колебания, и мощность передатчика используется неэкономично.

а) Модулированный сигнал б) Глубокая модуляция

Рисунок 1

На рисунке 1б приведен пример глубокой модуляции, при которой значение M стремится к 1 в экстремальных точках функции s(t). При глубокой модуляции используются также понятия относительного коэффициента модуляции вверх: M_в = (U_max-U_m)/U_m, и модуляции вниз: M_н = (U_m-U_min)/U_m, которые обычно выражаются в %.

При угловой модуляции (angle modulation) в несущем гармоническом колебании u(t) = U_mcos(щt+щ) значение амплитуды колебаний U_m остается постоянным, а информация s(t) переносится либо на частоту щ, либо на фазовый угол щ. И в том, и в другом случае текущее значение фазового угла гармонического колебания u(t) определяет аргумент (t) = щt+щ, который называют полной фазой колебания.

Фазовая модуляция (ФМ, phase modulation - PM). При фазовой модуляции значение фазового угла постоянной несущей частоты колебаний щ_o пропорционально амплитуде модулирующего сигнала s(t). Соответственно, уравнение ФМ - сигнала определяется выражением:

u(t) = U_m cos[щ_ot + ks(t)]

где k - коэффициент пропорциональности. Пример однотонального ФМ - сигнала приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Фазомодулированный сигнал

При s(t) = 0, ФМ - сигнал является простым гармоническим колебанием и показан на рисунке функцией u_o(t). С увеличением значений s(t) полная фаза колебаний (t)=щ_ot+ks(t) нарастает во времени быстрее и опережает линейное нарастание щ_ot. Соответственно, при уменьшении значений s(t) скорость роста полной фазы во времени спадает. В моменты экстремальных значений s(t) абсолютное значение фазового сдвига между ФМ - сигналом и значением щ_ot немодулированного колебания также является максимальным и носит название девиации фазы (вверх щ_в = ks_max(t), или вниз щ_н = ks_min(t) с учетом знака экстремальных значений модулирующего сигнала).

Для колебаний с угловой модуляцией применяется также понятие мгновенной частоты (instantaneous frequency), под которой понимают производную от полной фазы по времени:

щ(t) = (t)/dt = щ_o + k ds(t)/dt.

Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:

(t) =щ(t) dt, или (t) =щ(t) dt +щ_o.

Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation - FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания ?_o со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности:

щ(t) = щ_o + ks(t)

Соответственно, полная фаза колебаний:

t??щ_o(t) + ks(t) dt, или t???щ_o(t) + ks(t) dt +щ_o.

Уравнение ЧМ - сигнала:

u(t) = U_m cos(щ_ot+ks(t) dt +щ_o)

Аналогично ФМ, для характеристики глубины частотной модуляции используются понятия девиации частоты вверх щ_в = ks_max(t), и вниз щ_н = ks_min(t).

Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.

Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:

s(t) = u(t) cos(щ_ot + щ(t)).

Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.

s(t) = u(t) cos(щ_ot) cos щ(t) - u(t) sin(щ_ot) sin щ(t).

При a(t) = u(t) cos щ(t) и b(t) = -u(t) sin щ(t), сигналы a(t) и b(t) могут быть использованы в качестве модулирующих сигналов несущих колебаний cos(щ_ot) и sin(щ_ot), сдвинутых по фазе на 90^о относительно друг друга:

s(t) = a(t) cos(щ_ot) + b(t) sin(щ_ot).

Полученный сигнал называют квадратурным (quadrature), а способ модуляции - квадратурной модуляцией (КАМ).

Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (9.1.17) для суммы двух сигналов:

S(щ) = Ѕ A(щ+щ_o) + Ѕ A(щ-щ_o) - Ѕj B(щ+щ_o) + Ѕj B(щ-щ_o).

Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90^о:

s₁(t) = s(t) cos щ_ot = Ѕ a(t) + Ѕ a(t) cos 2щ_ot + Ѕ b(t) sin 2щ_ot,

s₂(t) = s(t) sin щ_ot = Ѕ b(t) + Ѕ a(t) sin 2щ_ot - Ѕ b(t) cos 2щ_ot.

Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.

2. Внутриимпульсная частотная модуляция

Сигнал с внутриимпульсной частотной модуляцией - это радиоимпульс, высокочастотное заполнение которого имеет переменную частоту.

Рисунок 3. ЛЧМ - сигнал

ЛЧМ - сигналы. Если закон изменения мгновенной частоты заполнения имеет линейный характер, то такие сигналы носят название ЛЧМ - сигналов (линейная частотная модуляция). Наиболее широкое применение они получили в радиолокации. Пример ЛЧМ - сигнала с огибающей прямоугольной формы приведен на рисунке 3.

ЛЧМ - сигналы имеют одно замечательное свойство. Если сигнал подать на частотно-зависимую линию задержки, время задержки сигнала которой велико на малых частотах (в начальной части ЛЧМ - сигнала) и уменьшается по мере нарастания частоты в ЛЧМ - сигнале, то на выходе такой линии происходит "сжатие" сигнала в один период высокочастотного колебания путем суммирования амплитудных значений всех периодов сигнала. При этом происходит увеличение амплитуды выходного сигнала и уменьшение статистических шумов, так как суммируемые одновременно по этим же периодам шумы не коррелированны.

Для модели радиоимпульса с прямоугольной огибающей примем его длительность равной щ_и, и точку t = 0 поместим в центр радиоимпульса. Допустим также, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу со скоростью щ (с^-2).

Уравнение ЛЧМ - сигнала:

u(t) =

3. Импульсно-модулированные сигналы

В импульсной модуляции в качестве носителя модулированных сигналов используются последовательности импульсов, как правило - прямоугольных. В беспроводных системах передачи данных (в радиосвязи) эти последовательности заполняются высокочастотными колебаниями, создавая тем самым двойную модуляцию. Как правило, эти виды модуляции применяются при передаче дискретизированных данных. Для прямоугольных импульсов наиболее широко используются амплитудно-импульсная (АИМ) и широтно-импульсная (ШИМ) модуляция.

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) заключается в изменении приращения амплитуды импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной длительности импульсов и периоде их следования:

U(t) = U_o + k·s(t), щ_и = const, T = const

Спектр АИМ рассмотрим на примере модулирования однотонального сигнала s(t), приведенного на рисунке 4. Напишем уравнение модулированного сигнала в следующей форме:

u(t) = (1+M cos щt)·f(t)

где f(t) - периодическая последовательность прямоугольных импульсов с частотой щ_o, которую можно аппроксимировать рядом Фурье (без учета фазы):

f(t) = U_o +U_n cos n_ot

Подставляя одно в другое получаем:

u(t) = (1+M cos щt)U_o+U_n cos nщ_ot ·(1+M cos щt)

u(t) = U_o + U_oM cos щt +U_n cos nщ_ot +

+ 0.5MU_n cos (nщ_o+щ)t + 0.5MU_n cos (nщ_o-щ)t.

Форма спектра, в начальной части спектрального диапазона, приведена на рисунке 4. В целом, спектр бесконечен, что определяется бесконечностью спектра прямоугольных импульсов. Около каждой гармоники nщ_o спектра прямоугольных импульсов появляются боковые составляющие n?_o?, соответствующие спектру моделирующей функции (при многотональном сигнале - боковые полосы спектров). При дополнительном высокочастотном заполнении импульсов весь спектр смещается в область высоких частот на частоту заполнения.

Рисунок 4

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ), в английской терминологии pulse width modulation, PWM), которую иногда называют модуляцией по длительности импульсов (ДИМ), заключается в управлении длительностью импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной амплитуде импульсов и периоде следования по фронту импульсов:

щ(t) = t_o + k·s(t), U = const, T = const

Рассмотрим выполнение ШИМ в простейшем варианте на примере гармонического колебания, приведенного на рисунке 5.

Рисунок 5. Широтно-импульсная модуляция

Передаваемая кривая дискретизируется, при этом имеет значение, как интервал дискретизации, так и количество уровней квантования. При передаче данных прямоугольные импульсы начинаются в моменты дискретных отсчетов данных, а длительность импульсов устанавливается пропорциональной значению отсчетов, при этом максимальная длительность импульсов не должна превышать интервала дискретизации данных. Пример сформированных импульсов приведен на рисунке 5 непосредственно под дискретизированной гармоникой, при этом число уровней квантования гармоники принято равным 8.

а) Спектр ШИМ - сигнала. б) Восстановленный сигнал.

Рисунок 6

На рисунке 6а приведен спектр сформированного сигнала ШИМ. В начальной части спектра он содержит постоянную составляющую среднего уровня сигнала и пик частоты гармоники, закодированной в ШИМ - сигнале. Если выделить из спектра эти две составляющие, то восстанавливается исходный сигнал с погрешностью квантования, приведенный на рисунке 6б. Естественно, что при малом числе уровней квантования погрешность восстановления исходного гармонического сигнала очень велика.

Попутно заметим, что широтно-импульсная модуляция с последующим выделением постоянной составляющей может весьма эффективно использоваться (и используется) для слежения за средним уровнем сигнала и автоматического регулирования его динамического диапазона, как, например, в системах установки громкости звука и яркости цветов и изображения в целом в современных телевизионных установках.

Временная импульсная модуляция (ВИМ) представляет собой девиацию импульсов по временной оси по закону модулирующего сигнала, и по существу аналогична угловой модуляции гармонической несущей. Она также может быть фазовой (ФИМ) или частотной (ЧИМ).

Кодово-импульсная модуляция заключается в том, что в точках дискретизации модулирующего сигнала производится квантование его значений и кодирование квантованных значений, как правило, в двоичной системе исчисления. Кодированные значения затем передаются при помощи соответствующей кодовой последовательности стандартных символов.

4. Спектры

Рассмотрим спектры сигналов с угловой модуляцией. Формулу однотональной модуляции можно преобразовать к виду:

u(t) = U_mcos(щsin(щt)) cos(щ_ot) - U_msin(щsin(щt)) sin(щ_ot)

При малых значениях индекса угловой модуляции (щ<<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:

cos(щsin(щt)) 1, sin(щsin(щt)) щsin(щ_ot).

При их использовании получаем:

u(t) U_mcos(щ_ot) + (щU_m/2)cos[(щ_o+щ)t] + (-щU_m/2)cos[(щ_o-щ)t]

Сравнение данного выражения с формулой АМ позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при щ<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 180⁰ относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180^о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса основная мощность сигнала приходится на несущую частоту.

Рисунок 7. Амплитуды гармоник сигналов с угловой модуляцией

Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции в общем случае получается разложением функции в следующий ряд:

u(t) = U_mJ_k(m) cos[(щ_o + kщ)t]

где J_k(m) - функция Бесселя k-го индекса от аргумента m. Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям J_k(m). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при U_m = 1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рисунке 7.

При малой величине индекса значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины щ количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты щ_о спадает немонотонно. На рисунке 3 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота щ_o в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма физических амплитудный спектров модулированных сигналов относительно несущей частоты при разных индексах модуляции приведена на рисунке 8.

С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:

П_практ = 2•(щ + 1)•щ

т.е. спектральными составляющими с номерами k > (щ + 1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при щ>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

Рисунок 8. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции (несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)

Отсюда следует, что по сравнению с АМ - сигналами, полоса частот которых равна 2, для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в n раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.

Для функций Бесселя имеет также место: J_-k(m) = (-1)^kJ_k(m). Это означает, что начальные фазы боковых колебаний с частотами щ_o+k и щ_o-k совпадают при четных k, и отличаются на 180^о при нечетных k.

Сигналы с многотональной угловой модуляцией отличаются еще большей сложностью спектрального состава. В их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты, со всеми возможными комбинациями частот модулирующего сигнала. При непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры ЧМ и ФМ сигналов также становятся непрерывными.

Спектр прямоугольного ЛЧМ - сигнала вычисляется через преобразование Фурье. Девиация частоты за время длительности импульса по сравнению с несущей частотой обычно мала и форма спектра зависит от так называемой базы импульса.

На рисунке 9а приведен пример формы спектральной плотности ЛЧМ - сигнала при малом значении базы в области несущей частоты сигнала.

а) Спектр ЛЧМ- сигнала. б) Спектр при B>>1.

Рисунок 9

На практике значение базы сигналов обычно много больше 1. Увеличение базы сопровождается расширением полосы спектра, при этом в пределах этой полосы модуль спектральной плотности практически постоянен и равен U_m. Пример спектра приведен на рисунке 9б.

5. Оптимальный прием по Котельникову

Рисунок 10. Схема, по Котельникову, с кратким описанием критериев и решающего правила

Оптимальный прием m-позиционных сигналов

Рассматривается передача ансамбля ортогональных м-ричных сигналов. На вход поступает неизвестный сигнал. В месте приема должно присутствовать устройство формирования эталонных ортогональных сигналов. Эти образцы подаются на перемножитель, куда идет так же неизвестный сигнал. Потом интегрируем на протяжении длительности неизвестного сигнала, вычисляется функция корреляции. Функция корреляции правильного приема сдвинута вправо на величину некоторого мат. ожидания. Исходя из этого решающая схема принимает решение о значении сигнала по наибольшему значению функции корреляции.

К_{xi - d} > K_xj,

где i=/=j.

Вероятность правильного приема -

Вероятность ошибки -

Вероятность стирания -

Отношение «сигнал/помеха» в Гауссовских каналах -

Используемая литература

частотный модуляция сигнал спектр

1. Пахомов Г.И. Теория передачи сигналов. ПГТУ 2006 г.

2. Теория электрической связи, помехоустойчивость... Е.Л. Конг. Пермь ПГТУ, 2007 г.

3. Г. Зангер. «Электронные системы» 1980 г.

4. В.В. Мигулин «100 лет радио» 1995 г.

5. А.С. Касаткин «Электротехника» 1965 г.

6. В.Г. Герасимов «Основы промышленной электроники» 1986 г.

7. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. -- М.: Изд-во ГЭИ. -- 1956.

8. Фалькович С.Е. Оценка параметров сигнала. -- М.: Сов. Радио, 1970.

9. Быховский М.А. Потенциальная помехоустойчивость разделения двух сигналов с ЧМ // Электросвязь. -- 1979. -- № 10.

10. Быховский М.А. Потенциальная помехоустойчивость двухканального приема сигналов с частотной модуляцией. -- Труды НИИР, № 1, 1979.

11. Кантор Л.Я., Дорофеев В.М. Помехоустойчивость приема ЧМ сигналов. -- М.: Связь, 1976.

12. Быховский М. А. Синтез и анализ двухканального компенсатора помех для сигналов с ЧМ // Электросвязь. -- 1980. -- № 10.

13. Стратонович Р.Л. К теории оптимальной нелинейной фильтрации случайных функций // Теория вероятностей и ее применение. -- 1959. -- № 2.

14. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы. -- М.: МГУ, 1966.

15. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. -- М.: Радио и связь, 1991.

Размещено на Allbest.ru

...