Дисконтирование по простым и сложным процентным ставкам

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Дисконтирование по простым и сложным процентным ставкам

1. Основные понятия, используемые в финансово-экономических расчетах

процентный дисконтирование финансовый экономический

В финансовой математике широко представлены все виды статистических показателей: абсолютные, относительные и средние величины.

Процентные деньги или просто проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме (причем эта финансовая операция может реально и не состояться): выдача денежной ссуды; продажа в кредит; сдача в аренду; депозитный счет; учет векселя; покупка облигаций и т.п.

Таким образом, проценты можно рассматривать как абсолютную «цену долга», которую уплачивают за пользование денежными средствами.

Абсолютные показатели чаще всего не подходят для сравнения и оценки ввиду их несопоставимости в пространстве и во времени. Поэтому в финансово-коммерческих расчетах широко пользуются относительными показателями.

Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, - процентная ставка. Методика расчета проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название «период начисления» - это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.

Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком финансовой операции.

Для рассмотрения формул, используемых в финансовой математике, необходимо ввести ряд условных обозначений:

- проценты за весь срок ссуды (interest);

- величина первоначальной суммы долга или современная (текущая) стоимость (present value);

- ставка процентов за период (interest rate);

- наращенная сумма или будущая стоимость (future value), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;

- срок ссуды в годах.

После начисления процентов возможно два пути:

– либо их сразу выплачивать, по мере их начисления,

– либо отдать потом, вместе с основной суммой долга.

Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма - наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, - это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Существуют различные способы начисления процентов и соответствующие им виды процентных ставок.

Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.

Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, - таким образом, исходная база постоянно увеличивается.

Фиксированная процентная ставка - ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах.

Постоянная процентная ставка - неизменная на протяжении всего периода ссуды.

Переменная процентная ставка - дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.

Плавающая процентная ставка - привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной.

Простые проценты. Наращение по простым процентным ставкам

Эта кредитная операция с количественной стороны характеризуется следующими временными параметрами и денежными величинами:

- дата выдачи ссуды

- её срок или период

-дата погашения ссуды

-величина выданной ссуды

или - плата за ссуду, процент, процентный доход или абсолютное приращение капитала

- полная стоимость кредита или наращенная сумма

Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

- начальная сумма вклада;

- начальный момент времени;

- срок вклада;

- ставка наращения процентов;

- проценты за весь срок вклада;

- наращенная сумма, сумма в конце срока.

Очевидно, что приращение капитала пропорционально сроку вклада и ставке процента. Величина дохода называется процентом или процентным платежом. Наращенную же сумму можно найти по формуле:

.

Выражение называется формулой наращения по простым процентам при ставке за время .

Из формулы найдем коэффициент: или . Коэффициент называется коэффициентом (множителем) наращения простых процентов. Таким образом, .

Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулируются. Таким образом, для облегчения финансовых расчетов можно использовать финансовые таблицы, содержащие коэффициенты наращения по простым процентам.

Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в раз одинаковым образом влияет на множитель наращения. Он увеличивается в раз.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - График роста по простым процентам

2. Применение простых процентов

При выдаче краткосрочных ссуд;

Когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются: В сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов.

Пример 1: Сумма в размере 2,000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма:

руб.

или

руб.

Сумма начисленных процентов:

руб.

или

руб.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2,400 рублей, из которой 2,000 рублей составляет долг, а 400 рублей - «цена долга».

3. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:

а) если срок ссуды выражен в месяцах (), то величина выражается в виде дроби:

,

тогда все формулы можно представить в виде:

; ; .

Пример 2: Изменим условия предыдущего примера, снизив срок долга до 6 месяцев.

Решение:

Наращенная сумма:

руб.

или

руб.

Сумма начисленных процентов:

руб.

или

руб.

Таким образом, через полгода необходимо вернуть общую сумму в размере 2,100 рублей, из которой 2,000 рублей составляет долг, а проценты - 100 рублей.

б) если время выражено в днях (), то величина выражается в виде следующей дроби:

где - число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;

- расчетное число дней в году (временная база).

Отсюда модифицированные формулы имеют следующий вид:



Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто называют, «германская практика расчета». Продолжительность года условно принимается за 360 дней, а месяца - за 30 дней. Метод условно обозначается .

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или «французская практика расчета». Он обозначается как или , т.е. продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю.

Точные проценты с точным числом дней ссуды, или «английская практика расчета». В коммерческих документах он обозначается как или .

Чисто формально возможен и четвертый вариант: точные проценты с приближенным числом дней ссуды, - но он лишен экономического смысла.

Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине.

Пример 3: Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить все три метода.

Решение: Германская практика начисления простых процентов:

Временная база принимается за 360 дней, =360.

Количество дней ссуды: дней.

руб.

Французская практика начисления процентов:

Временная база принимается за 360 дней, = 360.

Количество дней ссуды: (по таблице).

руб.

Английская практика начисления процентов:

Временная база принимается за 365 дней, = 365.

Количество дней ссуды берется точным, дней.

руб.

Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получаются выше процентов с приближенным числом дней ссуды.

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности сумм, фигурирующих в финансовой операции.

Однако здесь стоит обратить внимание на то, что при определении продолжительности финансовой операции дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

Реинвестирование - финансовая операция, при которой происходит последовательное неоднократное инвестирование средств под проценты в пределах некоторого общего срока. По окончании некоторого периода наращенная сумма вкладывается вновь под процент (ставка наращения при этом может оставаться той же или измениться). Иначе говоря, это операция капитализации процентного дохода.

Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае:

,

где - размер ставок, по которым производится реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления процентов не изменяются во времени, то , где - количество повторений реинвестирования.

Пример 4: Вкладчик поместил в банк 100 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 20% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 2%. Считая, что с изменением ставки происходит и реинвестирование, найти наращенную сумму за 2 года.

Решение:

, , .

Тогда тыс. руб.

4. Дисконтирование по простым процентным ставкам

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме следует определить неизвестную первоначальную сумму долга .

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.



Рисунок 2 - Логика финансовой операции

Нередко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину называют приведенной (современной или текущей) величиной . Таким образом, дисконтирование - приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

математическое дисконтирование по процентной ставке;

банковский учет по учетной ставке.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.

Математическое дисконтирование - определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

,

где - дисконтный множитель (коэффициент приведения).

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Пример 5: Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.

Решение: Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:

 руб.

Или руб.

Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней - 10 тыс. руб.

Пример 6: Из какого капитала можно получить 3,9 млн. руб. через 2 года наращением по простым процентам при ставке 15%?

Решение: .

Тогда первоначальный капитал равен: млн. руб. Дисконт суммы равен млн. руб.

5. Наращение по сложным процентным ставкам

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

· проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

· срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

 - за один период начисления;

- за два периода начисления;

отсюда, за периодов начисления формула примет вид:

- формула процентов, т.е. - множитель наращения;

где - наращенная сумма долга;

- первоначальная сумма долга;

- ставка процентов в периоде начисления;

- количество периодов начисления;

- коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель - . Последний член геометрической прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 - Наращение по сложным процентам

Коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы (см. приложение B). Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через периодов при заданной процентной ставке .

При выводе формулы предполагалось, что измеряется в годах, а является годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и для других периодов начисления - для месяцев, полугодий, дней и т.д. При этом нужно обязательно следить, чтобы длина периода и процентная ставка имели временное соответствие.

Если срок контракта равен месяцев, а - годовая процентная ставка, то в формуле наращенной суммы величину нужно выразить как - часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит:

Если срок контракта равен дней, то в формуле наращенной суммы - часть года, тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке составит:

.

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как .

Пример 7: Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Решение: Применяя формулу , получим:

руб.

Пример 8: На банковский счет положены 200000 на 3 месяца по ставке 36% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение: Воспользуемся формулой . Помучаем: руб.

Пример 9: Сумма 10000 рублей положена на банковский счет сроком на 73 дня по ставке 10% в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение: Применяя формулу получим: руб.

Пример 10. Сумма в размере 2000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение: Наращенная сумма долларов

или долларов,

где (приложение B).

Сумма начисленных процентов долларов. Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2420 долларов, из которой 2000 долларов составляет долг, а 420 долларов - «цена долга».

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием трех методов:

· общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов: , где ( - период сделки, - целое число лет, - дробная часть года).

· смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года - формулу простых процентов:

.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для справедливо соотношение . Наибольшая разница наблюдается при .

Пример 11: В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами (общим и смешанным), учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Решение: Общий метод:

тыс. долларов.

Смешанный метод:

тыс. долларов.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят: тыс. долларов; а по смешанному методу тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид: , где - последовательные значения ставок, - действующие периоды.

Пример 12: В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% - в первые два года, 8% - в третий год, 5% - в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение:

Так как , то, учитывая условия задачи:

.

6. Сравнение схем простых и сложных процентов

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.



Рисунок 4 - Сравнение наращенной суммы по простым и сложным процентам

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом ,

Если , то ;

Если , то ;

если , то .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

.

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

.

7. Дисконтирование по сложной ставке

Математическое дисконтирование по сложной процентной ставке

Рассмотрим задачу определения по значению дохода , планируемого к получению через лет при заданной ставке сложных процентов . Выразим из формулы величину .

 - называется текущей, современной (или приведенной) стоимостью, т.е. оценкой с позиции текущего момента; тогда .

Величину называют дисконтным, учетным, или дисконтирующим, множителем по сложной процентной ставке. Значения этого множителя легко табулировать.

Если сложные проценты начисляются раз в году, то приведенная стоимость равна:

.

Разность - называется дисконтом.

Пример 13: Из какого капитала можно получит 2 млн. руб. через 4 года наращением сложными процентами по ставке 24% годовых, если наращение вести: а) ежегодно; в) ежеквартально.

Решение:

а) применяя формулу получаем: руб.

в) При ежеквартальном начислении

руб.

Список литературы

1. http://biz-tech.ru/plans/80014.html

2. http://www.umito.ru/index.php? p=72

3. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. - М.: ИНФРА-М, 1997.

4. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. - М.: Финансы и статистика, 1999 г.

5. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: Дело ЛТД, 1995 г.

6. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник.4-е издание - М.: Дело, 2004.

Размещено на Allbest.ru

...