Проблема заключается в численном определении относительных долей акций и облигаций в портфеле, которые наиболее выгодны для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей.

Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

На рисунке 8 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция - это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 Допустимое и эффективное множества

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

Для выбора наиболее приемлемого для инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.

Если же рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение (_p), а по вертикальной оси - вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r_p), то можно получить семейство кривых безразличия.

Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия - это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.

Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 8). Каждая из указанных на рисунке 8 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфеля включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 9 Карты кривых безразличия инвесторов

Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 9 оптимальный портфель для некоторого инвестора обозначен O^*.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.

Поэтому, с точки зрения методологии модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.



2.5.2 Модель ценообразования активов капитала (САРМ)

Зависимость между риском и ожидаемой доходностью эффективных портфелей описывается прямой под названием рыночная линия (Capital Market Line, CML). Рыночная линия пересекает ось ординат в точке Rf и проходит через точку М, характеризующую рыночный портфель (рис. 11).

Рис. 11 Рыночная линия

Эффективные портфели, принадлежащие этой кривой, формируются из рыночного портфеля и безрисковых кредитований и заимствований. По сути, рыночная линия - это эффективное множество портфелей. Портфели, не использующие рыночный портфель в комбинации с безрисковыми активами, лежат ниже рыночной прямой.

Наклон рыночной линии определяется отношением разности доходности рынка и безрисковой доходности к разности в стандартных отклонениях, т.е. наклон равен . Поскольку рыночная линия пересекает ось ординат в точке Rf, то можно записать уравнение этой прямой как:

. (8)

Равновесие на рынке ценных бумаг характеризуется двумя основными показателями: положением безрискового актива на оси ординат, которую называют наградой за ожидание, и наклоном рыночной линии, который называется премией за риск.

Рыночная линия характеризует связь между риском и ожидаемой доходностью для эффективных портфелей. Для описания такой взаимосвязи, характеризующей отдельную ценную бумагу, нужно провести некоторые преобразования.

Стандартное отклонение портфеля вычисляется по формуле:

.

Применив ее для рыночного портфеля, получаем:

, (9)

Где wiM - доля бумаги i в рыночном портфеле.

Далее используем следующее свойство ковариации:

,

которое означает, что ковариация рыночного портфеля с бумагой i может быть представлена как взвешенное среднее ковариаций каждой бумаги рыночного портфеля с бумагой i, тогда:

. (10)

То есть стандартное отклонение рыночного портфеля есть корень из средневзвешенной ковариации рыночного портфеля с каждой бумагой, в него входящей. Величина допустимого риска каждой бумаги определяется ковариацией этой бумаги с рыночным портфелем, т.е. чем больше ковариация бумаги с рыночным портфелем, тем больше риска она в него вносит. Получается, что стандартное отклонение самой ценной бумаги не играет значительной роли в определении риска рыночного портфеля, оно может быть как высоким, так и незначительным. Соответственно, инвесторы будут выбирать те бумаги, у которых ковариации с рыночным портфелем выше, так как такие бумаги приносят большую доходность. Уравнение (4) называется рыночной линией ценной бумаги (Security Market Line, SML) и отражает зависимость между ковариацией ценной бумаги с рыночным портфелем и ожидаемой доходностью ценной бумаги.

(11)

Эта зависимость представлена на рис. 12

Рис.12 Рыночная линия ценной бумаги с ковариацией

Уравнение представляет прямую с наклоном , пересекающую ось ординат в точке Rf. Доходность рискованной ценной бумаги, имеющей нулевую ковариацию с рыночным портфелем, будет равна безрисковой доходности, несмотря на то, что среднеквадратическое отклонение бумаги отлично от нуля. Тогда ее доходность будет меньше безрисковой, и это означает, что бумага вносит отрицательную величину риска в рыночный портфель. А если ковариация бумаги с рыночным портфелем равна дисперсии рыночного портфеля, то доходность такой бумаги равна доходности рыночного портфеля, т.е. она вносит средний риск в рыночный портфель.

Более часто использующееся уравнение рыночной линии ценной бумаги записывается через коэффициент бета :

, (12)

который является альтернативным способом представления ковариации бумаги с рынком. Соответственно, SML записывается как

(13)

Это уравнение и называется моделью оценки финансовых активов. Формула CAPM обозначает, что ожидаемая доходность ценной бумаги линейно связана с бетой ценной бумаги. Поскольку наблюдения в течение достаточно продолжительного времени показывают, что средняя доходность рынка выше, чем средняя безрисковая ставка процента, то разность предполагается положительной. Таким образом, формула утверждает, что ожидаемая доходность ценной бумаги положительно связана с коэффициентом бета. Механизм формирования доходности в CAPM можно продемонстрировать, рассмотрев несколько специальных случаев.

· Предположим, что . Тогда , т.е. ожидаемая доходность бумаги равна безрисковой ставке. Это объясняется тем, что бумага с нулевой бетой не несет сколько-нибудь значимого риска.

· Предположим что . Тогда , т.е. ожидаемая доходность бумаги равна ожидаемой доходности рынка. Результат подтверждается тем фактом, что бета рыночного портфеля равна 1.

Уравнение не претерпит значительных изменений в случае отсутствия безрискового актива или в случае различий в ставках заимствования и кредитования безрисковых активов. В таких случаях рыночный портфель остается эффективным по отношению к достижимому множеству портфелей, составленному из рисковых активов. Уравнение останется неизменным, за исключением замены ставки безрискового актива на ожидаемую доходность рискового портфеля с бетой, равной нулю.

2.5.3 Модель теории арбитражного ценообразования (АРТ)

Математическая основа оптимизации факторных моделей была разработана Элтоном, Груббером, и Падбергом в 1976 году.

Основное отличие APT от CAPM заключается в трактовке взаимодействия ценных бумаг. Это отличие не является единственным. Например, в CAPM всегда предполагается, что доходности активов нормально распределены или, что функция полезности инвесторов квадратична. АРТ же не требует ни одной из этих предпосылок.

АРТ исходит из того, что доходности ценных бумаг формируются рядом отраслевых и рыночных факторов. Два актива коррелируют между собой лишь в том случае, когда на них одинаково влияет один и тот же экономический фактор. В САРМ корреляция ценных бумаг не базируется на каких-либо внешних факторах. И АРТ, и САРМ предполагают положительную зависимость между доходностью и риском. В модели арбитражного ценообразования риск интерпретируется шире, чем просто стандартное отклонение или ковариация актива с рыночным портфелем.

Модель арбитражной теории ценообразования (АРТ) можно считать обобщением модели САРМ, хотя первая выводилась из других предположений. Интересно отметить тот факт, что уравнение АРТ является обобщением уравнения САРМ, хотя арбитражная теория строилась как ее альтернатива. Согласно этому уравнению на изменение стоимости актива влияет не только рыночный фактор (стоимость рыночного портфеля), но и другие, в том числе нерыночные, факторы риска - курс национальной валюты, стоимость энергоносителей, уровень инфляции и безработицы и т.д. Если в качестве факторов риска рассматривать только один стоимость рыночного портфеля, то уравнение совпадает с уравнением САРМ. Учет нескольких факторов позволяет строить более строгую модель. Это приводит к более точному прогнозу изменения цены актива и уменьшению несистематического риска даже без составления больших портфелей.

В классической модели САРМ учитывался только один фактор, и актив характеризовался двумя параметрами - коэффициентом чувствительности беты, характеризующим риск, связанный с этим фактором, и средней остаточной доходностью Е, отвечающей за специфический риск, не объясняемый влиянием выбранного фактора. В модели АРТ появилась возможность учитывать несколько факторов. Теперь актив характеризуется набором показателей беты, каждый из которых представляет собой чувствительность актива к определенному фактору и характеризует систематический риск, связанный с влиянием именно этого фактора, и по-прежнему остаточной доходностью Е. Только теперь величина специфического (не объясненного факторами) риска стала гораздо меньше.

В основу арбитражной теории ценообразования заложено одно утверждение: в условиях равновесного рынка арбитраж (любого рынка) невозможен. Если таковая возможность есть, рынок быстро ее «ликвидирует». Под арбитражем понимается получение гарантированной прибыли на фондовом рынке. Дальнейшие рассуждения по поводу невозможности создания арбитражного портфеля приводят к основному уравнению ценообразования активов, которое и может рассматриваться как практический результат теории.

Зависимость доходности от цены на рынке выражается следующей формулой:

, (14)

где - текущая цена ценной бумаги, а - ожидаемая цена в конце инвестиционного периода. Из вышеприведенной формулы очевидно, что доходность и курс ценных бумаг обратно зависимы.

Зависимость между доходностью и чувствительностью к рынку описывается следующей формулой:

, (15)

где и - константы. Это уравнение называют уравнением ценообразования финансового актива в модели арбитражного ценообразования, когда доходы формируются под воздействием одного фактора. В состоянии равновесия зависимость между доходностью и чувствительностью линейна. Параметры л, например относительная несклонность инвестора к риску, капитал и предпочтения коротких сроков, зависят от многих факторов.

Зависимость, описанная уравнением, продемонстрирована графически на рис 13. Бумага, лежащая не на линии оценки финансовых активов, неверно оценена и дает инвесторам арбитражные возможности. С течением времени под воздействием спроса и предложения ценная бумага переместится на прямую. Примером подобной бумаги является бумага Х. Инвестор, комбинируя ее с бумагой Е, формирует арбитражный портфель. Арбитражный портфель составляется путем покупки бумаги Х и продажи бумаги Е. Если бы бумага Х находилась ниже линии оценки финансовых активов, портфель бы формировался из покупки бумаги Е и продажи бумаги Х.

Рис. 13 Линия оценки финансовых активов в модели АРТ

Продавая некоторое количество бумаг Х для оплаты бумаг Е, инвестор не затрачивает дополнительных средств, поскольку бумаги имеют одинаковую чувствительность к факторам, продавая одну бумагу и покупая другую, инвестор достигает нулевой чувствительности портфеля. Доходность портфеля будет положительной, т.к. доходность Х больше доходности Е. Эта операция может быть представлена как своп акций, т.е. инвестор обменивает бумаги Е на Х, замещая бумаги с более низкой доходностью на бумаги с более высокой доходностью. Если все инвесторы будут покупать бумагу Х, то вскоре ее цена увеличится, а доходность будет падать, пока бумага Х не окажется на линии оценки финансовых активов модели арбитражного ценообразования.

На рынке всегда существует безрисковый актив. Его чувствительность к рыночным факторам равна нулю. И его ставка доходности постоянна: . Из уравнения (8) следует, что при , следовательно, Применяя это для уравнения (8), получим .

Чтобы интерпретировать , рассматривают чистый факторный портфель, т.е. портфель, имеющий единичную чувствительность в фактору . Соответственно ожидаемая доходность такого портфеля равна: , т.е. - это избыточная ожидаемая доходность, превышение ожидаемой доходности актива над безрисковой доходностью. Соответственно называется премией за факторный риск. Обозначив ожидаемую доходность чистого факторного портфеля за д, получим . Подставив это в уравнение (8), получим вторую версию уравнения ценообразования АРТ:

(16)

Уравнение ценообразования можно обобщить, рассмотрев те случаи, когда доходность актива формирует не один, а несколько факторов. Для большого количества факторов (например, k-факторов) уравнение (16) примет вид:

или ,

И уравнение ценообразования преобразится в

(17)

Следовательно, ожидаемая доходность акции равна сумме безрисковой ставки и k-премий за риск, основанных на чувствительностях акций к k-факторам.

• 3. Практические асперкты оценки инвестиционного портфеля

3.1 Описание инвестиционного портфеля «КАПИТАЛ»

Рассмотрим оценку инвестиционного портфеля по критерию риска на примере портфеля «Капитал». В состав портфеля входят обыкновенные акции четырех отраслей:

- нефтегазовая (Газпром, Лукойл);

- банковская (Сбербанк России);

- электроэнергетика (РусГидро);

- цветная металлургия (ГМК Норильский Никель)

Таблица 1

Структура инвестиционного портфеля «Капитал»

	Акции, обращающиеся на Московской межбанковской валютной бирже (ММВБ)
N	Эмитент	Вложения, руб.	Доля акции в портфеле
1	Газпром	156 250	0,25
2	Сбербанк России	93 750	0,15
3	Лукойл	93 750	0,15
4	ГМК НорНикель	156 250	0,25
Акции, обращающиеся в российской торговой системе (РТС)
N	Эмитент	Вложения, долл.	Доля акций в портфеле
5	ОАО РусГидро	4 807,7	0,2
Итого вложений:
В рублях	500 000	0,8
В долларах	4 807,7	0,2

В состав портфеля включены акции, обращающиеся на двух фондовых рынках:

- Московская межбанковская валютная биржа (ММВБ), торги на которой осуществляются в рублях.

- Российская торговая система, торги на которой осуществляются в долларах.

Путем внесения в портфель акций в иностранной валюте, мы немного снизили валютный риск (рис. 14).

Рис. 14 Валютный риск

Для расчета ожидаемых доходностей акций надо знать распределение вероятностей доходностей этих акций. Вероятность реализации значения доходности актива определяется как отношение временного промежутка, в течение которого наблюдается данное значение доходности, ко всему времени наблюдения. В данном случае распределение вероятностей доходности, представленное в таблице 2, определялось на основе периода май 2007-май 2008.

Зная распределение вероятностей доходности акций, рассчитаем среднюю или ожидаемую доходность каждого актива нашего инвестиционного портфеля. Доходности каждой акции присвоим номер, соответствующий порядковому номеру акции в таблице 2.

Таблица 2

Распределение вероятностей доходностей акций

Доходность акций	Вероятность реализации значения доходности
Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
12	11	4	18	-3	0,35
-5	5	10	8	-8	0,25
6	0	0	3	14	0,2
0	-5	-5	-7	8	0,15
3	-10	-8	0	5	0,05

Ожидаемая доходность активов:

R₁=12*0,35+(-5)*0,25+6*0,2+0*0,15+3*0,05=4,2-1,25+1,2+0,15=4,3

R₂=11*0,35+5*0,25+0*0,2+(-5)*0,15+(-10)*0,05=3,85+1,25-0,5-0,5=4,1

R₃=4*0,35+10*0,25+0*0,2+(-5)*0,15+(-8)*0,05=1,4+2,5-0,5-0,4=3

R₄=18*0,35+8*0,25+3*0,2+(-7)*0,15+0*0,05=6,3+2+0,6-0,7=8,2

R₅=(-3)*0,35+(-8)*0,25+14*0,2+8*0,15+5*0,05=-1,05-2+0,8+2,8+0,25=0,8

Исходя из этих данных вычислим доходности акций, обращающихся на ММВБ и в РТС:

R_ммвб=0,25:0,8*4,3+0,15:0,8*4,1+0,15:0,8*3+0,25:0,8*8,2=5,17

R_ртс=1*0,8=0,8

Полученные данные о средних значениях доходности акций сведем в таблицу.

Таблица 3

Средние ожидаемые доходности акций инвестиционного портфеля «Капитал»

Средние ожидаемые доходности акций,%
Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
4,3	4,1	3	8,2	0,8

Теперь, зная ожидаемые средние значения доходности активов, можем найти общую доходность портфеля.

R_p=0,8*5,17+0,2*0,8=4,4%

В следующем параграфе произведем оценку инвестиционного портфеля «Капитал» по критерию риска.

3.2 Оценка риска инвестиционного портфеля «КАПИТАЛ»

Для оценки риска инвестиционного портфеля сначала необходимо вычислить вариацию доходности и стандартное отклонение каждого его актива.

Var(r₁)=0,35*(12-4,3)²+0,25*(-5-4,3)²+0,2*(6-4,3)²+0,15*(-4,3)²+

+0,05*(3-4,3)²=20,1+21,6+0,6+2,8+0,1=45,2

у₁=6,7

Var(r₂)=0,35*(11-4,1)²+0,25*(5-4,1)²+0,2*(-4,1)²+0,15*(-5-4,1)²+

+0,05*(-10-4,1)²=16,7+0,2+3,4+12,4+9,9=42,6

у₂=6,5

Var(r₃)=0,35*(4-3)²+0,25*(10-3)²+0,2*(-3)²+0,15*(-5-3)²+0,05*(-8-3)²=

=0,35+12,2+1,8+9,6+6=30

у₃=5,5

Var(r₄)=0,35*(18-8,2)²+0,25*(8-8,2)²+0,2*(3-8,2)²+0,15*(-7-8,2)²+

+0,05*(-8,2)²=31,5+0,01+5,4+3,6+3,4=74,9

у₄=8,6

Var(r₅)=0,35*(-3-0,8)2+0,25*(-8-0,8)2+0,2*(14-0,8)2+0,15*(8-0,8)2+

+0,05*(5-0,8)2=5,05+19,4+34,8+7,8+0,9=67,9

у₅=8,2



Таблица 4

Стандартные отклонения доходностей акций инвестиционного портфеля «Капитал»

Стандартные отклонения доходностей акций, у
Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
6,7	6,5	5,5	8,6	8,2

Стандартные отклонения доходности по каждой из акций отражают степень рискованности инвестиции в данную акцию. Но чтобы сравнить степень риска различных акций с различной средней (ожидаемой) доходностью и различным стандартным отклонением доходности, необходимо рассчитать коэффициент вариации.

Таблица 5

Рассчитанные коэффициенты вариации

коэффициенты вариации
Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
1,56	1,6	1,8	1,05	10,5

Теперь мы видим, что наименее рискованная ценная бумага в нашем портфеле - это акции ГМК Норильский Никель, самая высокая доходность также у этих акций. А самая рискованная ценная бумага - акции ОАО РусГидро, и средняя доходность у них самая низкая.

Для отражения степени согласованности в поведении доходностей активов необходимо вычислить и проанализировать ковариацию между всеми активами инвестиционного портфеля «Капитал».

cov(r₁,r₂)=0,35*(12-4,3)*(11-4,1)+0,25*(-5-4,3)*(5-4,1)+0,2*(6-4,3)*(-4,1)+0,15*(-4,3)*(-5-4,1)+0,05*(3-4,3)*(-10-4,1)=18,6-2-1,4+5,9+0,9=22

cov(r₁,r₃)=0,35*(12-4,3)*(4-3)+0,25*(-5-4,3)*(10-3)+0,2*(6-4,3)*(-3)+0,15*(-4,3)*(-5-3)+0,05*(3-4,3)*(-8-3)=2,7-16,3-1+5,2+0,7=-8,7

cov(r₁,r₄)=0,35*(12-4,3)*(18-8,2)+0,25*(-5-4,3)*(8-8,2)+0,2*(6-4,3)*(3-8,2)+0,15*(-4,3)*(-7-8,2)+0,05*(3-4,3)*(-8,2)=26,4+0,5-1,8+9,8+0,5=35,4

cov(r₁,r₅)=0,35*(12-4,3)*(-3-0,8)+0,25*(-5-4,3)*(-8-0,8)+0,2*(6-4,3)*(14-0,8)+0,15*(-4,3)*(8-0,8)+0,05*(3-4,3)*(5-0,8)=-10,2+18,8+4,5+4,6-0,3=17,4

cov(r₂,r₃)=0,35*(11-4,1)*(4-3)+0,25*(5-4,1)*(10-3)+0,2*(-4,1)*(-3)+0,15*(-5-4,1)*(-5-3)+0,05*(-10-4,1)*(-8-3)=2,4+1,6+2,5+11,3+7,8=25,6

cov(r₂,r₄)=0,35*(11-4,1)*(18-8,2)+0,25*(5-4,1)*(8-8,2)+0,2*(-4,1)*(3-8,2)+0,15*(-5-4,1)*(-7-8,2)+0,05*(-10-4,1)*(-8,2)=23,7-0,05+4,3+20,7+5,8=54,5

cov(r₂,r₅)=0,35*(11-4,1)*(-3-0,8)+0,25*(5-4,1)*(-8-0,8)+0,2*(-4,1)*(14-0,8)+0,15(-5-4,1)*(8-0,8)+0,05*(-10-4,1)*(5-0,8)=-9,2-2-10,8-9,8-3=-34,8

cov(r₃,r₄)=0,35*(4-3)*(18-8,2)+0,25*(10-3)*(8-8,2)+0,2*(-3)*(3-8,2)+0,15*(-5-3)*(-7-8,2)+0,05*(-8-3)*(-8,2)=3,4-0,35+3,1+18,2+4,5=28,9

cov(r₃,r₅)=0,35*(4-3)*(-3-0,8)+0,25*(10-3)*(-8-0,8)+0,2*(-3)*(14-0,8)+0,15*(-5-3)*(8-0,8)+0,05*(-8-3)*(5-0,8)=-1,3-15,4-7,9-8,6-2,3=-35,5

cov(r₄,r₅)=0,35*(18-8,2)*(-3-0,8)+0,25*(8-8,2)*(-8-0,8)+0,2*(3-8,2)*(14-0,8)+0,15*(-7-8,2)*(8-0,8)+0,05*(-8,2)*(5-0,8)=-13+0,4-13,7-16,4-1,7=-44,4

Для наглядности рассчитанные показатели ковариации сведем в таблицу. Уточним, что: cov(r_i,r_j)=cov(r_j,r_i); cov(r_i,r_i)=var(r_i), следовательно диагональные значения нашей таблицы будут равны значениям вариации активов.

Таблица 6

Рассчитанные показатели ковариации активов

Акции эмитентов	Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
Газпром	45,2	22	-8,7	35,4	17,4
Сбербанк	22	42,6	25,6	54,5	-34,8
Лукойл	-8,7	25,6	30	28,9	-35,5
НорНикель	35,4	54,5	28,9	74,9	-44,4
РусГидро	17,4	-34,8	-35,5	-44,4	67,9

Как нам уже известно из 1 главы, положительная ковариация означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (или уменьшается), то и доходность другой акции также возрастает (уменьшится). Если же между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация, то увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании.

Из таблицы 6 видно, что отрицательная ковариация наблюдается в основном с акциями компании ОАО РусГидро, а также между компаниями Газпром и Лукойл. Между остальными акциями существует положительная ковариация.

Для определения степени взаимозависимости двух активов необходимо вычислить коэффициенты корреляции. Результаты сведем в таблицу.

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до +1. При этом (+1) означает полное совпадение направления движения, а (-1) - полное несовпадение.

Таблица 7

Рассчитанные коэффициенты корреляции активов

Акции эмитентов	Газпром	Сбербанк	Лукойл	НорНикель	РусГидро
Газпром	-	0,5	-0,24	0,6	0,32
Сбербанк	0,5	-	0,7	0,97	-0,65
Лукойл	-0,24	0,7	-	0,6	-0,8
НорНикель	0,6	0,97	0,6	-	-0,6
РусГидро	0,32	-0,65	-0,8	-0,6	-

Из таблицы видно, что полной положительной или полной отрицательной корреляции среди активов портфеля нет. Но наблюдается сильная положительная корреляционная связь между акциями Сбербанка и Норильского Никеля, что не очень хорошо для портфельных инвестиций. И достаточно сильная отрицательная корреляционная связь между акциями компаний Лукойл и ОАО РусГидро. Для снижения рисков портфеля необходимо выбирать активы с отрицательной корреляцией. В этом случае падение доходности акций Лукойла, частично компенсируется ростом доходности акций компании ОАО РусГидро.

После расчета основных показателей по каждому из активов, можем вычислить общий риск инвестиционного портфеля «Капитал». Сначала рассчитаем вариацию доходности (дисперсию).

Для наглядности расчетов сначала заполним матрицу:

N	1	2	3	4	5
1	w12var(r1)	w1w2cov(r1,r2)	w1w3cov(r1,r3)	w1w4cov(r1,r4)	w1w5cov(r1,r5)
2	w1w2cov(r1,r2)	w22var(r2)	w2w3cov(r2,r3)	w2w4cov(r2,r4)	w2w5cov(r2,r5)
3	w1w3cov(r1,r3)	w2w3cov(r2,r3)	w32var(r3)	w3w4cov(r3,r4)	w3w5cov(r3,r5)
4	w1w4cov(r1,r4)	w2w4cov(r2,r4)	w3w4cov(r3,r4)	w42var(r4)	w4w5cov(r4,r5)
5	w1w5cov(r1,r5)	w2w5cov(r2,r5)	w3w5cov(r3,r5)	w4w5cov(r4,r5)	w52var(r5)

Для расчета вариации доходности портфеля, необходимо сложить все члены матрицы:

var(r_p)= w₁²var(r₁)+ w₂²var(r₂)+ w₃²var(r₃)+ w₄²var(r₄)+ w₅²var(r₅)+

+2w₁w₂cov(r₁,r₂)+2w₁w₃cov(r₁,r₃)+2w₁w₄cov(r₁,r₄)+2w₁w₅cov(r₁,r₅)+

+2w₂w₃cov(r₂,r₃)+2w₂w₄cov(r₂,r₄)+2w₂w₅cov(r₂,r₅)+2w₃w₄cov(r₃,r₄)+

+2 w₃w₅cov(r₃,r₅)+2 w₄w₅cov(r₄,r₅).

Теперь подставим значения:

var(r_p)=0,25²*45,2+0,15²*42,6+0,15²*30+0,25²*74,9+0,2²*67,9+

+2*0,25*0,15*22+2*0,25*0,15*(-8,7)+2*0,25*0,25*35,4+2*0,25*0,2*17,4+

+2*0,15*0,15*25,6+2*0,15*0,25*54,5+2*0,15*0,2*(-34,8)+2*0,15*0,25*28,9+

+2*0,15*0,2*(-35,5)+2*0,25*0,2*(-44,4)=

=2,8+0,7+1+4,7+2,7+1,7-0,7+4,4+1,7+1,2+4,1-2,1+2,2-2,1-4,4.

var(r_p)=17,9

Полученные данные сведем в итоговую таблицу:

Таблица 8

Основные показатели портфеля «Капитал»

Показатель	Значение
Доходность	4,4 %
Стандартное отклонение доходности	4,2 %
Коэффициент вариации доходности	0,94

Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля «Капитал» равна 4,4 %. Из них 0,21 от акций вращающихся в иностранноц валюте в РТС и 4,18 от акций вращающихся на ММВБ в рублях. Соответственно ожидаемая доходность от акций ММВБ в рублях равна 21 000, а в долларах от акций РТС составит 10,1.

Общий риск портфеля - 4,2 %. Инвестиционный портфель «Капитал» имеет невысокую доходность при достаточно низкой величине риска. Коэффициент вариации необходим нам для дальнейшего сравнения рискованности портфеля при различных изменениях его структуры. В следующей главе рассмотрим пути оптимизации данного инвестиционного портфеля.

3.3 Методы снижения рисков инвестиционного портфеля «Капитал»

Основными составляющими систематического риска инвестиционного портфеля являются:

- страновой риск;

- валютный риск.

При портфельном инвестировании основными составляющими несистематического риска являются:

- бизнес-риск;

- финансовый риск;

- риск ликвидности.

Систематические риски снижаются путем анализа инвестиционной привлекательности, политической и экономической стабильности, эффективности ее экономики и государственной системы, степени криминализации и иных показателей страны, региона, города, куда предполагается осуществление инвестиций.

В целях снижения систематического риска в инвестиционный портфель «Капитал» включены активы в различных валютах (рубли и доллары). С целью снижения странового риска в портфель можно добавить ценные бумаги развитых стран мира, имеющие небольшую доходность, но и низкие риски. Вкладывая средства в иностранные ценные бумаги в иностранной валюте, мы снижаем и валютный риск.

Для снижения рисков ценных бумаг используют различные внутренние методики, разработки и финансовые нормативы, например:

- квалифицированный и системный анализ систематических и несистематических рисков, предшествующий инвестициям;

- комплексный и системный подход к мероприятиям по снижению риска;

- ограничение максимального размера средств на приобретение ценных бумаг одного эмитента;

- минимизация объема рисковых ценных бумаг.

Далее рассмотрим основные методы снижения рисков.

Разделение риска - разделение риска между участниками инвестиционного проекта. Метод эффективен как для систематических, так и для несистематических рисков.

Уклонение от рисков - отказ от вложений. В отношении систематических рисков - это может быть отказ от инвестиций в страну, регион или ценные бумаги определенной компании. Способ кардинальный и эффективен, если риски превышают возможные выгоды, вероятные доходы. В отношении несистематических рисков - инвестор в этом случае отказывается от излишне рисковых ценных бумаг, предпочитает пассивный способ управления портфелем, взаимодействует с надежными партнерами.

Метод эффективен, если:

- уклонение от одного вида риска не влечет возникновения другого;

- уровень риска намного превышает утрачиваемую доходность;

- вероятные потери по риску превышают финансовые возможности фирмы.

Следуя этому методу, исключим из портфеля «Капитал» наиболее рисковые акции, в данном случае это акции - ОАО РусГидро, и назовем его «Капитал 1». Рассчитаем основные показатели и посмотрим как изменятся доходность и риск портфеля. Остальные ценные бумаги будут иметь туже пропорцию в составе инвестиционного портфеля, что и до изменений.

Акции	Пересчитанная доля в портфеле
Газпром	0,3
Сбербанк	0,2
Лукойл	0,2
НорНикель	0,3

Вычислим доходность портфеля «Капитал 1»:

R_p1=0.3*4,3+0,2*4,1+0,2*3+0,3*8,2=1,29+0,82+0,6+2,46=5,2

R_p1=5,2

var(r_p1)= w₁²var(r₁)+ w₂²var(r₂)+ w₃²var(r₃)+ w₄²var(r₄)+

+2 w₁w₂cov(r₁,r₂)+2w₁w₃cov(r₁,r₃)+2 w₁w₄cov(r₁,r₄) +2 w₂w₃cov(r₂,r₃)+

+2 w₂w₄cov(r₂,r₄)+ 2 w₃w₄cov(r₃,r₄).

Теперь подставим значения:

var(r_p1)= 0,3²*45,2+0,2²*42,6+0,2²*30+0,3²*74,9+

+2*0,3*0,2*22+2*0,3*0,2*(-8,7)+2*0,3*0,2*35,4+

+2*0,2*0,2*25,6+2*0,2*0,3*54,5+2*0,2*0,3*28,9

var(r_p1)= 4+1,7+1,2+6,7+2,64-1+4,24+6,54+2+3,47=31,5

var(r_p1)=31,5

Рассчитаем стандартное отклонение доходности:

Теперь рассчитаем коэффициент вариации портфеля «Капитал 1»:

k var(r_p) < k var(r_p1)

Из расчетов видно, что при исключении акций РусГидро доходность портфеля растет, но вместе с тем растет и стандартное отклонение. В итоге, если сравнивать коэффициенты вариации, то портфель «Капитал 1» оказался более рисковым, чем исходный портфель «Капитал». Это связанно с тем, что корреляционная связь этого актива с большинством других активов портфеля отрицательная. При включении в состав портфеля этого рискового актива, проявляется эффект диверсификации, происходит снижение систематических рисков. Следовательно, в нашем случае данный метод снижения риска - уклонение от риска, путем исключения наиболее рисковых ценных бумаг из состава портфеля, не эффективен.

Диверсификация - использование несколько доходных финансовых инструментов. Это основной метод снижения несистематических рисков. Диверсификация может носить отраслевой или региональный характер, а также проводиться по различным эмитентам. Диверсификация, призванная снизить инвестиционные риски при обеспечении максимальной доходности, основана на различиях в колебаниях доходов и курсовой стоимости ценных бумаг. Сущность ее состоит в том, чтобы сделать совокупный риск инвестиционного портфеля меньше суммы рисков по отдельным инструментам с учетом их веса в портфеле. Диверсификация снижает отношение интегрального риска к совокупной доходности портфеля.

Как показывает практика и анализ, 70-80% несистематических рисков устраняются в портфеле, включающем 7-10 акций, а 90 % - в портфеле, состоящем из 12-18 акций различных эмитентов. Дальнейшая диверсификация инвестиционного портфеля нецелесообразна и приводит к излишней диверсификации.

Эффект излишней диверсификации характеризуется превышением темпов прироста издержек по ее осуществлению над темпами прироста доходности портфеля, что связано с возрастанием сложностей качественного портфельного управления при увеличении количества ценных бумаг, увеличением вероятности приобретения некачественных ценных бумаг, ростом издержек по отбору ценных бумаг, по покупке мелких лотов ценных бумаг и другими отрицательными явлениями.

В условиях отечественного фондового рынка использование принципа диверсификации активов по отраслевому признаку существенно ограничено из-за незначительного количества обращающихся на нем ценных бумаг приемлемого качества и распределения их по секторам экономики. Специфика российского рынка акций проявляется и в том, что ему присуще внутреннее структурное деление в зависимости от ликвидности акций. Кроме значительных отличий в ликвидности акции различных эшелонов характеризуются разной траекторией движения курсов. Так, существует достаточно высокая корреляция курсов акций, входящих в один эшелон, и, напротив, существенно более низкая, а нередко и отрицательная корреляция акций различных эшелонов. Это создает определенные предпосылки для эффективной с позиций снижения риска диверсификации портфеля, элементами которого могут выступать акции различных эшелонов. На российском рынке ведущую роль играют «голубые фишки», корреляция динамики цен на которые высока. Исключение составляет Газпром, акции которого слабо коррелированны с акциями других компаний, в том числе нефтяных. Связанно это с величиной капитализации и имиджем Газпрома.

Принцип диверсификации портфеля, заключающийся в формировании групп акций, различающихся по степени ликвидности, отличается от общепринятых принципов и в определенной мере заменяет принцип диверсификации портфеля по отраслевому признаку, свойственный развитым рынкам. Снижение риска путем диверсификации инвестиционного портфеля приводит, как правило, и к снижению его доходности. Для снижения риска портфеля необходимо выбирать активы с отрицательной корреляцией.

Используем метод диверсификации для снижения несистематических рисков портфеля «Капитал». Изучив таблицу 7, выявляем, что самая сильная положительная корреляционная связь наблюдается между доходностями акций Сбербанка и Норильского Никеля. Что достаточно плохо для инвестиционного портфеля. Коэффициент вариации акций Сбербанка больше, чем у НорНикеля, соответственно и риск больше. Исключим из состава инвестиционного портфеля «Капитал» акции Сбербанка и назовем его «Капитал 2».

Рассчитаем основные показатели по новому портфелю. Остальные ценные бумаги будут иметь туже пропорцию в составе инвестиционного портфеля, что и до изменений.

Доля акции ММВБ
Газпром	0,38	0,29
Лукойл	0,24	0,18
НорНикель	0,38	0,29
Доля акций РТС
РусГидро	0,24

Рассчитаем доходность портфеля «Капитал 2»:

R_ммвб=0,38*4,3+0,24*3+0,38*8,2=1,65+0,75+3,2=5,6

R_ртс=1*0,8=0,8

R_р2=0,76*5,6+0,24*0,8=4,3+0,2=4,5

Далее необходимо вычислить вариацию портфеля и его стандартную ошибку:

var(r_p2)= w₁²var(r₁)+ w₃²var(r₃)+ w₄²var(r₄)+ w₅²var(r₅)+

+2w₁w₃cov(r₁,r₃)+2 w₁w₄cov(r₁,r₄)+2 w₁w₅cov(r₁,r₅)+

+2 w₃w₄cov(r₃,r₄)+2 w₃w₅cov(r₃,r₅)+2 w₄w₅cov(r₄,r₅).

Теперь подставим значения:

var(r_p2)=0,29²*45,2+0,18²*30+0,29²*74,9+0,24²*67,9+

+2*0,29*0,18*(-8,7)+2*0,29*0,29*35,4+2*0,29*0,24*17,4+

+2*0,18*0,29*28,9+2*0,18*0,24*(-35,5)+2*0,29*0,24*(-44,4)=

=3,7+0,9+6,2+3,9-0,9+5,9+2,4+3-3-6,28=15,8

Из расчетов видно, что после изменения состава портфеля доходность существенно не изменилась, а коэффициент вариации стал значительно ниже, следовательно, риск портфеля снизился. Это подтверждает, что целесообразнее в состав портфеля включать активы с отрицательной корреляцией. Также для снижения риска портфеля путем диверсификации можно добавить в его состав государственные или корпоративные облигации, которые характеризуются достаточно низким риском.

Следующий метод хеджирование - страхование рисков, например, с помощью деривативов - производных ценных бумаг (фьючерсов и опционов). Целью хеджирования является защита от неблагоприятных изменений цен на рынке акций, товарных активов, валют, процентных ставок, и пр. Ниже представлены одни из возможных вариантов хеджирования подходящих для нашего портфеля:

- от неблагоприятного изменения цен на отдельные акции.

- страхование всего портфеля акций при помощи фьючерсов и опционов на индекс РТС и другие индексы.

Фьючерсы - ценные бумаги, удостоверяющие обязательство продать или купить акции по фиксированной цене в определенный срок.

Опционы - ценные бумаги, удостоверяющие право на совершение операций (или отказ от нее) с акциями в определенный срок.

Рассмотрим хеджирование риска на примере портфеля «Капитал».

В случае если появятся прогнозы на снижение цен акций, например, ГМК Норильского Никеля, мы можем открыть короткую позицию по фьючерсу на «НорНикель» и таким образом застрахуемся от падения этого актива. Результат операции представлен на рисунке 15.

Рис. 15 Пример операции хеджирования

Также возможно страхование рисков с участием страховых компаний. Возможны следующие варианты страхового покрытия:

- страхование годового дохода на уровне, соответствующим безрисковым вложениям;

- страхование части дохода по долгосрочным ценным бумагам, эквивалентным безрисковому доходу, на 3-5 лет;

- страхование разницы между объявленным размером дивиденда и фактическим;

- страхование риска потери инвестиций в размере номинальной стоимости акций или фактически уплаченных сумм.

Пока страхование финансовых рисков в России недостаточно развито.

Реструктуризация инвестиционного портфеля - изменение его состава, является постоянным инструментом повышения его эффективности. Поскольку фондовый рынок является весьма динамичным, то настоящая и прогнозируемая стоимость ценных бумаг, входящих в портфель, непрерывно меняется. Поэтому инвестору необходима постоянно корректировать структуру портфеля, чтобы добиваться приемлемого для себя соотношения уровней доходности и риска.

Существуют различные методы снижения рисков инвестиционного портфеля:

- уклонение от риска;

- разделение риска;

- передача риска;

- диверсификация;

- хеджирование;

- страхование рисков.



Заключение

Инвестиционный портфель - это совокупность ценных бумаг, управляемая как единое целое. Целью организации портфеля ценных бумаг является оптимизация соотношения доходности и риска. Сущность портфельного инвестирования заключается в распределении инвестиционных ресурсов между различными группами финансовых активов. Портфель ценных бумаг подлежит совокупной оценке по критериям доходности, ликвидности и риска.

В работе рассмотрена оценка инвестиционного портфеля по критерию риска на примере портфеля «Капитал». Анализ показывает, что существуют портфели, интегральный риск которых меньше риска каждого отдельного актива. Причем добавляя к выбранному активу второй актив с большими доходностью и риском, можно увеличить доходность формируемого портфеля и одновременно снизить его риск. При росте количества разнообразных ценных бумаг в портфеле уровень риска портфеля ценных бумаг может быть уменьшен, но не ниже уровня систематического риска.

Существуют три основные меры риска инвестиционного портфеля:

- вариация доходности;

- стандартное отклонение доходности;

- коэффициент вариации доходности.

Недостатки стандартного отклонения и вариации как меры риска заключаются в том, что вариация учитывает отклонения в обе стороны по отношению к среднему значению. Инвестор, естественно, не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемым результатом как отрицательное явление. Поэтому расчет риска с помощью вариации и стандартного отклонения завышает значение риска.



Список литературы

1. Бочаров В.В. Инвестиционный портфель. Источники финансирования. Выбор стратегии. С-пб.: Питер, 2008.

2. Вахрин П.И. Инвестиции. М.: Дашков и К, 2007.

3. Деева А.И. Инвестиции: краткий курс. М.: Экзамен, 2006.

4. Игонина Л.Л. Инвестиции: Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Магистр, 2009.

5. Игошин Н.В. Инвестиции. Организация управления и финансирование: Учебник для вузов. М.: Юнити, 2009.

6. Корчагин Ю.А., Маличенко И.П. Инвестиции: теория и практика. Ростов-на-Дону.: Феникс, 2008.

7. Крылов Э.И. Анализ эффективности инвестиционной деятельности предприятия: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2010.

8. Кузнецов Б.Т. Инвестиции. М.: Юнити, 2006.

9. Маренков Н.Л. Инвестиции. Ростов-на-Дону.: Феникс, 2008.

10. Нешитой А.С. Инвестиции. М.: Дашков и К, 2007.

11. Подшиваленко Г.П. Инвестиции: Учебное пособие, 3-е изд. М.: КноРус, 2006.

12. Янковский К.П. Инвестиции. С-пб.: Питер, 2009.

13. http://cmacfm.mazoo.net/ Учебный блог Mazoo.

14. www.micex.ru Официальный сайт ММВБ-MICEX.

15. www.hedging.ru Официальный сайт. Хеджинг и Сообщество риск-менеджеров.

Размещено на Allbest.ru

...