Оптимизация портфеля финансовых активов при ограничении на их целочисленность

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оптимизация портфеля финансовых активов при ограничении на их целочисленность

Введение

финансовый актив портфель целочисленность

Современная теория и практика анализа портфельных инвестиций использует множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг, к которым в первую очередь относятся: модель Марковица, ценовая модель рынка капиталов ЦМРК (САМР), модель теории арбитражного ценообразования и ряд других.

Общей особенностью этих моделей является сведение проблемы выбора оптимального инвестиционного портфеля к решению непрерывной задачи математического программирования при условии, что доли распределения исходного капитала между финансовыми активами каждого вида, включёнными в портфель, могут принимать любые значения из интервала [0;1].

Результат решения такой теоретической задачи, не всегда позволяет на практике сформировать соответствующий найденному оптимальному решению инвестиционный портфель без внесения некоторых корректировок. Это связано прежде всего с тем, что на практике купля-продажа финансовых инструментов на фондовом рынке осуществляется неделимыми лотами определённой величины, состоящими из целого количества ценных бумаг.

Например, при решении непрерывной задачи оптимизации индивидуальному инвестору, обладающему суммой 7000$, будет рекомендовано приобретение на все имеющиеся у него средства акций Сбербанка. Реально инвестор, не увеличивая своё бюджетное множество, сможет приобрести только 1 акцию стоимостью 3600 $, а сумма 3400 $ останется неизрасходованной. Использование же для практического применения оптимизационной дискретной задачи, учитывающей условие неделимости лотов, устраняет вышеизложенный недостаток, предлагая в таком случае более рациональное распределение средств.

В данной работе предпринята попытка учесть фактор целочисленности при формировании оптимальной структуры портфеля ценных бумаг.

1. Дискретная ценовая модель рынка капиталов

Пусть известен перечень лотов, в которые входят ценные бумаги одного вида, объем которых (количество акций каждого вида) задан числами

Известна начальная стоимость каждой акции б в момент времени t = 0 и вероятностное распределение будущей стоимости акций каждого вида в момент времени t = Т.

Предположим, что заданы так называемые в-коэффициенты по каждому виду финансовых активов, которые обозначим в (i = 1, 2,...,n). Эти коэффициенты задают количественную оценку риска по каждому виду ценных бумаг. В этих условиях инвестор, обладая ограниченным объемом инвестиционных ресурсов F, хотел бы приобрести те лоты, продав которые в момент времени t=T он получит максимальный ожидаемый прирост финансовых ресурсов ? F.

Сформируем оптимизационную задачу определения инвестиционного портфеля с учетом вышеприведенных предположений. Ниже будем считать, что будущая стоимость i-гo актива задается распределением г, г, … гс вероятностями p, p, …, p. Тогда математическое ожидание будущей стоимости i-гo актива есть величина

=

В этих обозначениях соответствующая оптимизационная задача выбора инвестиционного портфеля может быть представлена следующим образом:

	(1)
	(2)
	(3)
0, 1, 2, …; i = 1,2,…n	(4)

Здесь определяет максимальное допустимое значение риска инвестиционного портфеля.

В задаче (1) - (4) искомая переменная принимает целые значения начиная с 0, и показывает сколько лотов вошло в инвестиционный портфель. Для получения оптимального решения задачи (1) - (4) необходимо выбрать такие лоты из множества , чтобы, не нарушая ограничений (2) - (4), максимизировать целевую функцию (1).

Для решения этой задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ.

2. Описание метода ветвей и границ

Шаг 1. Вычисление верхней оценки задачи (1)--(4). Для получения верхней оценки заменим в задаче (1)--(4) ограничение (4) на ограничение (4') следующего вида:

i = 1,…, n	(4')

Тогда задача (1) - ( 4') является задачей непрерывного линейного программирования, и ее оптимальное решение может быть получено с использованием, например, симплекс-процедуры.

Обозначим решение задачи (1) - (4') через , вычислим значение целевой функции (1) на решении и обозначим его через . Отметим, что не является допустимым решением исходной задачи (1) - (4). Очевидно, что значение целевой функции (1) задачи (1) - (4) на оптимальном решении не может превышать величину .

Шаг 2. Вычисление нижней оценки задачи (1) - (4) осуществляется путем выбора некоторого допустимого решения задачи (1) - (4) и вычисления на этом решении значения целевой функции (1), которое и принимается за . Необходимо отметить, что чем ближе значение будет к значению , тем более эффективно будет работать в дальнейшем схема алгоритма, и если =, то выбранное выше решение и будет оптимальным. Если получено, что<, то переходим к следующему шагу метода.

Шаг 3. Анализ текущих оценок при формировании портфеля.

Если на втором шаге алгоритма выполняется соотношение <, то переход осуществляется на формирование очередного портфеля. В процессе формирования нового портфеля происходит вычисление текущих верхних оценок по формуле:

	(5)

Здесь K - множество лотов, которые уже вошли в портфель;

N - множество всех лотов;

N/K - остаток неприобретенных лотов;

- верхняя оценка задачи (1) - (4) на множестве лотов N/K и объеме финансовых ресурсов, равном:

Дальнейшее формирование нового портфеля происходит только в случае выполнения следующих условий:

	(6)
	(7)

В случае, если хотя бы одно из ограничений (6) - (7) не выполняется, происходит переход на формирование другого портфеля. Если (6) и (7) выполнены, то выбирается очередной лот для включения его в портфель и получаем множество приобретенных лотов . Очевидно, что .

На множестве вычисляется по формуле (5) и проверяется выполнение условий (6) - (7). Продолжая эту процедуру, в итоге получим два варианта: либо формируемый портфель будет отбракован, либо остаток финансовых средств будет таков, что ни один лот больше приобрести нельзя. В последнем случае вычисляем на полученном допустимом решении значение целевой функции (1). Обозначим эту величину как . Если > , то в дальнейшем полагаем =и переходим к формированию очередного инвестиционного портфеля. Алгоритм завершается, если: 1) при очередной корректировке получим = либо 2) все варианты формирования портфелей рассмотрены, и тогда в качестве оптимального выбирается тот, который соответствует последнему (максимальному) значению .

3. Целочисленная модель Марковица минимизации риска портфеля

В отличие от традиционной модели Марковица будем, как и ранее, предполагать, что активы можно приобретать только лотами, и определим значение

.

Тогда задача Марковица на минимум риска с учетом введенных ранее обозначений может быть сформулирована следующим образом:

	(8)
	(9)
	(10)
0, 1, 2, …; i = 1,2,…n.	(11)

В задаче (8) - (10) искомая переменная принимает целые значения начиная с 0, и показывает сколько лотов вошло в инвестиционный портфель. Величина ?F задает минимально необходимый прирост инвестиционных ресурсов при реализации активов портфеля в момент времени t = T. Значения вычисляются как попарные ковариации доходностей актива i и актива j (i = l,...,n; j = l,...,n; ij).

Опишем метод направленного перебора, реализующий схему метода ветвей и границ для этой задачи.

Шаг 1. Вычисление верхней границы оптимального значения целевой функции (8). Для этого решается вспомогательная задача следующего вида:

	(12)
	(13)
0, 1, 2, …; i = 1,2,…n.	(14)

Получив решение задачи (12) - (14), сравниваем значение целевой функции задачи (12) на этом решении с правой частью ограничения (10); и если оно меньше, чем F+?F, то задача (8) - (11) решения не имеет.

Если значение целевой функции (12) на оптимальном решении > F+?F, то вычисляем на этом решении значение целевой функции (8) и его принимаем за величину верхней оценки задачи (8) - (11).

Шаг 2. В качестве нижней оценки можно взять портфель, состоящий из одного лота, на котором .

Если< , то переходим к шагу 3. Если =, то оптимальное решение найдено.

Шаг 3. Вычисление текущих нижних оценок при анализе различных вариантов формирования портфелей.

Вычисление текущей нижней оценки формируемого портфеля (при условии, что в портфель уже вошли лоты множества и выполняется условие производится по следующей схеме.

Упорядочиваем все лоты множества N/K по соотношению:



и проверяем выполнение условия

.	(15)

Если неравенство (15) выполняется, то переходим к проверке выполнения следующего неравенства:

	(16)

Здесь - минимальная отрицательная ковариация двух активов из множества активов N/K;

- равномерное распределение остатка капитала в долях после приобретения акций множества К;

- минимальная дисперсия для множества активов N/K;

(n - k) - число лотов в множестве активов N/K;

- это доля финансовых средств, оставшихся после приобретения лотов множества К, равномерно распределенная между активами множества N/K.

Если неравенство (16) выполняется, то выбирается очередной лот из множества N/K, включаемый в формируемый портфель, образуется множество лотов, включенных в портфель (), и вычисляется текущая верхняя оценка для лотов множества .

Процесс формирования портфеля заканчивается, если либо при очередном включении нового лота в портфель не выполняется условие (15) или (16), либо за остаток средств нельзя приобрести ни один из оставшихся лотов, не включенных в портфель.

В последнем случае проверяем значение целевой функции (8) на сформированном портфеле, и если оно меньше, чем , то полагаем в дальнейшем, что равно полученному значению целевой функции (8). Алгоритм завершается, если при очередной корректировке получим =или после того, как просмотрены все варианты формирования инвестиционных портфелей. В этом случае в качестве оптимального выбирается тот портфель, которому соответствует последнее (минимальное) значение .

4. Целочисленная задача формирования инвестиционного портфеля Марковица на максимум доходности

Рассмотрим целочисленную задачу формирования инвестиционного портфеля Марковица на максимум доходности при ограничении на величину риска портфеля. С учетом вышеиспользованных обозначений эта задача может быть формализована следующим образом:

	(17)
	(18)
	(19)
0, 1, 2, …; i = 1,2,…n.	(20)

Будем применять для решения целочисленной задачи (17)--(20) используемую ранее схему метода ветвей и границ.

Шаг 1. Вычисление верхней оценки оптимального значения целевой функции задачи

(17) - (20).

Эта оценка может быть получена путем исключения ограничения (18) и замены ограничения (20) на ограничение вида:

i = 1,…, n	(21)

Тогда максимум доходности портфеля задачи (17), (19), (21) может быть получен, как указывалось ранее, путем упорядочения лотов по величине соотношения , i = 1, …, n

Перегруппируем лоты в порядке убывания величины и получим

.

Далее будем приобретать лоты по убыванию величины до тех пор, пока не будут израсходованы все деньги в объеме F. Этот портфель, очевидно, будет оптимальным решением задачи (17), (19), (21).

Если этот портфель еще и удовлетворяет ограничениям (18) и (20), то он также будет решением исходной задачи (17) - (20). Если последнее условие не выполняется, то переходим у шагу 2.

Шаг 2. Вычисление нижней оценки оптимального значения целевой функции задачи.

В качестве нижней оценки задачи (17) - (20) можно принять объем исходных инвестиционных ресурсов F. Содержательно это означает, что ни один лот не приобретается и, следовательно, величина риска равна нулю.

Шаг 3. Вычисление текущих верхних оценок оптимального значения целевой функции при формировании инвестиционного портфеля.

Вычисление текущей верхней оценки для частично сформированного портфеля при условии, что в портфель вошли уже лоты множества К, происходит по следующей формуле:

Кроме того, формируемый портфель должен удовлетворять ограничениям по уровню риска, то есть ограничению (18). Для этого после того как в портфель включены лоты множества K, должно выполняться следующее неравенство:

	(22)

Здесь - минимальная отрицательная ковариация двух активов из множества активов N/K;

- равномерное распределение остатка капитала в долях после приобретения акций множества К;

- минимальная дисперсия для множества активов N/K;

(n - k) - число лотов в множестве активов N/K;

- это доля финансовых средств, оставшихся после приобретения лотов множества К, равномерно распределенная между активами множества N/K.

После того как вычислено значение проверяется выполнение следующего соотношения:

	(23)

Если условия (22) и (23) выполнены, то происходит выбор очередного приобретаемого лота и формируется инвестиционный портфель, в который входит множество лотов (). Если на множестве выполняется соотношения (22) и (23), то процесс формирования портфеля продолжается. В противном случае данный портфель отбраковывается и происходит переход к формированию нового инвестиционного портфеля.

В том случае если с учетом описанной выше процедуры удалось сформировать портфель, на котором выполняются все ограничения (18) - (20) и значение целевой функции (17) на нем больше, чем , то полагаем =и переходим на формирование нового инвестиционного портфеля.

Работа описанного алгоритма заканчивается либо в случае, когда после очередной корректировки получим =, либо когда все варианты формирования портфеля рассмотрены, и в этом случае в качестве оптимального выбирается тот, который соответствует последнему (наибольшему) значению .

5. Примеры нахождения оптимального портфеля финансовых активов

Рассмотрим несколько примеров формирования оптимального портфеля ценных бумаг при целочисленных и непрерывных ограничениях на основании реальных данных о котировках, представленных Российской торговой системой.

В целях инвестирования рассматриваются 15 российских акций. Такое количество акций позволит создать достаточно диверсифицированный портфель ценных бумаг. Выбор акций осуществлялся по следующим критериям:

1) Дорогие акции, торгующиеся на фондовой бирже РТС лотами по одной штуке - акции ОАО Сбербанк России (SBER), ОАО "Ленгазспецстрой" (LEGS), ОАО "Транснефть" (TRNFP), ОАО "Авиакомпания "Сибирь" (AVSI), ОАО "Полюс Золото" (PLZL), ОАО" Вымпелком" (VIMP), ОАО "Северсталь" (CHMF).

2) Акции, продающиеся крупными лотами от 100 штук - ОАО "ГМК "Норильский никель" (GMKN), ОАО РАО "ЕЭС России" (EESR), ОАО "Газпром" (GAZP), ОАО "ЛУКОЙЛ" (LKOH), ОАО "НК "Роснефть" (ROSN), ОАО "МТС" (MTSS), ОАО "Сургутнефтегаз" (SNGS), ОАО "Ростелеком" (RTKM).

Допустим, что спекулятивный инвестор планирует сформировать портфель финансовых активов на одну неделю, структуру которого он не будет менять в течение этого времени. Условной датой вложения средств, то есть началом периода инвестирования будем считать 02.04.2007. Оптимальная структура портфеля формируется таким образом на 09.04.07 - это дата выхода с рынка или фиксирования прибыли. В качестве инвестируемой суммы возьмём условно 1 000 000 $ США.

В качестве периода накопления информации примем период с 25. 09.2006 по 02.04. 2007, который разобьём на 26 периодов длиной в 1 неделю, то есть рыночные цены акций будем фиксировать каждую неделю периода накопления информации. На основании этой статистической информации оценим стоимость акций на 09.04.2007.

Таблица 1

	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP
стоимость 1 акции на 02.04.2007, б ($ США)	3537,50	187,00	2047,50	13,43	1,37	10,35	85,75	47,80	8,42	5850,00	3091,50	9,58	1,50	8,50	352,00
оценка будущей стоимости на 09.04.07,	3602,58	189,76	2051,35	13,47	1,41	10,33	86,00	47,87	8,45	5947,33	3109,46	9,72	1,52	8,69	357,47
кол-во акций данного вида в лоте, V	1	100	1	1	5000	100	100	1	100	1	1	100	5000	1000	1

На основании рыночных стоимостей акций рассчитаем доходности акций в % на каждую неделю рассматриваемого периода:

Таблица 2

Дата	Наименование акции
	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP
02.10.2006	-3,83	-3,10	-4,95	-7,64	1,00	-0,73	-7,07	-7,13	4,21	-12,77	-2,61	6,73	9,72	3,06	4,17
09.10.2006	4,14	0,97	13,28	6,07	-1,32	2,67	0,61	1,55	0,06	0,14	1,91	2,29	-2,54	-0,99	-2,00
16.10.2006	1,10	8,03	2,64	0,13	2,77	-1,13	3,67	1,56	0,00	10,19	0,00	1,26	3,19	1,40	2,04
23.10.2006	1,24	0,66	-1,23	-0,49	-1,73	-1,22	1,61	2,74	4,61	26,42	1,31	1,78	-3,13	-5,33	-2,00
30.10.2006	-4,05	-0,24	-4,54	1,17	2,24	4,18	1,05	2,16	2,17	1,99	1,11	1,66	-1,79	2,08	6,12
07.11.2006	4,74	4,29	5,46	4,07	9,50	-2,69	4,51	0,63	2,66	5,37	2,56	5,01	4,41	6,53	0,00
13.11.2006	3,11	-1,74	8,33	-8,52	1,15	-0,33	2,55	0,32	7,13	0,69	0,00	-1,62	4,74	4,17	0,00
20.11.2006	1,35	-2,67	2,29	-2,42	6,99	-2,45	-3,68	0,68	-2,90	11,95	10,71	-2,48	-5,91	5,56	0,00
27.11.2006	0,72	6,56	-3,15	-1,41	4,20	2,65	3,54	3,90	1,22	2,05	0,00	4,52	2,84	7,80	3,85
04.12.2006	1,53	2,72	1,78	2,42	5,78	5,64	4,86	2,30	-0,60	-4,47	-0,81	6,14	3,69	3,43	12,96
11.12.2006	15,52	-0,94	-0,68	-2,75	2,23	-1,37	-0,93	-5,48	2,86	-14,49	0,00	0,47	6,62	1,68	3,28
18.12.2006	5,51	2,15	-4,09	-3,79	-0,29	0,14	-1,31	1,14	-0,59	6,40	-3,25	-2,64	-0,53	7,88	-1,59
25.12.2006	2,64	-2,92	-2,49	1,64	-0,98	0,21	-2,58	-0,61	-1,61	-2,78	0,00	0,58	-1,10	2,56	0,00
09.01.2007	2,33	-6,50	-6,77	-1,35	3,13	-5,95	-5,93	-5,67	5,19	-0,43	2,52	0,12	-3,10	4,51	0,00
16.01.2007	11,14	10,52	7,74	1,36	3,33	0,42	-3,62	-1,42	-8,26	0,91	2,62	4,36	-1,49	-1,53	1,61
23.01.2007	-2,96	6,61	-1,22	12,33	-0,24	-0,92	2,15	9,31	0,51	9,00	1,44	8,87	-9,90	2,90	3,17
30.01.2007	-6,47	-2,15	-0,22	-2,59	11,44	-4,92	-0,69	-1,32	-0,28	0,97	4,72	0,00	-2,97	2,16	3,85
06.02.2007	7,56	12,71	10,99	5,12	7,07	6,93	6,14	8,38	1,86	4,22	1,05	3,36	6,20	2,70	0,00
13.02.2007	-0,59	-4,88	-3,94	-3,31	-3,38	-5,06	-3,75	-1,28	-3,83	-5,04	-3,65	-2,58	-5,45	-1,44	0,00
20.02.2007	2,76	5,13	-3,26	6,45	3,13	3,17	-1,86	4,03	-0,69	0,00	-0,77	2,28	-0,45	3,99	0,00
27.02.2007	3,04	0,16	-1,09	0,00	-1,04	-1,86	2,65	-2,77	1,51	3,57	0,00	-4,29	1,32	-1,52	-3,70
06.03.2007	-3,98	-7,97	-9,12	-6,44	-10,53	-8,26	-4,24	-9,59	-11,21	-11,18	-2,57	-5,57	-11,46	-1,24	-5,38
13.03.2007	0,57	2,68	0,24	1,21	11,73	2,85	1,99	0,95	4,90	6,43	-1,76	0,63	0,46	5,33	10,08
20.03.2007	3,70	6,00	3,02	1,80	4,12	-2,26	-0,50	-1,40	0,74	-0,89	0,00	7,79	2,80	1,54	3,40
27.03.2007	-1,48	0,68	-1,41	6,68	2,56	6,90	5,82	1,44	1,40	6,19	0,00	2,96	8,70	3,32	0,00
02.04.2007	-1,49	1,58	-2,73	-1,10	3,71	-0,39	2,51	-0,53	1,20	-1,18	0,54	-1,85	23,15	-3,55	0,57

Для нахождения риска портфеля по формуле (8) построим дисперсионно-ковариационную матрицу доходностей следующего вида:

Таблица 3

код	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP
SBER	21,7967	8,7611	11,6426	1,6059	1,8076	2,8799	0,8784	0,1795	0,4593	-3,5804	0,4377	0,8454	4,8528	0,6473	-1,8303
GMKN	8,7611	24,4104	14,4064	12,9178	9,2277	10,3476	9,8461	13,9747	0,6700	13,5922	0,6089	10,1876	7,7504	1,8346	4,3593
TRNFP	11,6426	14,4064	27,9670	7,3787	8,5712	7,3785	8,0678	8,9340	2,5403	9,1262	4,9841	5,3405	5,0295	-0,5200	0,4847
CHMF	1,6059	12,9178	7,3787	21,3425	4,5070	8,5198	7,6865	13,0653	0,1558	12,6292	2,0766	9,1094	-2,8360	0,4295	2,2204
EESR	1,8076	9,2277	8,5712	4,5070	21,3589	5,5054	5,5821	6,2139	7,1918	7,8697	5,6953	5,6069	10,2239	6,9913	10,3270
GAZP	2,8799	10,3476	7,3785	8,5198	5,5054	13,7825	7,9392	9,6141	3,9776	5,0331	-0,9628	5,5726	9,6861	2,7182	5,8780
LKOH	0,8784	9,8461	8,0678	7,6865	5,5821	7,9392	12,6604	9,4378	4,6350	11,7620	-0,1259	2,9707	8,8410	0,9572	2,8897
PLZL	0,1795	13,9747	8,9340	13,0653	6,2139	9,6141	9,4378	16,7733	3,4234	19,8055	1,9555	6,2837	-0,3736	2,8051	3,2993
ROSN	0,4593	0,6700	2,5403	0,1558	7,1918	3,9776	4,6350	3,4234	14,8971	7,3627	-0,1258	3,2578	11,3013	3,2393	4,0074
LEGS	-3,5804	13,5922	9,1262	12,6292	7,8697	5,0331	11,7620	19,8055	7,3627	65,2814	8,7822	1,5064	-9,7728	-0,8755	-4,0935
AVSI	0,4377	0,6089	4,9841	2,0766	5,6953	-0,9628	-0,1259	1,9555	-0,1258	8,7822	7,6857	0,2196	-3,0032	0,7296	-0,6114
MTSS	0,8454	10,1876	5,3405	9,1094	5,6069	5,5726	2,9707	6,2837	3,2578	1,5064	0,2196	13,0898	3,1964	2,4426	7,1701
SNGS	4,8528	7,7504	5,0295	-2,8360	10,2239	9,6861	8,8410	-0,3736	11,3013	-9,7728	-3,0032	3,1964	45,3030	-0,5986	4,7766
RTKM	0,6473	1,8346	-0,5200	0,4295	6,9913	2,7182	0,9572	2,8051	3,2393	-0,8755	0,7296	2,4426	-0,5986	10,5471	4,0064
VIMP	-1,8303	4,3593	0,4847	2,2204	10,3270	5,8780	2,8897	3,2993	4,0074	-4,0935	-0,6114	7,1701	4,7766	4,0064	14,7669

После проведения подготовительных расчётов решаем оптимизационные задачи линейного программирования, применяя процедуру "Поиск решения" программы EXCEL.

Непрерывная модель Марковица минимизации риска портфеля

Непрерывная модель допускает приобретение лотов частями. Чтобы определить верхнюю границу допустимого объёма прироста средств, решим однокритериальную задачу (12) - (14). Получаем, что максимально возможный прирост ресурсов составляет 25 605 $ США. В качестве необходимого значения прироста средств возьмём 20 000 $ США (что составит доходность в 2 % (за неделю) при условии полного использования инвестиционных ресурсов).

Решаем оптимизационную задачу линейного программирования минимизации риска портфеля при условиях ограниченности бюджетного множества суммой средств в 1 000 000 $ США и минимально необходимом приросте инвестиционных ресурсов 20 000 $ США к моменту времени t = 09.04.2007

Получаем следующую структуру портфеля, соответствующую оптимальному решению задачи:

Таблица 4

	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP	Итого
стоимость 1 акции на 02.04.2007, б ($ США)	3537,50	187,00	2047,50	13,43	1,37	10,35	85,75	47,80	8,42	5850,00	3091,50	9,58	1,50	8,50	352,00
оценка будущей стоимости на 09.04.07,	3602,58	189,76	2051,35	13,47	1,41	10,33	86,00	47,87	8,45	5947,33	3109,46	9,72	1,52	8,69	357,47
кол-во акций данного вида в лоте, V	1	100	1	1	5000	100	100	1	100	1	1	100	5000	1000	1
полученная сумма на конец периода	212215	0	0	0	92122	0	0	0	0	74322	0	97457	10414	471833	61637	1 020000
инвестиции в акции на начало периода	208381	0	0	0	89822	0	0	0	0	73106	0	95988	10303	461706	60693	1 000000
кол-во лотов, необходимое приобрести	58,91	0	0	0	13,10	0	0	0	0	12,50	0	100,25	1,37	54,32	172,42
Общий риск портфеля составит	2,3110
Прирост средств за период, ?F	20 000 $

Ячейки, выделенные жирными линиями, представляют собой искомые переменные непрерывной оптимизационной задачи и показывают, сколько лотов акций каждого вида необходимо приобрести, чтобы минимизировать риск инвестора при заданных ограничениях.

Для достижения вышепоставленных целей инвестору рекомендуется формирование портфеля из акций 7 видов, при этом будет получен доход 20 000 $ США, уровень риска будет составлять 2,3110.

Дискретная модель Марковица минимизации риска портфеля

Теперь рассмотрим более реалистичную с точки зрения практики задачу, учитывающую целочисленность и неделимость лотов, и сравним полученные результаты:

Таблица 5

	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP	Итого
стоимость 1 акции на 02.04.2007, б ($ США)	3537,50	187,00	2047,50	13,43	1,37	10,35	85,75	47,80	8,42	5850,00	3091,50	9,58	1,50	8,50	352,00
оценка будущей стоимости на 09.04.07,г	3602,58	189,76	2051,35	13,47	1,41	10,33	86,00	47,87	8,45	5947,33	3109,46	9,72	1,52	8,69	357,47
кол-во акций данного вида в лоте, V	1	100	1	1	5000	100	100	1	100	1	1	100	5000	1000	1
полученная сумма на конец периода	212553	0	0	13,47	98463	0	0	0	0	71368	0	102076	7581	460380	67562	1019996,91
инвестиции в акции на начало периода	208713	0	0	13,43	96005	0	0	0	0	70200	0	100538	7500	450500	66528	999996,43
кол-во лотов, необходимое приобрести	59	0	0	1	14	0	0	0	0	12	0	105	1	53	189
Общий риск портфеля составит	2,3117
Прирост средств за период, ?F	20 000,49 $

При решении оптимизационной дискретной задачи минимизации риска (8)-(11) произошло переформирование структуры портфеля. Теперь инвестору рекомендуется приобретение акций 8 видов - в портфель была добавлена 1 акция ОАО "Северсталь" (CHMF). Незначительно увеличился риск портфеля - на 0,0007 , что является платой за получение дополнительного прироста средств в 49$.

Непрерывная модель Марковица на максимум доходности

Рассмотрим теперь пример формирования оптимальной структуры портфеля, максимизирующей доходность при заданном ограничении на уровень допустимого риска. Для начала будем полагать, что лоты могут дробиться и приобретаться на фондовом рынке частями.

Для нахождения минимально возможного уровня риска при данных условиях формирования портфеля решим однокритериальную задачу (8), (9), (21). Получим, что нижняя граница возможного значения риска = 1,6741, если задать ограничение на величину риска меньше этой величины, то задача решения иметь не будет. Полагая, что инвестор не имеет большой склонности к риску, установим R= 1,75.

Решаем оптимизационную задачу линейного программирования максимизации прироста средств при условиях ограниченности бюджетного множества суммой средств в 1 000 000 $ США и максимально допустимом уровне риска 1,75.

Получаем следующую структуру портфеля, соответствующую оптимальному решению задачи:

Таблица 6

	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP	Итого
стоимость 1 акции на 02.04.2007, б ($ США)	3537,50	187,00	2047,50	13,43	1,37	10,35	85,75	47,80	8,42	5850,00	3091,50	9,58	1,50	8,50	352,00
оценка будущей стоимости на 09.04.07,г	3602,58	189,76	2051,35	13,47	1,41	10,33	86,00	47,87	8,45	5947,33	3109,46	9,72	1,52	8,69	357,47
кол-во акций данного вида в лоте, V	1	100	1	1	5000	100	100	1	100	1	1	100	5000	1000	1
полученная сумма на конец периода	145518	0	0	0	0	0	44557	0	0	28935	280667	93089	46778	259914	114624	1 014 081
инвестиции в акции на начало периода	142889	0	0	0	0	0	44429	0	0	28465	279047	91686	46280	254336	112869	1 000 000
кол-во лотов, необходимое приобрести	40,39	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	5,18	0,00	0,00	4,87	90,26	95,76	6,17	29,92	320,65
Прирост средств за период, ?F	14 081 $
Общий риск портфеля равен	1,7500

Для достижения инвестиционных целей, перечисленных выше, инвестору следует сформировать портфель, состоящий из финансовых инструментов 8 видов. Количество лотов каждого вида, необходимое для приобретения, указано в ячейках, выделенных жирными линиями, суммарный риск портфеля составит 1,75. Приобретение акций на сумму 1 000 000 $ США в указанных пропорциях 02.04.2007 позволит инвестору к 09.04.2007 получить доход в размере 14 081 $ США, что составляет доходность в 1,4%.

Дискретная модель Марковица на максимум доходности

Теперь снова обратимся к целочисленной задаче, учитывающей тот факт, что на практике дробление лотов невозможно. Результат вычислений приведён в таблице:

Таблица 7

	SBER	GMKN	TRNFP	CHMF	EESR	GAZP	LKOH	PLZL	ROSN	LEGS	AVSI	MTSS	SNGS	RTKM	VIMP	Итого
стоимость 1 акции на 02.04.2007, б ($ США)	3537,50	187,00	2047,50	13,43	1,37	10,35	85,75	47,80	8,42	5850,00	3091,50	9,58	1,50	8,50	352,00
оценка будущей стоимости на 09.04.07,г	3602,58	189,76	2051,35	13,47	1,41	10,33	86,00	47,87	8,45	5947,33	3109,46	9,72	1,52	8,69	357,47
кол-во акций данного вида в лоте, V	1	100	1	1	5000	100	100	1	100	1	1	100	5000	1000	1
полученная сумма на конец периода	144103	0	0	242	0	0	42998	48	845	29732	282960	89438	45485	260593	117609	1 014054
инвестиции в акции на начало периода	141500	0	0	242	0	0	42875	48	842	29250	281327	88090	45000	255000	115808	999 980
кол-во лотов, необходимое приобрести	40	0	0	18	0	0	5	1	1	5	91	92	6	30	329
Прирост средств за период, ?F	14 073 $
Общий риск п...

Подобные документы

• Портфельные инвестиции и модели их формирования

  Общие положения о формировании портфеля ценных бумаг. Основные базовые модели формирования портфеля ценных бумаг: модель Марковица, модель оценки стоимости активов, индексная модель Шарпа. Рыночный портфель и проблемы портфельного инвестирования в России.
  
  курсовая работа [171,9 K], добавлен 14.07.2011
  

• Теория портфеля Г.Марковица и модель оценки доходности финансовых активов

  Суть теории портфельных инвестиций. Модель оценки доходности финансовых активов. Основные постулаты и принципы теории. Практическое применение и значимость теории. Математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
  
  контрольная работа [23,7 K], добавлен 28.02.2006
  

• Формирование инвестиционного портфеля

  Портфельное инвестирование. Основные принципы формирования портфеля инвестиций. Характеристика основных видов ценных бумаг и оценка их доходности. Акции, облигации. Методики формирования оптимальной структуры портфеля. Модель Марковица, Блека.
  
  курсовая работа [81,3 K], добавлен 17.05.2006
  

• Основы финансовых инвестиций

  Рассмотрение понятий и форм финансовых инвестиций. Исследование понятия портфеля ценных бумаг и его классификации. Рассмотрение методов оценки риска и доходности финансовых активов. Формирование портфеля ценных бумаг, оценка его доходности и риска.
  
  дипломная работа [4,9 M], добавлен 03.05.2018
  

• Оценка доходов финансовых активов и эффективности инвестиционного портфеля

  Характеристики риска при анализе инвестиционных проектов. Оценка единичного и рыночного рисков. Статистические критерии риска. Сущность теории портфеля Г. Марковица и модель оценки доходов финансовых активов. Метод оптимизации инвестиционного портфеля.
  
  курсовая работа [608,2 K], добавлен 21.11.2011
  

• Методы формирования инвестиционного портфеля

  Понятие и формы финансовых инвестиций. Классификация портфеля ценных бумаг и методы его оптимального формирования для разных типов инвесторов, стратегии управления. Оценка риска и доходности финансовых активов. Формализация процесса инвестирования в ЦБ.
  
  дипломная работа [2,2 M], добавлен 16.05.2017
  

• Понятие инвестиционного портфеля

  Состояние инвестиционного рынка и его сегментов. Основные свойства портфеля ценных бумаг. Принципы формирования инвестиционного портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли. Расчет индекса доходности. Вклад Марковица в современную теорию портфеля.
  
  контрольная работа [447,6 K], добавлен 17.03.2015
  

• Оптимизация портфеля ценных бумаг

  Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. Паевые инвестиционные фонды на рынке России. Использование копула-функций для оптимизации портфеля ценных бумаг. Анализ данных по выбранным паевым инвестиционным фондам. Тестирование оптимальных портфелей.
  
  дипломная работа [1,2 M], добавлен 18.10.2016
  

• Математические методы управления портфелем финансовых активов

  Управление риском. Стандартное отклонение портфеля. Коэффициент корреляции. Кривые безразличия. Теорема об эффективном множестве. Графическое решение задачи выбора индивидуального оптимального портфеля. Математическая модель Марковица. Модель CAРM.
  
  курсовая работа [366,8 K], добавлен 18.01.2016
  

• Рынок ценных бумаг: сущность и функции

  Методы формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг. Краткая характеристика предприятия ОАО "ОТП Банк". Анализ операций с ценными бумагами. Структура активов и пассивов. Локальные акты по подходу организации к формированию инвестиционного портфеля.
  
  курсовая работа [631,8 K], добавлен 08.09.2014
  

• Проблемы оптимального формирования портфеля ценных бумаг

  Понятие портфеля ценных бумаг, его виды и основные принципы формирования. Модель ценообразования на основной капитал: применение парного регрессионного анализа. Вывод линейной зависимости между риском и прибылью. Составление оптимального портфеля.
  
  дипломная работа [339,5 K], добавлен 19.05.2013
  

• Теоретические аспекты формирования оптимальных инвестиционных портфелей с использованием безрисковых кредитов и заемных средств

  Понятие инвестиционного портфеля. Доходность и риск инвестиционного портфеля. Использование безрисковых займов и кредитов. Особенности модели "доходность-риск Марковица". Влияние отдельных ценных бумаг на параметры портфеля. Кривая эффективных портфелей.
  
  реферат [26,9 K], добавлен 11.02.2010
  

• Формирование портфеля ценных бумаг

  Выбор стратегии формирования фондового портфеля. Сущность и виды фондового портфеля Методы оценки инвестиционной привлекательности ФЦБ. Анализ денежных потоков и определение размера возможных вложений. Расчет доходности фондового портфеля.
  
  курсовая работа [83,1 K], добавлен 11.06.2004
  

• Оценка акций методом САРМ (Capital assets price model)

  Составление портфеля ценных бумаг. Изменение стоимости портфеля, нахождение его фактической доходности. Оценка эффективности инвестиционного проекта с точки зрения владельца портфеля. Виды финансовых инструментов. Депозитные и сберегательные сертификаты.
  
  курсовая работа [47,2 K], добавлен 26.01.2015
  

• Оценка процесса формирования портфеля финансовых инвестиций

  Экономическая сущность, назначение, структура портфеля ценных бумаг, процесс управления его формированием. Основные виды инвестиционных рисков. Оценка стоимости акций и облигаций предприятия "Смарт". Ключевые проблемы развития российского фондового рынка.
  
  курсовая работа [138,6 K], добавлен 22.04.2015
  

• Оптимизация инвестиционного портфеля

  Принципы формирования инвестиционного портфеля. Современная теория портфеля (модель Марковица). Модель оценки капитальных вложений (модель Шарпа). Характеристика позиции фирмы на рынке. Разработка инвестиционной стратегии на примере ООО "Восток–Запад".
  
  курсовая работа [128,9 K], добавлен 24.08.2016
  

• Управление портфелем ценных бумаг акционерного общества и методы его оптимизации

  Методы оптимизации и диверсификации фондового портфеля, оценка его эффективности. Мониторинг портфеля ценных бумаг. Оценка инвестиционной привлекательности ценных бумаг эмитента. Риски, связанные с портфельными инвестициями и способы их снижения.
  
  реферат [35,4 K], добавлен 17.03.2011
  

• Понятие финансового инвестиционного портфеля

  Характеристика понятия инвестиционного портфеля. Рассмотрение общих подходов к его формированию. Определение зависимости доходности и риска портфеля от ожидаемых доходностей входящих в него активов и удельного веса каждого из них в его структуре.
  
  презентация [138,7 K], добавлен 13.03.2019
  

• Финансовые инвестиции

  Характеристика финансовых инвестиций: вложение средств в финансовые инструменты с преобладанием ценных бумаг с целью получения дохода (прибыли) в будущем. Порядок формирования портфеля ценных бумаг. Особенности денежных потоков финансовых инвестиций.
  
  реферат [22,9 K], добавлен 15.05.2011
  

• Формирование инвестиционного портфеля

  Понятие инвестиционного портфеля, цели его формирования. Суть теории портфельных инвестиций. Формирование портфельных инвестиций. Теоретическое и практическое обоснования выбора портфеля на примере модели Г. Марковица, основные принципы этой теории.
  
  курсовая работа [38,5 K], добавлен 04.10.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам