Определение номинальной процентной ставки

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАфедра «Экономико - математические методы и модели»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант № 4

Исполнитель: Цирина Е.А.

Факультет: Финансово - кредитный

Руководитель: Мануйлов Н.Н.

Владимир 2010

Задание 1

Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1

Исходные данные

квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство	33	42	50	33	36	46	56	34	39	50	59	37	44	54	65	40

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁=0,3;б₂=0,6; б₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Y_p(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= б₁ *Y(t) / F(t-L) + (1- б₁ )*[a(t-1)+b(t-1)];

b(t)= б₃ * [a(t)-a(t-1)]+(1- б₃)*b(t-1);

F(t)= б₂ * Y(t)/a(t) + (1- б₂)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t)=a(0) + b(0)*t.

Таблица 2

Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов линейной модели

	t	yt					y(t)
А	1	2	3	4	5	6	7
	1	33	-3,5	12,25	-8,3	28,88	38,42
	2	42	-2,5	6,25	0,8	-1,88	39,23
	3	50	-1,5	2,25	8,8	-13,13	40,04
	4	33	-0,5	0,25	-8,3	4,13	40,85
	5	36	0,5	0,25	-5,3	-2,63	41,66
	6	46	1,5	2,25	4,8	7,13	42,47
	7	56	2,5	6,25	14,8	36,88	43,28
	8	34	3,5	12,25	-7,3	-25,38	44,09
Итого	36	330	0	42	0	34,00	330,04
Среднее	4,5	41,25

a(0) = Y_ср - b(0)*t_ср = 41,25 - 0,81*4,5=37,61

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y_p(t)= 37,61+0,81t

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.2, графы 2 и 7).

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

;

;

;

.

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая, что t=-3, F(-3)=0,8615

Полагая, что t=-2,F(-2)=1,0769

Полагая, что t=-1, F(-1)=1,2713

Полагая, что t=0, a(0)=37,6100; b(0)=0,8100, F(0)=0,7895, k=1

Полагая что t=1, находим:

Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=(37,6100+1*0,8100)*0,8615=33,0988

a(1)= б₁*Y(1)/F(-3)+(1-б₁)*[a(0)+b(0)]=0,3*33,0/0,8615 + (1-0,3)*(37,6100+0,8100)=38,3856

b(1)= б₃*[a(1)-a(0)]+(1-б₃)*b(0)=0,3*(38,3856-37,6100)+(1-0,3)*0,8100=0,7997

F(1)= б_2*Y(1)/a(1)+(1- б₂)*F(-3)=0,6*33,0/38,3856+(1-0,6)*0,8615=0,8604

Аналогично рассчитаем для t=2

Y_p(2)=(38,3856+0,7997)*1,0769=42,1986

a(2)= 0,3*42,0/1,0769+(1-0,3)*(38,3856+0,7997)=39,1300

b(2)= 0,3*(39,1300-38,3856)+(1-0,3)*0,7997=0,7831

F(2)= 0,6*42,0/39,1300+(1-0,6)*1,0769=1,0748

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр. E(t)	Отн.погр в %
-3				0,8615
-2				1,0769
-1				1,2713
0		37,6100	0,8100	0,7895
1	33,0	38,3856	0,7997	0,8604	33,0988	-0,0988	0,2994
2	42,0	39,1300	0,7831	1,0748	42,1986	-0,1986	0,4729
3	50,0	39,7381	0,7306	1,2635	50,7415	-0,7415	1,4830
4	33,0	40,8677	0,8503	0,8003	31,9500	1,0500	3,1818
5	36,0	41,7549	0,8614	0,8615	35,8942	0,1058	0,2939
6	46,0	42,6710	0,8778	1,0767	45,8040	0,1960	0,4261
7	56,0	43,7806	0,9473	1,2729	55,0239	0,9761	1,7430
8	34,0	44,0548	0,7454	0,7832	35,7957	-1,7957	5,2815
9	39,0	44,9411	0,7877	0,8653	38,5954	0,4046	1,0374
10	50,0	45,9416	0,8515	1,0837	49,2362	0,7638	1,5276
11	59,0	46,6604	0,8117	1,2678	59,5629	-0,5629	0,9541
12	37,0	47,4031	0,7910	0,7816	37,1801	-0,1801	0,4868
13	44,0	48,9907	1,0300	0,8850	41,7024	2,2976	5,2218
14	54,0	49,9633	1,0128	1,0820	54,2074	-0,2074	0,3841
15	65,0	51,0642	1,0392	1,2709	64,6275	0,3725	0,5731
16	40,0	51,8255	0,9558	0,7757	40,7240	-0,7240	1,8100

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки точности и адекватности модели

t	Факт Y(t)	Отклон E(t)	Точки	E(t)^2	E(t-1)	E(t)-E(t-1)	графа 7 в	E(t)*E(t-1)	|E(t)|/Y(t)
			поворота				квадрате		%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	33,0	-0,10	хххх	0,01					0,30
2	42,0	-0,20	0	0,04	-0,10	-0,10	0,01	0,02	0,47
3	50,0	-0,74	1	0,55	-0,20	-0,54	0,29	0,15	1,48
4	33,0	1,05	1	1,10	-0,74	1,79	3,21	-0,78	3,18
5	36,0	0,11	1	0,01	1,05	-0,94	0,89	0,11	0,29
6	46,0	0,20	0	0,04	0,11	0,09	0,01	0,02	0,43
7	56,0	0,98	1	0,95	0,20	0,78	0,61	0,19	1,74
8	34,0	-1,80	1	3,22	0,98	-2,77	7,68	-1,75	5,28
9	39,0	0,40	0	0,16	-1,80	2,20	4,84	-0,73	1,04
10	50,0	0,76	1	0,58	0,40	0,36	0,13	0,31	1,53
11	59,0	-0,56	1	0,32	0,76	-1,33	1,76	-0,43	0,95
12	37,0	-0,18	0	0,03	-0,56	0,38	0,15	0,10	0,49
13	44,0	2,30	1	5,28	-0,18	2,48	6,14	-0,41	5,22
14	54,0	-0,21	1	0,04	2,30	-2,51	6,28	-0,48	0,38
15	65,0	0,37	1	0,14	-0,21	0,58	0,34	-0,08	0,57
16	40,0	-0,72	хххх	0,52	0,37	-1,10	1,20	-0,27	1,81
Итого	718,0		10	13,0			33,5	-4,0	25,2

2. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см.табл.4) составляет 17,6, что дает среднюю величину 25,2/16=1,57%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл. 4).

Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=10

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p=9, q=6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

d₁=1,10_, d₂=1,37

d₂=1,37<1,4223<2

Согласно Критерия Дарбина-Уотсона говорит о том, что уровни ряда остатков являются независимыми

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1) < r _табл, то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче r(1)/=30,94<r_таб=0,32 - условие независимости выполняется.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS -критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(E_max - E_min)/S,

RS= (2,30-(-1,80))/0,9313=4,40

Так как 4,40>4,21, то полученное значение RS не попало в заданный интервал, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению.

4. Построение точечного прогноза

Для t=17 имеем:

Y_p(17)=Y_p(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16+1-4)= (51,8255+0,9558)*0,8850=46,7115

Аналогично находим Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20):

Y_p(18)= Y_p(16+2)=[a(16)+2 *b(16)]*F(16+2-4)= (51,8255+2*0,9558)*1.0820=58,1435

Y_p(19)= Y_p(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16+3-4)= (51,8255+3*0,9558)*1.2709=69,5092

Y_p(20)= Y_p(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16+4-4)= (51,8255+4*0,9558)*0,7757=43,1667

5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

Рис. 1 Сопоставление расчетных и фактических данных

Задание № 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 5

Исходные данные

дни	Макс.	Мин.	Закр.
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755
6	776	661	765
7	756	715	720
8	745	685	739
9	758	725	740
10	730	673	678

Решение

Результаты расчетов представлены в таблицах 6 и 7.

1. Находим экспоненциальную скользящую среднюю по формуле

EMA_t=k*C_t+(1-k)*EMA_t-1,

где k=2/(n+1)

C_t - цена закрытия t-го дня

n = 5, Находим коэффициент k по формуле

k = , k = = = .

Примем

EMA₀ =

Тогда

EMA₁ = 1/3* C₁ + (1 -1/3)* EMA_{1 - 1} = •709+ (1 - )*733 =725,00

Аналогично находим и для других дней.

Полученные значения заносим в графу 5.

2. Момент рассчитываем по формуле:

MOM_t=C_t - C_t-n

В графу 6 для t = 5 вносим разность значений из графы 4:

С(5) - С(1)=755-709=46

для t = 6 в графу 6 вносим

С(6) - С(2) =765-738=27 и т.д.

Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные - о снижении

3. Скорость изменения цен

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения.

В графу 7 для t = 5 вносим значения из графы 4:

*100=755/709*100=106,49%,

для t = 6 в графу 7 вносим

*100=765/738*100=103,66% и т.д.

4. Индекс относительной силы

,

где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Начиная со 2 дня до конца таблицы, абсолютное значение разности между текущей ценой и ценой предыдущего дня записываем в графу 8 (если цена возросла) или в графу 9 (если цена понизилась).

Начиная с пятого дня до конца таблицы в графу 10, содержащую сумму повышений цен AU, вносим сумму приростов цен из графы 8 за 5 последних дней. Эту сумму определяем сложением значений графы 8 за 5 последних дней. Для t=5 это будет суммирование значений графы 8 с 1-го дня по 5-ый включительно, для t=6 это будут суммироваться значения графы 8 с 2-го дня по 6-й и т.д. до конца таблицы.

Аналогично заполняем графу 11, внося в нее сумму значений из графы 9 за последние 5 дней.

Рассчитываем

RSI = 100 - ,

где AU и AD берем из 10-й и 11-й графы таблицы.

Например, для 5 дня:

100 - = 94,23 и т.д.

Таблица 6

Расчет EMA, MOM, ROCи RSI

Дни, t	Цены	EMAt	MOMt	ROCt	Повы шение цены	Пон ижение цены	AU	AD	RSI
	max, Ht	min, Lt	Закр., Ct
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	744	705	709	725,00
2	743	675	738	729,33			29
3	750	700	735	731,22				3
4	759	707	751	737,81			16
5	770	740	755	743,54	46	106,49	4		49	3	94,23
6	776	661	765	750,69	27	103,66	10		59	3	95,16
7	756	715	720	740,46	-15	97,96		45	30	48	38,46
8	745	685	739	739,97	-12	98,40	19		49	45	52,13
9	758	725	740	739,98	-15	98,01	1		34	45	43,04
10	730	673	678	719,32	-87	88,63		62	132	107	55,23

5. Стохастические линии

%K_t=100*(C_t - L₅)/(H₅ - L₅);

%R_t=100*(H₅ - C_t)/(H₅ - L₅);

;

где C_t - цена закрытия текущего дня.

L₅ и H₅ - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Таблица 7

Расчет %К, % R , % D

Дни t	max цена за день Н(t)	min цена за день L(t)	Цена закрытия, С(t)	Max цена за 5 дней,Н(5)	Min цена за 5 дней, L(5)	Гр.4 минус Гр.6 C(t)-L(5)	Гр.5 минус Гр.4 H(5)-C(t)	Гр.5 минус Гр.6 Н(5)-L(5)	(Гр.7 / Гр.9 ) * 100% %K	(Гр.8 / Гр.9 ) * 100% %R	Сумма за 3 дня Гр.7	Сумма за 3 дня Гр.8	(Гр.12 /Гр.13 ) * 100% %D
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	744	705	709
2	743	675	738
3	750	700	735
4	759	707	751
5	770	740	755	770	675	80	15	95	84,21	15,79
6	776	661	765	776	661	104	11	115	90,43	9,57
7	756	715	720	776	661	59	56	115	51,30	48,70	243	325	74,77
8	745	685	739	776	661	78	37	115	67,83	32,17	241	345	69,86
9	758	725	740	776	661	79	36	115	68,70	31,30	216	345	62,61
10	730	673	678	776	661	17	98	115	14,78	85,22	174	345	50,43

Задание №3

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 8

Исходные данные

вариант	сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	ставка	Число начислений
	S	Тн	Тк	Тдн	n	i	m
4	2 000 000	16.01.2002	14.03.2002	180	4	25	2

3.1. Банк выдал ссуду, размером 2 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 16.01.02, возврата - 14.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 25 % годовых. Найти:

3.1.1. точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2. обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3. обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

3.1.1. Сумма процентов, согласно методичке (формула 1.1.3) может быть найдена по формуле:

I=P*n*i

Где Р- первоначальная сумма денег,

S - наращенная сумма,

n- срок ссуды, измеренный в долях года,

i - ставка простых процентов в долях единицы.

Согласно формуле (1.1.4):

n=t/K

К - число дней в году (временная база),

t - срок операции (ссуды) в днях.

Точное число дней пользования ссудой - фактическое число дней между двумя датами: 16+28+14-1=57 день. (2002 год не високосный и в феврале 28 дней)

K=365, t=57, I= 2 000 000*0,25*57/365=78082,19 руб.

3.1.2. При обыкновенных процентах К=360, t=49, I=2 000 000*0,25*57/360=79166,67 руб.

3.1.3. При приближенном вычислении процентов все месяцы принимаются равными 30 дням: январь -10 дней, февраль - 30, март - 11 дней, итого 59 (16+30+14-1). Считаем день выдачи и день возврата за 1 день.

K=360, t=59, I= 2 000 000*0,25*59/360=81944,44 руб.

Ответ: Точные проценты с точным числом дней ссуды составляют 78082,19 руб., обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды составляют 79166,67 руб., обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды составляют 81944,44 руб.

3.2. Через 180 дней после подписания договора - должник уплатит 2 000 000 руб. Кредит выдан под 25 годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение

Используем формулы (1.1.6) и (1.1.7):

, D=S - P

D - дисконт суммы.

P=2 000 000 /(1+0,25*180/360)=17 777 777,78 руб.

D=2 000 000 - 17 777 777,78 = 222 222,22 руб.

Ответ: первоначальная сумма составляет 17777777,78 руб., дисконт равен 222222,22 руб.

3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 2000000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 25 % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.

Решение

Используем формулы (1.1.9) и (1.1.10):

D=Snd, откуда P=S - D=S - Snd=S(1 - nd)

где d - учетная ставка.

D=Snd=2000000*0,25*180/360=250000 руб.

P=2000 000 - 250000=1750000 руб.

Ответ: полученная предприятием сумма составляет 250000 руб., дисконт равен 1750000 руб.

3.4. В кредитном договоре на сумму 2000000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 25% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

Воспользуемся формулой (1.2.1.):

S=P(1+i)ⁿ

S= 2000000 *(1+0,25)⁴=4882812,50 руб.

Ответ: наращенная сумма составляет 4882812,50 руб.

3.5. Ссуда, размером 2000 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка - 25 % годовых. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение

Воспользуемся формулой (1.2.3):

m - число раз начислений процентов в году

S=2000000*(1+0,25/2)^2*4=2000000*1,125⁸ =5131569,03 руб.

Ответ: наращенная сумма составляет 5131569,03 руб.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки 25% годовых.

Решение

Используем формулу (1.2.5):

- эффективная ставка,

- номинальная ставка.

(1+0,25/2)² - 1=1,25² -1=0,2656 т.е. 26,56%

Ответ: эффективная ставка процента составляет 26,56%.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 25% годовых.

Решение

Используем формулу (1.2.6):

j=m[(1+i_э)^1/m - 1] = 2[(1+0,25)^1/2 - 1]=2*(1,1180-1)=2*0,1180=0,2361 т.е. 23,61%

Ответ: номинальная ставка составляет 23,61%

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 25% годовых.

Решение

Используем формулу (1.2.7)

Ответ: современная стоимость составляет 819200 руб.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 2000000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 25% годовых. Определить дисконт.

Решение

Используем формулы (1.2.11) и (1.2.12):

P=S(1 - d_сл)ⁿ

D=S - P

P=2000000*(1 - 0,25)⁴=500000*0,3164=632812,50 руб.

D=2000000 - 632812,50=1367187,50 руб.

Ответ: дисконт составляет 1367187,50 руб.

3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 2000000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 25%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

хольт уинтерс процент ссуда

Решение

Используем формулу (1.3.3.)

R - размер платежа.

S=2000000*[(1+0,25/2)^(2*4) - 1]/[(1+0,25/2)² - 1]=

2000000*(2,5658-1)/(1,2656-1)=11790662,65 руб.

Ответ: сумма на расчётном счёте составляет 11790662,65 руб.

Использованная литература

1. Финансовая математика: Методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания. Для студентов 4 курса. / ВЗФЭИ. М.: Финстатинформ, 2002.

2. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учеб. Пособие / Под. ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. М.: Вузовский учебник, 2004.

Размещено на Allbest.ru

...