Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

экономический университет»

Кафедра высшей математики

Контрольная работа

финансовые вычисления

Вариант № 9

Санкт-Петербург

2013

Задание № 1

Кредит в размере К0 - 3500 долларов США был выдан в момент времени t0 - 1.03.99 на срок T-3 года под р-10 процентов годовых и должен быть погашен частями актуарным способом. Поступили следующие платежи: в момент времени t1 -29.09.99 в объеме а1 - 100 долларов США, в момент t2 - 7.01.00 в объеме а2 - 900 долларов США, в момент t3 -1.01.01 в объеме а3 - 900 долларов США

Определить остаток долга на конец срока. Расчеты вести с точностью до 1 цента. Решение представить в виде последовательности записей

Решение

Представим в виде последовательности записей:

1.03.99 г

долг: 3500 долларов США

количество прошедших дней: 272 - 60 = 212 дня

проценты: 3500Ч0.1Ч212/365= 203,28767 долл. США

долг с процентами: 3703,28767 долл. США

поступление: 100 долл. США

Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов, то она не учитывается, но присоединяется к следующему платежу. Процентный платеж вновь начисляется от даты 1.03.99

7.01.00г

количество прошедших дней: 7 + 365 - 60 = 312 дней

проценты: 3500Ч0,1Ч312/365 = 299,17808 долл. США долг с процентами: 3799,17808 долл. США поступления: 100 + 900 =1000 долл. США

остаток долга: 3799,17808 - 1000 = 2799,17808 долл. США

01.01.01г.

количество прошедших дней: 366 - 7 + 1 =360 дней

проценты: 2799,17808 Ч0,1Ч360/365 = 276,08328 долл. США

долг с процентами:2799,17808 + 276,08328 =3075,26136 долл. США

поступление 900 долл. США

остаток долга 3075,26136 - 900= 2175,26136 долл. США

1,03,02г.

количество прошедших дней: 365-1+60=424дня

проценты: 2175,26136 Ч0,1Ч424/365 = 252,68788 долл. США

долг с процентами: 2175,26136+252,68788= 2427,94924 долл. США

Остаток долга 2427,94924 долл. США

Задание № 2

Какую номинальную стоимость должен вписать кредитор в вексель, выданный ему на n -200дней при учетной ставке q -10 процентов годовых, если заемщик просит в долг наличными сумму в K0 -120000 ден. ед.

Решение

К0 120000

Кt = ---------- = ------------------------- = 126956.51

(1 - qt) ( 1- 0.1* 200/365)

t = n/ год = 200/365

Ответ: 126956,51 ден. ед.

Задание № 3

Кредит в K0 ден. ед. был предоставлен на n лет при ежеквартальных капитализациях и был погашен суммой в ден. ед. Найти годовые сложные коммерческие и учетные процентные ставки кредита p и q и соответствующие эффективные годовые ставки pэ и qэ.

K0	n	S
15000	2	25000

Решение

Для расчета сложных годовых процентов при годовом их начислении следует использовать формулу для определения наращенной суммы:

Но так как капитализация производиться ежеквартально, данная формула преобразуется в следующий вид:

где: m - количество капитализаций в году;

Тогда выразив отсюда ставку сложных проценты по номинальной ставке, получим:

Подставим исходные значения и получим:

р = ((25000/15000)^1/(4*2) - 1) * 4 = 0,264 или 26,4%

Т.е. при сложной номинальной ставке 26,4% годовых через 2 года наращенная сумма кредита составит 25000 ден. ед.

Эффективная ставка сложных процентов рассчитывается по формуле

%

Подставим исходные значения и получим:

ре = ((1 + 0,264/(100*4))4 - 1) * 100 = 0,264 или 26,4%

Ставки дисконтирования при капитализации чаще, чем раз в год, следует рассчитывать по формуле:

Выразив отсюда ставку дисконтирования, получим:

Подставим исходные значения и получим:

q = (1 - (15000/25000)1/(4*2)) * 4 = 0,247 или 24,7%

Т.е. при сложной учетной ставке в 24,7% текущая стоимость дисконтирования составит 15000 ден. ед.

Реальная эффективность связана с эффективной годовой учетной ставкой, равной относительному дисконту за год:

Подставим исходные значения и получим:

qе = (1 - (1 - 0,247/(100*4))^4) * 100 = 0,247 или 24,7%

Задание № 4

Постоянная рента (аннуитет) имеет параметры: Т=0.5 (лет) - период ренты, t=5 (лет) - длительность контракта, р=18 - простая годовая декурсивная процентная ставка, a = 1000 ден. ед. - сумма платежа. Найти накопленную сумму по схемам пренумерандо и постнумерандо.

Решение

Сначала найдем количество платежей: n = t/T=5/0.5=10

1. Для постоянной ренты пренумерандо величина начисленных процентов для каждого периода ?t = T в случае простых процентов определяется формулой: It = K . p/100 .t

Учитывая, что все платежи равны между собой, количество платежей равно n-10 , период ренты равен T-0.5, и проводя суммирование по формуле арифметической прогрессии, получим сумму процентов:

процент кредит ставка учетный

I= 1000*18 *0.5*10*(10+1)/200 = 4950ден. ед.

и накопленную сумму:

К10 = 10*1000+4950= 14950

Накопленная сумма по схеме пренумерандо равна 14950ден.ед.

2. Для постоянной ренты постнумерандо, в силу того, что количество интервалов времени, за которые начисляются проценты, на единицу меньше, чем в ренте пренумерандо, накопленная сумма процентов будет равна:

,

I= 1000*18*0,5*10*(10-1)/200 = 4050

а накопленный капитал:

К10=1000*10+4050= 14050

Накопленная сумма по схеме постнумерандо равна 14050ден.ед.

Задание № 5

Кредит в размере К-100тыс ден. ед., выдан на n-3 лет под декурсивную процентную ставку р -25 % годовых и погашается m-4 раза в году. Определить величину каждого платежа аk при а) равных выплатах долга по простой ставке р; б) равных платежах по сложной ставке р при капитализациях, совпадающих с моментами платежей. Составить в виде таблиц графики погашения долга, содержащие сведения о датах (номерах) платежей, о величинах платежей, включая процентные, и остатках долга.

а) равных выплатах долга по простой ставке р

Решение

Найдем общее число платежей составит N = mn

N = mn =3*4=12

Выплата долга в каждый платеж составит 100/12= 8,333тыс. ед

Заемщик пользуется суммой К = 100 тыс. ед. в течение первого квартала , т. е. t = 0,25 лет.

Пользуемся формулой

It = K . p/100 .t ,

Где t - продолжительность периода (в годах), за который рассчитываются проценты.

Процентный платеж за это время составит

I1 = К . p/100 . t1 = 100 . 0,25 . 0,25 = 6,25 тыс. ед.,

Полный первый платеж составит а1 = 14,583тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 91,667 тыс. ед. в течение второго квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I2 = 91,667 .0,25 . 0,25 = 5,729 тыс. ед.

Второй полный платеж равен а2 = 14,062 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 83,334 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I3 = 83,334 .0,25 . 0,25 = 5,208 тыс. ед.

Третий полный платеж равен а3 = 13,541 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 75,001 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I4 = 75,001 .0,25 . 0,25 = 4,688 тыс. ед.

Полный платеж равен а4 = 13,021 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 66,668 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I5 = 66,668 .0,25 . 0,25 = 4,167 тыс. ед.

Полный платеж равен а5 = 12,500 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 58,335 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I6 = 58,335 .0,25 . 0,25 = 3,646 тыс. ед.

Полный платеж равен а6 = 11,979 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 50,002 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I7 = 50,002 .0,25 . 0,25 = 3,125 тыс. ед.

Полный платеж равен а7 = 11,458 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 41,669 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I8 = 41,669 .0,25 . 0,25 = 2,604 тыс. ед.

Полный платеж равен а8 = 10,937 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 33,336 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I9 = 33,336 .0,25 . 0,25 = 2,084 тыс. ед.

Полный платеж равен а9 = 10,417 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 25,003 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I10 = 25,003 .0,25 . 0,25 = 1,563 тыс. ед.

Полный платеж равен а10 = 9,896 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 16,670 тыс. ед. в течение следующего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I11 = 16,670 .0,25 . 0,25 = 1,042 тыс. ед.

Полный платеж равен а11 = 9,375 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 8,337 тыс. ед. в течение последнего квартала.

Процентный платеж за это время равен:

I12 = 8,337 .0,25 . 0,25 = 0,521 тыс. ед.

Полный платеж равен а12 = 8,858 тыс. ед.

По сути, был применен актуарный метод.

Важно отметить, что при равных выплатах долга при простой процентной ставке процентные платежи составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью

d =? bр/100•T ,

где b = K/N - величина равной выплаты долга; N - число платежей; р - годовая ставка; Т - период между платежами (лет).

Составим таблицу платежей. Суммы в тыс. ед.

Таблица 1

Номер или дата платежа	Остаток долга при платеже	Выплата долга	Процентный платеж	Платеж	Остаток долга после платежа
1	100	8,333	6,25	14,583	91,667
2	91,667	8,333	5,729	14,062	83,344
3	83,344	8,333	5,208	13,541	75,001
4	75,001	8,333	4,688	13,021	66,668
5	66,668	8,333	4,167	12,500	58,335
6	58,335	8,333	3,646	11,979	50,002
7	50,002	8,333	3,125	11,458	41,669
8	41,669	8,333	2,604	10,937	33,336
9	33,336	8,333	2,084	10,417	25,003
10	25,003	8,333	1,563	9,896	16,670
11	16,670	8,333	1,042	9,375	8337
12	8,337	8,337	0,521	8,858	0
Итого	-	100	40,627	140,626	-

б) равных платежах по сложной ставке р при капитализациях, совпадающих с моментами платежей.

Решение.

Определим число платежей: N =mn=3*4=12 .

Затем определяем размер платежа определяется по формуле

a = KrN(r - 1)/(rN - 1) ,

где r = 1 + p/100 - множитель наращения за один период; р - процентная ставка и заменяем в ней p на , т.к. число платежей 4 раза в год, относящаяся к одному периоду. Получаем r=1 +p*100/m

a =100 (1+0.25/4)12(1+0.25/4 - 1)/((1+0.25/4)12 - 1)= 12.09172

Платеж будет составлять 12,09172 тыс. ед. каждый квартал

Найдем первую величину выплаты, погашающей долг, по формуле

b = a/rN

b1 = 12,09172/(1+0,0625)12= 5,841721

Составляем таблицу платежей. Суммы в тыс. ед.

Таблица 2

Номер платежа	Платеж	Выплата долга	Процентный платеж	Остаток долга при платеже	Остаток долга после платежа
1	12,09172	5,841721	6,249999	100	94,15828
2	12,09172	6,206829	5,884891	94,15828	87,95145
3	12,09172	6,594756	5,496964	87,95145	81,35669
4	12,09172	7,006928	5,084792	81,35669	74,34977
5	12,09172	7,444861	4,646859	74,34977	66,90491
6	12,09172	7,910165	4,181555	66,90491	58,99474
7	12,09172	8,404550	3,68717	58,99474	50,59019
8	12,09172	8,929834	3,161886	50,59019	41,66036
9	12,09172	9,487949	2,603771	41,66036	32,17241
10	12,09172	10,08095	2,01077	32,17241	22,09146
11	12,09172	10,71100	1,38072	22,09146	11,38045
12	12,09172	11,38044	0,71128	11,38045	0 (-0,00001)
Итого	145,1006	99,99998	45,10066	-	-

Сначала заполняется столбец платежей. Потом заполняется столбец выплат долга, в котором первое значение 5,841721, вычисленное ранее, и все последующие умножаются на r = 1,0625. Процентные платежи вычисляются как разности между числами столбца платежей и выплат долга. Остатки долга после платежей вычисляются как разности между остатком долга при платеже и соответствующей выплатой долга. Погрешностью в несколько копеек при подведении баланса можно пренебречь.

Список литературы

Бочаров П. П.Финансовая математика. Учебник для вузов. М.: Гардарики, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...